2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示教学目标

2.3.2-2.3.3坐标的标示及运算

教学目标

知识与技能:了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示．

过程与方法:掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则．

情感态度价值观:正确理解向量坐标的概念，要把点的坐标与向量的坐标区分开来．

教学重难点

重点：沟通向量“数”与“形”的特征，使向量运算完全代数化

难点：区分向量终点的坐标与向量的坐标．

教学过程

探究点一

平面向量的坐标表示

思考1：不共线的向量有不同的方向，对于两个非零向量a和b，作 a， b，如图.为了反映这两个向量的位置关系，称∠AOB为向量a与b的夹角.你认为向量的夹角的取值范围应如何约定为宜？

思考2：如果向量a与b的夹角是90°，则称向量a与b垂直，记作a⊥b. 互相垂直的两个向量能否作为平面内所有向量的一组基底？

思考3：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.如图，向量i、j是两个互相垂直的单位向量，向量a与i的夹角是30°，且|a|=4，以向量i、j为基底，向量a如何表示？

思考4：在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底，对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y，使得a＝xi＋yj.我们把有序数对（x，y）叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y).其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，上式叫做向量的坐标表示.

思考5：相等向量的坐标必然相等，作向量 a，则 (x，y)，此时点A的坐标是什么？

探究二 平面向量的坐标运算 思考1：设i、j是与x轴、y轴同向的两个单位向量，若a=(x1，y1),b=(x2，y2),则a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j，根据向量的线性运算性质，向量a＋b，a－b，λa（λ∈R）如何分别用基底i、j表示？

a＋b＝(x1＋x2)i＋(y1＋y2)j，

a－b＝(x1－x2)i＋(y1－y2)j， λa＝λx1i＋λy1j. 思考2：根据向量的坐标表示，向量 a＋b，a－b，λa＋b＝(x1＋x2，y1＋y2); a－b＝(x1－x2，y1－y2); λa＝(λx1，λy1). 思考3：如何用数学语言描述上述向量的坐标运算？ 两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差）；

实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标. a的坐标分别如何？

思考4：如图,已知点A(x1,y1),B(x2,y2)，那么向量 的坐标如何？一般地，一个任意向量的坐标如何计算？

AB＝(x2－x1，y2－y1).

1、任意一个向量的坐标等于表示该向量的有向线段的终点坐标减去始点坐标. 2、当一个向量以原点为起点时，此时向量坐标等于向量的终点坐标

思考5：若向量a=(x，y)，则|a|如何计算？若点A(x1,y1)，B(x2，y2)，则如何计算？

练习：P100页1、2、3

变式： 已知平面上三点的坐标分别为A(标使这四点构成平行四边形四个顶点。

2, 1), B(1, 3), C(3, 4)，求点D的坐解：当平行四边形为ADCB时，由 ABDC

得D1=(2, 2) 当平行四边形为ACDB时，得D2=(4, 6) 当平行四边形为DACB时，得D3=(6, 0)

作业：

1．设平面向量a＝(3,5)，b＝(－2,1)，则a－2b等于

(

) A．(7,3) B．(7,7) C．(1,7) D．(1,3) →→→12．已知向量OA＝(3，－2)，OB＝(－5，－1)，则向量AB的坐标是

(

) 211A.－4， B.4，－C. (－8,1) D. (8,1) 22

→→3．已知四边形ABCD的三个顶点A(0,2)，B(－1，－2)，C(3,1)，且BC＝2AD，则顶点D的坐标为

(

) 7B.2，－1 A.2， C. (3,2) D. (1,3) 22