探究与发现 利用单位圆中的三角函数线研究正弦函数、余弦函数的性质教案及板书设计

1.4.1正弦函数、余弦函数的图像

教学目标：

1.了解用正弦线画正弦函数的图像，理解用平移法作余弦函数图像；

2.掌握正余弦函数的图像及特征；

3.掌握利用图像变换作图的方法，体会图像间的联系；

4.掌握“五点法”画正弦函数、余弦函数的简图；

学习重点、难点

教学重点：正弦余弦函数的作法及其特征

教学难点：正弦余弦函数图像的作法及其相互间的关系

教学过程设计

一、复习引入

我们知道实数集与角的集合可以建立一一对应的关系，而一个确定的角对应着唯一确定的正弦(或余弦)值，这样，给定一个实数x，有唯一确定的值sinx(或cosx)与之对应，由这个对应法则所确定的函数ysinx(或ycosx)叫做正弦函数（或余弦函数），定义域均为R 一个函数具有许多基本性质，要想直观全面了解正余弦函数的基本性质，我们应该从哪些方面入手？（图像）

探究1：作函数图像最原始的方法是什么？（描点作图）

二、师生合作，探究新知

对于正弦函数ysinx,x0,2的图像可以采用描点法，通过三角函数值对照表以及电脑作图作出精确的图像。

3在画图过程中，人为作图无法找到精确的点，例如点，，在x轴上容易找出，3,233难以在图中标出准确的位置，为了解决这一问题，回顾一个知识点。

2探究2：sin,cos,tan的几何意义？（三角函数线）

将0,2六等分，但三角函数线是有向线段，且三角函数线表示三角函数值

三角函数

正弦函数sinxMP正弦线MP

余弦函数cosxOM余弦线OM

正切函数tanxAT正切线AT

※利用三角函数线画出ysinx,x0,2的图像

第一步等分：建立平面直角坐标系，在x轴上任取一点O，在平面直角坐标系中y轴左侧画单位圆，从单位圆与x轴的交点A起，将单位圆十二等分，在x轴上把0到2这个区间也分成十二等份。

第二步作正弦线：过单位圆上各割分点作出相应的正弦线

第三步平移：将所得的正弦线向右平移与轴上相应点重合

第四步连线：用光滑的曲线把这些正弦线终点连起来，就得到了ysinx,x0,2的图像

三、教师精讲，重点突破

我们知道，正弦函数的定义域为R，如何根据ysinx,x0,2上的图像的到函数在整个定义域R上的函数？

根据终边相同的同名三角函数值相等，函数ysinx,x2k,2k1,kZ且k0的图像与函数ysinx,x0,2的图像的形状完全一致，于是我们只要将ysinx,x0,2的图像沿着x轴向左向右连续地平行移动，每次移动的距离为2，就得到了ysinx,xR的图像。

四、合作探究

余弦函数ycosx的图像

探究：你能根据诱导公式，以正弦函数的图像为基础，通过适当的变换得到余弦函数的图像吗？

（设计意图：这一问题完全可以由学生根据自己已有的知识得到，让学生合作动手完成）

五、展示成果，查找问题

根据诱导公式，cosxsin(x2)，可以把正弦函数图像向左平移个单位长度即得到余2弦函数ycosx,xR的图像。

六、教师精讲，重点突破

现在我们得到了正余弦函数图像，正弦函数的图像和余弦函数的图像分别叫做正弦曲线和余弦曲线。

※用“五点法”作出正弦函数和余弦函数的图像

观察所得的函数图像，五个点在确定形状时起关键的作用，只要这五个点描出后，图象的形状就基本确定了．在图像上找出这五个关键点

正弦函数ysinx,x0,2的图像中，五个关键点：

与x轴的交点0,0

，0

2,0

最高点：,1

23，-1

2最低点：

余弦函数ycosx,x0,2的图像中，五个关键点：

与x轴的交点：

3,0

,0

22最高点：0,1

2，1

最低点：，-1

五点作图法：

1.

列表（列出对图像形状起关键作用的五点坐标）

2.

描点（定出各个关键点）

3.

连线（用光滑的曲线顺次连接五个点）

例题

1.画出y1sinx,x0,2的简图（小结：函数值加减，图像上下移动，自变量加减，图像左右移动）

练习：画出y1sinx，x0,2的简图

例2画出ycosx，x0,2的简图

（设计意图：通过例题巩固学生对“五点作图法”步骤）

六、师生共进，课堂小结

最原始的作图方法为描点法，但正余弦函数图像利用描点法人为作图不精确，所以利用三角函数线进行几何作图，通过三角函数线的选取平移可以得到函数图像，但这种作图方法较为复杂，在平时图像作为辅助解决问题时，只需简图即可，在做三角函数图像简图时，我们利用五点作图法，这五个关键点找到后，图像的形状就基本确定了。

七．板书设计

1.4.1正弦函数、余弦函数的图像

1.

正弦函数ysinx,xR

余弦函数ycosx,xR

例1y1sinx,x0,2的简图

学生活动

2. 五点作图

x

0 

1 2 1 0 1sin

1 322

2

0 1 0 -1 0 sinx0,0,1

233，0，-12,0

0,10,,-1，02，1

222

八．课后作业

课本p46第1题