阅读与思考 向量的运算（运算律）与图形性质全国优秀课堂实录

向量的运算与图形性质

一、学习目标

1. 掌握向量理论在平面几何中的初步运用；会用向量知识解决平面几何问题；

2. 能通过向量运算研究几何问题中线段，垂直，夹角之间的关系. 二、学习重难点

学习重点：理解并能灵活运用向量加减法与向量数量积的法则解决平面几何问题

学习难点：选择适当的方法，将几何问题转化为向量问题加以解决. 三、课前自学双基

问题提出：

1.

用有向线段表示向量，使得向量可以进行线性运算和数量积运算，并具有鲜明的几何背景，从而沟通了平面向量与平面几何的内在联系，在某种条件下，平面向量与平面几何可以相互转化. 2、平行、垂直、夹角、距离、全等、相似等，是平面几何中常见的问题，而这些问题都可以由向量的线性运算及数量积表示出来.因此，平面几何中的某些问题可以用向量方法来解决，但解决问题的数学思想、方法和技能，需要我们在实践中去探究、领会和总结.

问题1：

利用平面向量证明平面几何的命题

（1）菱形的对角线互相垂直. （2）长方形的对角线相等. （3）勾股定理.

问题2：思考1：如图，在平行四边形ABCD中，已知AB=2，AD=1，BD=2，那么对角线AC的长是否确定？

思考2：设向量AB=a，向量AD=b，则向量AC和DB等于什么？由向量加法和减法的平行四边形法则

如下图，ACABAD，DBABAD

思考3：AB=2，AD=1，BD=2，用向量语言怎样表述？

|a|=2，|b|=1，|a-b|=2.

思考4：利用|a|=2，|b|=1，|a－b|=2，如何求a·b呢？

等于多少？

结论：a·b=

思考5：根据上述思路，你能推断平行四边形两条对角线的长度与两条邻边的长度之间具有什么关系吗？

结论：平行四边形两条对角线长的平方和等于两条邻边长的平方和的两倍.

思考6：以上结论是通过这道具体的问题得到的，大家思考如果是任意的平行四边形是否还有这样的结论？如何证明？

小结作业

用向量方法解决平面几何问题的基本思路：几何问题向量化、向量运算关系化、向量关系几何化.用向量方法研究几何问题，需要用向量的观点看问题，将几何问题化归为向量问题来解决.它既是一种数学思想，也是一种数学能力.其中合理设置向量，并建立向量关系，是解决问题的关键.

作业：

P113习题2.5A组：1，2.

四、典型例题

例1已知DE是ABC的中位线，用向量的方法证明：DE

1BC，且DE//BC.211AB,AEAC,2211

所以DEAEADACABBC.221即DEBC，又D不在BC上，所以DE//BC.2证明：易知AD变式练习1：用向量方法证明：对角线相等的平行四边形是矩形. 解：如图，四边形ABCD对角线AC、BD交于点O，ABAOOB,ADAOOD,AB·ADAOOB·AOOD2DOC

AAOAO·ODOB·AOOB·OD0ABAD,即ABAD，四边形ABCD是矩形.B例2

用向量方法证明：三角形三条高线交于一点. 证明：设H是高线BE、CF的交点，且设ABa,ACb,AHh则有BHha,CHhb,BCba,BHAC,CHAB,ha·bhb·a0化简得，h·ba0AHBC所以，三角形三条高线交于一点.变式练习2、证明勾股定理，在RtABC中，ACBC，BCa，ACb，ABc，则c2b2a2.B

证明：由ABACCB，得AB·ABAC·AC2AC?CBCB·CB即|AB|2|AC|20|CB|2，故c2b2a2.

CA五、课后巩固

基础练习

一、选择题

→→→→1．若AB＝2e1，CD＝－3e1，|AD|＝|BC|，则四边形ABCD是(

) A．平行四边形

C．等腰梯形

B．梯形

D．菱形

2→→→→→→解析：由于AB＝－CD，所以AB∥CD且|AB|≠|CB|，所以四边形ABCD是梯形．又因3→→为|AD|＝|BC|，即梯形的对角线长相等，因此四边形ABCD是等腰梯形，故选C. 答案：C →→→→2. 在ΔABC中，若(CA+CB)·(CA—CB)=0，则ΔABC的形状为

(

C )

A. 正三角形

B. 直角三角形

C. 等腰三角形

D. 等腰直角三角形

→→→→→3. 在ΔABC中，点D在BC边上，且CD=2DB, CD=r AB

+ s

AC，则r+s的值是

(

) 42

A. 3

B.

C. —3

D. 0 3二、填空题

5、已知正方形OABC的边长为1，点D、E分别为AB、BC的中点，则cos∠DOE= 5 . 6．设平面上有四个互异的点A、B、C、D，已知(D－AC)＝0，则△ABC的形状一定是________．

解析：∵(DB＋DC－2DA)·(AB－AC) ＝[(DB－DA)＋(DC－DA)]·(AB－AC) ＝(AB＋AC)·(AB－AC)＝AB2－AC2

＝|AB|2－|AC|2＝0，

∴|AB|＝|AC|，

∴△ABC是等腰三角形．

→→7. 已知AB=(4,2), AC=(3,4), 则ΔABC的面积为

5

. 三、解答题

8. 如图，已知ΔABC的两边AB, AC的中点分别为M、N，在BN的延长线上取点P，使NP=BN，在CM延长线上取点Q，使MQ=CM. 用向量方法证明：P、A、Q三点共线.

→→→→解析：设AB=a, AC=b

C→→→→→→→→→→P

AP=AN+NP=AN+BN=AN+AN—AB=b—a

N→→→→→→→→→→

AQ=AM+MQ=AM+CM=AM+AM—AC=a—b

ABM→→→→

⇒

AP

= —AQ

⇒

AP//AQ

∴

P、A、Q 三点共线

Q4→B＋DC→－2D→A)·(A→B→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→提高练习

b＝0，则1

设a、b、c是单位向量，且a·acbc的最小值为

(

) A．2

B．22

C．1

D．12

解析：

a,b,c是单位向量acbcab(ab)cc2

1|ab||c|12cosab,c12，故选D．

2．在△ABC中，O为中线AM上的一个动点，若AM＝2，则→＋OC)的最小值为________．

→→→→→解析：如图，设AO

＝x，则OM＝2－x，

所以OA·(OB＋OC)＝OA·2OM

→→＝－2·|OA|·|OM|＝－2x(2－x) ＝2x2－4x＝2(x－1)2－2，

→→→故当x＝1时，OA·(OB＋OC)取得最小值－2. 答案：－2 3、如图，菱形ABCD的边长为1，有D120，点E、F 分别是AD、DC的中点，BE、BF分别与AC交于点M、N. (1)求AC的值；

(2)求MN的值.

D E M A B F N →OA·(→OBC .解：(1)连接BD交AC于点O，由ADC120，得ADO60，

而AOD90，AD1，得OD13，OA，∴AC3；

22(2)设ABa，ADb，则AMAC(ab)，而B、M、E三点共线，

∴EMuMB，即AMAEu(ABAM)，∴(1u)AMuABAE，

(1u)u111即u(ab)uab，有1，解得u，，

223(1u)2∴AM1111AC，即AMAC，同理CNAC，得MNAC

3333由(1)得AC3，∴MN13AC. 33即MN3. 3