探究与发现 利用单位圆中的三角函数线研究正弦函数、余弦函数的性质教学实录及点评

株洲市一中高三数学备课组

三角函数的最值与值域教学设计（高三复习课）

株洲市第一中学

冯安达

一、

教学内容分析: 三角函数的最值（值域）是历年高考重点考查的内容之一，是对三角函数的概念、图象、性质以及诱导公式、同角三角函数间的关系、两角和与差公式的综合考查，是函数最值的一个重要组成部分.它不仅与三角变换直接相关，而且与二次函数、解不等式等知识密切相关，是数形结合思想，函数和方程的思想的具体体现.由于三角函数的知识占了必修4教材一个大的章节，所以在中学数学中占有重要的地位和广泛的应用，而三角函数最值问题的求解又恰好是对其综合能力的运用.对高一学生来说是一个难点.要克服它，首先得要求学生将基本知识点掌握牢固，然后教师应求解三角函数最值的方法进行归纳整理，并引导学生综合运用所学过的知识，总结解题规律，提高分析问题的能力，培养其创新能力.

二、

教学目标分析：

1、

知识与技能：

（1）．会根据正、余弦函数的有界性和单调性求简单三角函数的最值和值域； （2）．运用转化思想，通过变形、换元等方法转化为代数函数求其给定区间内的值域和最值。

2、

过程与方法：

通过对最值问题的探索与解决，提高运算能力，增强分析问题和解决问题能力。体现数学思想方法在解决三角函数最值与值域问题中的作用。

3、

情感态度价值观：

通过例题的分析，方法的归纳，激发学生主动参与、主动探索的意识，使学生始终在动态过程中去感受知识、巩固知识、运用知识，提高40分钟的效率. 三、

教学重点分析

本节课的重点是：求三角函数的最值与值域。

为了突出和强调本节课的重点，课前布置了学生整理求函数值域与最值的方法，设计了一些知识检测题给学生做，在上课之前，老师通过批改学生的作业，了解学生对三角函数的最值与值域的掌握程度。在上课时，首先让学生回顾求函数值域与最值的方法，然后交流作业，通过例题和习题的训练、讨论、分析、归类、方法总结，学生能比较系统掌握求三角函数的最值与值域的常用方法。

四、

教学难点分析

本节课难点是：针对题目，如何在最短的时间内灵活选取最适合的方法来求三角函数的最值与值域，迅速解决问题。

求三角函数的最值与值域的方法多样，为了突破难点，不妨采取“实践---方法———在实践”的策略，即在讲评作业和例题时，对每一道题目的特点进行分析，解完后，引导学生总结方法，找出规律，然后让学生动手训练，加深印象，化解难点

五、教学方法：

综合启发教学，边教边让学生参与，学会对知识的归纳；强调教师为主导、学生为主体的互动原则，充分调动学生的积极性，发挥学生的主动性和创造性. 六、

课型及课时安排

高三复习课，2课时：第1课时. 在数学的领域中, 提出问题的艺术比解答问题的艺术更为重要.

——康托尔

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七、

学生情况分析：

（1）学生是株洲市第一中学高二年级1201班的文科学生

（2）高三学生对三角函数这部分知识比较熟悉.但学生对知识的前后联系，有效方法的选择，分析问题的内涵，综合运用知识的能力还很薄弱. （3）文科学生对知识的归纳整理能力以及逻辑分析能力比较欠缺，所以对三角函数最值的几个基本类型需要进行归纳和整理，以便学生能够更好的掌握

八、

教学过程设计

（一）复习引入

提问：求函数最值与值域有哪些常用的方法？

学生：换元法、配方法、借助基本不等式、借助函数的图像和单调性。

设计意图：从学生已有的知识出发，启发学生对方法进行迁移，不过需要提醒学生在用换元法时，要注意新变量的取值范围，在用不等式求最值时，要注意取等号的条件。 （二）课前演练：

1．在下列说法中：①函数y2sinx的最大值为3；②函数y小值是4；③函数y4sin2x最2sinx11的值域是[1,0)(0,1]

；④存在实数x，使得tanx+

tanxcosx=2成立．正确的是 （ ）

A．①② B．②④ C．①③ D．①④

2．函数ysinx,x[,2]的值域为（ ）

6312

A． [－1，1] B． [,1] C．

[,133] D．

[,1]

2223．函数ysin2xcos2x的最大值为 ，最小值为 ． 4．x _________时，函数ysin(x24)sin(x4)的最大值为__________ 5．函数ysinxsinx1的值域为 6．函数yacosxb（a,b为常数，且a0）的最大值是1，最小值是7，

则函数yasinxbcosx的最大值是 设计意图：这6道检测题难度不大，但涵盖了三角函数求最值和值域的一些基本方法，通过批改学生的作业，在课前充分了解学生的掌握程度，为课堂上重点解决学生的薄弱点和盲点做好准备。

（三）例题分析

例题1 求下列函数的最值

1．ycos(2x),x[0,]

62设计意图：本题可以利用函数的图象求最值

，也可作代换，把括号内看作一个整体t，用单调性求，前者画图不如后者简单，但后者一定要注意t的取值范围，课堂上，可以鼓励学在数学的领域中, 提出问题的艺术比解答问题的艺术更为重要.

——康托尔

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生到黑板上画图分析，掌握换元法及其注意点。

2．y3sin(x)cosx

设计意图：此题较第（1）题复杂，但不难，通过此题解决帮助学生总结y=asinx+bcosx型函数最值的求法：只要利用辅助角公式，转化为y= （x+）求最值。

3．y5sin2x3sinxcosx6cos2x

a2b2sin（x+）或y= a2b2cos设计意图：此题属于yasin2xbsinxcosxccos2x型函数求最值或值域，利用降次2公式sinx1cos2x1cos2x1,cos2x,sinxcosxsin2x即可转化为222y=asinx+bcosx型函数求最值。设计此题可以帮助学生巩固降次公式、辅助角公式。

4．ycos2xcosx

设计意图：

y=asin2x+bsinx+c或y=acos2x+bcosx+c型函数求最值或值域函数求最值或值域,借助二倍角公式，结合换元法转化为二次函数在闭区间上求最值或值域，注意新的变量的取值范围。

5．y(3sinx)(3cosx)

设计意图：此题难度较大，不同于以上题型，感到无从下手，如果展开，注意到sinx+cosx与sinxcosx的关系，令sinx±cosx=t(将sinxcosx转化为t的关系式，2t2)，从而使问题转化为二次函数的最值问题，但要注意换元后变量的取值范围。 6．ytanx4cotx,x(0,)

2πππx3cos2x，x，．

442设计意图：此题可以利用基本不等式求最值

例题2 f(x)2sin2（1）求f(x)的最大值和最小值；

（2）若不等式f(x)m2在x，上恒成立，求实数m的取值范围．

42设计意图：此题是一道高考题，第（1）问的解决需要用到降次公式和诱导公式，借助换元法求出最值，第（2）问的解决需要用到第一问的结论，通过分离参数，求出m的范围。此题综合考查了学生对三角公式的掌握情况，三角函数最值的求法，学生通过训练，有利于提高学生的综合分析能力和解决问题的能力。

ππ在数学的领域中, 提出问题的艺术比解答问题的艺术更为重要.

——康托尔

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（四）巩固提高：

1．函数f(x)2cos2xsin2x的最小值是 。

2．若x4，f(x)cos2xsinx的最小值是

（ ）

A．212112 B． C．－1 D．

2222]，若f(x)的3．设函数f(x)2asin2x23asinxcosxab（a0)，x[0,值域是[-5，1]，求实数a,b的值。

设计意图：这3道题从不同角度训练学生求三角函数最值或值域，强化学生对方法的灵活运用，第3题是一道逆向性问题，可以培养学生的分类讨论意识。

（五）课堂小结

本节课着重研究求三角函数最值的几种方法：

1、辅助角公式法：yasinxbcosx

2、配方法：yasin2xbcosxc

3、函数图像法（利用单调性）：通常用于给定角的范围类型的三角函数

4、换元法：含有sinx±cosx，sinxcosx的函数

5、基本不等式法

设计意图：学生通过回顾、总结求三角函数最值或值域的常见题型和解法，达到灵活运用的目的，体会转化、换元思想在数学中的应用。

六、评价分析

三角函数的最值问题是三角函数基础知识的综合应用，近几年的高考题中经常出现.其出现的形式，或者是在小题中单纯地考察三角函数的值域问题；或者是隐含在解答题中，作为解决解答题所用的知识点之一；或者在解决某一问题时，应用三角函数有界性会使问题更易于解决（比如参数方程）。题目给出的三角关系式往往比较复杂，进行化简后，再进行归纳

在数学的领域中, 提出问题的艺术比解答问题的艺术更为重要.

——康托尔

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