2.1.2 向量的几何表示优质课一等奖

教学设计

一、问题情境

1. 如图,某物体从A点经B点到C点,两次位移

, 的结果,与A点直接到C点的位移

结果相同. 2. 如图,表示橡皮筋在两个力F1,F2的作用下,沿GE的方向伸长了EO,与力F的作用结果相同. 位移

与

合成为

等效,力F与分力F1,F2的共同作用等效,这时我们可以认为: ,F分别是位移

与

、分力F1与F2某种运算的结果.数的加法启发我们,位移、力的合成可看作数学上的向量加法. 2. 在师生交流讨论基础上,归纳并抽象概括出向量加法的定义

已知非零向量a,b(如图37-3),在平面内任取一点A,作

=a, =b,再作向量

,则向量

叫a与b的和,记作a+b,即a+b= + = . 求两个向量和的运算,叫作向量的加法.这种求向量和的作图法则,称为向量求和的三角形法则,我们规定0+a=a+0=a. 3. 提出问题,组织学生讨论

(1)根据力的合成的平行四边形法则,你能定义两个向量的和吗? (2)当a与b平行时,如何作出a+b? 强调:向量的和仍是一个向量.用三角形法则求和时,作图要求两向量首尾相连;而用平行四边形法则求和时,作图要求两向量的起点平移在一起. (3)实数的运算和运算律紧密联系,类似地,向量的加法是否也有运算律呢?首先,让学生回忆实数加法运算律,类比向量加法运算律.向量加法的交换律由平行四边形法则容易验证.向量加法的结合律的验证则比较困难,教学时,应放手让学生进行充分探索.最后通过下面的两个图形验证加法结合律.

三、解释应用

[例

题] 1. 已知非零向量a,b,就(1)a与b不共线,(2)a与b共线,分别求作向量a+b. 注:要求写出作法,规范解题格式. 2. 长江两岸之间没有大桥的地方,常常通过轮船进行运输.一艘轮船从长江南岸A点出发,以5km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶,同时江水的速度为向东2km/h. (1)试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度. (2)求船实际航行的速度的大小与方向(速度的大小保留2个有效数字,方向用与江水速度间的夹角表示,精确到度). [练

习] 1. 如图,已知a,b,画图表示a+b. 2. 已知两个力F1,F2的夹角是直角,合力F与F1的夹角是60°,|F|=10N,求F1和F2的大小. 3. 在△ABC中,求证 . 4. 在n边形A1A2…An中,计算 四、拓展延伸

1. 对于任意向量a,b,探索|a+b|与|a|+|b|的大小,并指出取"="号的条件. 2. 在求作两个向量和时,你可能选择不同的始点求和.你有没有想过,选择不同的始点作出的向量和都相等吗?你可能认为,这是"显然"对的,你能证明这个问题吗? 点

评

向量的加法运算是向量的基本运算.为了正确认识理解向量加法的运算,案例首先回顾了的物理学中的位移、力的合成.在此基础上,使学生认识到:物理学中的矢量合成可抽象为数学

中的向量加法运算,进而总结出向量加法的三角形法则,平行四边形法则,这样设计自然,流畅,全面.向量加法的运算律的教学,是引导学生通过类比方法发现的,并让学生自主探索,构造图形验证,这样不仅体现了学生的主体地位,同时还能培养学生科学的探究能力.例题与练习、"拓展延伸"的设计,有层次,有力度,深入浅出,能较好地培养学生的创新能力.这是一篇优秀的案例设计.