2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示教学设计一等奖

2.3.1-2平面向量的正交分解及坐标表示

一、教学目标：

知识与技能：

1.通过探究活动，能推导并理解平面向量基本定理．

2.了解向量的夹角与垂直的概念，并能应用于平面向量的正交分解中，会把向量正交分解，会用坐标表示向量．

过程与方法：

掌握平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，理解这是应用向量解决实际问题的重要思想方法．能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达．

情感、态度与价值观

通过学习对学习进行辩证唯物主义思想教育、数学审美教育，提高学生学习数学的积极性．

二．重点难点 重点：平面向量基本定理、向量的夹角与垂直的定义、平面向量的正交分解、平面向量的坐标表示．

难点：平面向量基本定理的运用

三、教材与学情分析

平面向量基本定理既是本节的重点又是本节的难点．平面向量基本定理告诉我们同一平面内任一向量都可表示为两个不共线向量的线性组合，这样，如果将平面内向量的始点放在一起，那么由平面向量基本定理可知，平面内的任意一点都可以通过两个不共线的向量得到表示，也就是平面内的点可以由平面内的一个点及两个不共线的向量来表示．这是引进平面向量基本定理的一个原因．

平面内的任一向量a都可由x、y唯一确定，而有序数对(x，y)正好是向量a的终点的坐标，这样的“巧合”使平面直角坐标系内的向量与坐标建立起一一映射，从而实现向量的“量化”表示，使我们在使用向量工具时得以实现“有效能算”的思想．

四、教学方法

问题引导，主动探究，启发式教学．

五、教学过程

（一）导入新课

思路1.在物理学中我们知道，力是一个向量，力的合成就是向量的加法运算．而且力是可以分解的，任何一个大小不为零的力，都可以分解成两个不同方向的分力之和。如果e1、e2

是同一平面内的两个不共线的向量，a是这一平面内的任一向量，那么a与e1、e2之间有什么关系呢？

思路2.前面我们学习了向量的代数运算以及对应的几何意义，如果将平面内向量的始点放在一起，那么平面内的任意一个点或者任意一个向量是否都可以用这两个同起点的不共线向量来表示呢？

（二）探究新知

提出问题

：①给定平面内任意两个不共线的非零向量e1、e2，请你作出向量3e1＋2e2、e1－2e2.平面内的任一向量是否都可以用形如λ1e1＋λ2e2的向量表示呢？

②如图1，设e1、e2是同一平面内两个不共线的向量，a是这一平面内的任一向量，我们通过作图研究a与e1、e2之间的关系．

图1 由上述过程可以发现，平面内任一向量都可以由这个平面内两个不共线的向量e1、e2表示出来．当e1、e2确定后，任意一个向量都可以由这两个向量量化，这为我们研究问题带来极大的方便．

由此可得：平面向量基本定理：

如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1、λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2. 定理说明：(1)我们把不共线向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；

(2)基底不唯一，关键是不共线；

(3)由定理可将任一向量a在给出基底e1、e2的条件下进行分解；(4)基底给定时，分解形式唯一．

讨论结果：①可以．②a＝λ1e1＋λ2e2.

提出问题

：①平面中的任意两个向量之间存在夹角吗？若存在，向量的夹角与直线的夹角一样吗？

②对平面中的任意一个向量能否用两个互相垂直的向量来表示？

→→已知两个非零向量a和b(如图2)，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a与b的夹角．

图2 显然，当θ＝0°时，a与b同向；当θ＝180°时，a与b反向．因此，两非零向量的夹角在区间[0°，180°]内．如果a与b的夹角是90°，我们说a与b垂直，记作a⊥b. 由平面向量的基本定理，对平面上的任意向量a，均可以分解为不共线的两个向量λ1a1和λ2a2，

使a＝λ1a1＋λ2a2. 在不共线的两个向量中，垂直是一种重要的情形．把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．例如，重力G沿互相垂直的两个方向分解就是正交分解，正交分解是向量分解中常见的一种情形．

在平面上，如果选取互相垂直的向量作为基底时，会为我们研究问题带来方便．

讨论结果：①存在夹角且两个非零向量的夹角在区间[0°，180°]内；向量与直线的夹角不一样．

②可以．

提出问题

：①我们知道，在平面直角坐标系中，每一个点都可用一对有序实数的坐标表示.对直角坐标平面内的每一个向量，如何表示呢？

②在平面直角坐标系中，一个向量和坐标是否是一一对应的？

即它活动：如图3，在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底．对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x、y，使得

图3 a＝xi＋yj.

①

这样，平面内的任一向量a都可由x、y唯一确定，我们把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作

a＝(x，y)．

②

其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，②式叫做向量的坐标表示．显然，i＝(1,0)，j＝(0,1)，0＝(0,0)．教师应引导学生特别注意以下几点：

(1)向量a与有序实数对(x，y)一一对应．

(2)向量a的坐标与表示该向量的有向线段的起点、终点的具体位置没有关系，只与其→相对位置有关系．如图所示，A1B1是表示a的有向线段，A1、B1的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，则向量a的坐标为x＝x2－x1，y＝y2－y1，即a的坐标为(x2－x1，y2－y1)．

(3)为简化处理问题的过程，把坐标原点作为表示向量a的有向线段的起点，这时向量a的坐标就由表示向量a的有向线段的终点唯一确定了，即点A的坐标就是向量a的坐标，

讨论结果：①平面内的任一向量a都可由x、y唯一确定，我们把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y)．

②是一一对应的．

（三）

应用示例

1→→例1如图4，在ABCD中，AB＝a，AD＝b，H、M是AD、DC的中点，F使BF＝BC，3→→以a，b为基底分解向量AM与HF.

图4 活动：教师引导学生利用平面向量基本定理进行分解，让学生自己动手、动脑．教师可以让学生到黑板上板书步骤，并对书写认真且正确的同学提出表扬，对不能写出完整解题过程的同学给予提示和鼓励．

1→→→→1→→1→解：由H、M、F所在位置，有AM＝AD＋DM＝AD＋DC＝AD＋AB＝b＋a. 2221→→→→→→→1→1→→1→1→HF＝AF－AH＝AB＋BF－AH＝AB＋BC－AD＝AB＋AD－AD＝a－b. 32326→→→→点评：以a、b为基底分解向量AM与HF，实为用a与b表示向量AM与HF. 例2如图6，分别用基底i、j表示向量a、b、c、d，并求出它们的坐标．

图6 活动：本例要求用基底i、j表示a、b、c、d，其关键是把a、b、c、d表示为基底i、j的线性组合．一种方法是把a正交分解，看a在x轴、y轴上的分向量的大小．把向量a用i、j表示出来，进而得到向量a的坐标．另一种方法是把向量a移到坐标原点，则向量a终点的坐标就是向量a的坐标．同样的方法，可以得到向量b、c、d的坐标．另外，本例还可以通过四个向量之间位置的几何关系：a与b关于y轴对称，a与c关于坐标原点中心对称，a与d关于x轴对称等．由一个向量的坐标推导出其他三个向量的坐标．

→→解：由图可知，a＝AA1＋AA2＝xi＋yj，∴a＝(2,3)．

同理，b＝－2i＋3j＝(－2,3)；c＝－2i－3j＝(－2，－3)；d＝2i－3j＝(2，－3)．

点评：本例还可以得到启示，要充分运用图形之间的几何关系，求向量的坐标. λ＋2＝0，λ＝－2，→→→→→→→∴∴∴CM＝－NM＝MN. ∴CN＝CM＋MN＝2CM＝2a. 3＋3μ＝0.μ＝－1.

六、课堂小结

1．先由学生回顾本节学习的数学知识：平面向量的基本定理，向量的夹角与垂直的定义，平面向量的正交分解，平面向量的坐标表示．

2．教师与学生一起总结本节学习的数学方法，如待定系数法、定义法、归纳与类比、数形结合、几何作图．

七、课后作业

1.课时练与测

八、教学反思

1．教师应该多提出问题，多让学生自己动手作图来发现规律，通过解题来总结方法，引导学生理解“化归”思想对解题的帮助，也要让学生善于用“数形结合”的思想来解决这部分的题．

2．如果条件允许，借助多媒体进行教学会有意想不到的效果．整节课的教学主线应以学生练习为主，教师给予引导和提示．充分让学生经历分析、探究并解决实际问题的过程，这也是学习数学，领悟思想方法的最好载体．学生这种经历的实践活动越多，解决实际问题的方法就越恰当而简捷．