2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示优秀教学设计

第二章平面向量

第三节平面向量的基本定理及坐标表示

§2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示

课型：新授课

主备人：李俊涛

一、教学目标：

（一）知识与技能：

1.通过探究活动，理解平面向量的正交分解．

二次备课

1、解读教学目2.能应用于平面向量的正交分解中，会把向量正交分解，会用坐标表示标，使向量．

（二）过程与方法：

理解平面向量的正交分解，并应用平面向量的正交分解解决实际问题．

（三）情感、态度与价值观

通过学习对学习进行辩证唯物主义思想教育、数学审美教育，提高学生学习数学的积极性．

二、重点难点

重点：１.平面向量的正交分解．

２．平面向量的坐标表示．

难点：平面向量的正交分解．

三、教材与学情分析

学生理解本节课的学习内容。

2、通过对教学重难点上一课学***面向量基本定理，它告诉我们同一平面内任一向量都可的分析表示为两个不共线向量的线性组合，在不共线的两个向量中，垂直是一种重要的特殊情形，向量的正交分解是向量分解中常用且重要的一种分解，因为在平面上，如果选取互相垂直的向量作为基底时，会给问题的研究带来方便．

使学生联系平面向量基本定理和向量的正交分解，由点在直角坐标系中的表示抓住本得到启发，要在平面直角坐标系中表示一个向量，最方便的是分别取与x轴、解读，y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底，这时，对于平面直角坐标系内节课的的一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x、y，使得a关键，

＝xi＋yj. 于是，平面内的任一向量a都可由x、y唯一确定，而有序数对(x，y)正好是向量a的终点的坐标，这样的“巧合”使平面直角坐标系内的向量与从而租到有的坐标建立起一一映射，从而实现向量的“量化”表示，使我们在使用向量工放矢。

具时得以实现“有效能算”的思想．

四、教学方法

问题引导，主动探究，启发式教学．

五、教学过程

（一）复习回顾

１、平面向量基本定理：

如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任

意向量a，有且只有一对实数λ1、λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2. ２、关于向量的夹角：

已知两个非零向量a和b，作→OA＝a，→OB＝b，则∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a与b的夹角．

显然，当θ＝0°时，a与b同向；当θ＝180°时，a与b反向．因此，

两非零向量的夹角在区间[0°，180°]内．如果a与b的夹角是90°，我们

说a与b垂直，记作a⊥b. （二）导入新课

在不共线的两个向量中，垂直是一种重要的情形．把一个向量分解为两3、通过个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．例如，重力G沿互相垂直的两个提出问方向分解就是正交分解，正交分解是向量分解中常见的一种情形．

在平面上，如果选取互相垂直的向量作为基底时，会为我们研究问题带来方便．

题，让学生分讨论结果：①存在夹角且两个非零向量的夹角在区间[0°，180°]内；组讨论向量与直线的夹角不一样．

②可以．

探究，

提出问题

：①我们知道，在平面直角坐标系中，每一个点都可用一对充分调

有序实数呢？

即它的坐标表示.对直角坐标平面内的每一个向量，如何表示动学生的积极②在平面直角坐标系中，一个向量和坐标是否是一一对应的？

活动：如图3，在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两性与主个单位向量i、j作为基底．对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x、y，使得

动性。

图3

4、师生解疑，充分调动学a＝xi＋yj. ①

这样，平面内的任一向量a都可由x、y唯一确定，我们把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作

a＝(x，y)． ②

其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，②式叫做向量的坐标表示．显然，i＝(1,0)，j＝(0,1)，0＝(0,0)．教师应引导学生特别注意以下几点：

(1)向量a与有序实数对(x，y)一一对应．

(2)向量a的坐标与表示该向量的有向线段的起点、终点的具体位置没有→关系，只与其相对位置有关系．如图所示，A1B1是表示a的有向线段，A1、B1生，突出本节的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，则向量a的坐标为x＝x2－x1，y＝y2－y1，本节的即a的坐标为(x2－x1，y2－y1)．

(3)为简化处理问题的过程，把坐标原点作为表示向量a的有向线段的起点，这时向量a的坐标就由表示向量a的有向线段的终点唯一确定了，即点关键，同时，对学生x，y

A的坐标就是向量a的坐标，流程表示如下：

a＝xi＋yj⇔a的坐标为x，y⇔a＝→OA，A不理解部讨论结果：①平面内的任一向量a都可由x、y唯一确定，我们把有序数的对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y)．

②是一一对应的．

（三）

应用示例

例１如图，分别用基底i、j表示向量a、b、c、d，并求出它们的坐标．

分，重点解释。

5、例题讲

活动：本例要求用基底i、j表示a、b、c、d，其关键是把a、b、c、d表示为基底i、j的线性组合．一种方法是把a正交分解，看a在x轴、y轴上的分向量的大小．把向量a用i、j表示出来，进而得到向量a的坐标．另解时，老师重在分析，一种方法是把向量a移到坐标原点，则向量a终点的坐标就是向量a的坐让学生标．同样的方法，可以得到向量b、c、d的坐标．另外，本例还可以通过四个向量之间位置的几何关系：a与b关于y轴对称，a与c关于坐标原点中心对称，a与d关于x轴对称等．由一个向量的坐标推导出其他三个向量的坐标．

→＋AA→＝xi＋yj，∴a＝(2,3)．

解：由图可知，a＝AA12同理，b＝－2i＋3j＝(－2,3)；c＝－2i－3j＝(－2，－3)；d＝2i－3j＝(2，－3)．

点评：本例还可以得到启示，要充分运用图形之间的几何关系，求向量好。

的坐标. 变式训练2.i，j是两个不共线的向量，已知→AB＝3i＋2j，→CB＝i＋λj，→CD＝－2i＋j，若A、B、D三点共线，试求实数λ的值．

解：∵→BD＝→CD－→CB＝(－2i＋j)－(i＋λj)＝－3i＋(1－λ)j，

又∵A、B、D三点共线，

∴向量→AB与→BD共线．因此存在实数υ，使得→AB＝υ→BD，

即3i＋2j＝υ[－3i＋(1－λ)j]＝－3υi＋υ(1－λ)j. ∵i与j是两个不共线的向量，

先动手演练，在板书，效果会更

故33,1,∴∴当A、B、D三点共线时，λ＝3. (1)2,3.六、课堂小结

本节课在平面向量基本定理的前提下来学***面向量的正交分解及平面向量的坐标表示，同学们一定认真学习，灵活掌握．

七、课后作业

课本习题１０１页Ａ组

２、３题

八、教学设计

1、新课导入 2、解读目标 3、课前复习，引发思考 4、思考交流，形成概念 5、概念辨析，加深记忆 6、观察类比，推导公式 7、例题分析，推广应用 8、探究思考，巩固深化 9、课堂练习 10、总结概括，享受成功11、布置作业

九、板书设计

新课导入 ----学习目标---提出问题---学生探究----师生解疑--- 例题讲解-----课堂练习

十、课后反思

1、

值得肯定之处

1、教学目标明确，教学中重难点突出

2、教学时间分配合理，教学环节比较完整，环环相扣

3、课件制作精美，流畅，对课堂学习起到了很好的辅助作用

4、课堂氛围好，学生学习积极性高

５、通过有效设置问题，让学生分组讨论探究，并展示小组讨论的结果，对小组给予加分以示鼓励，充分调动学生的积极性与主动性，老师与学生的互

动较多，真正体现了以学生为学习的主体，教学效果很好。

2、有待改进之处

教师应该通过解题来总结方法，也要让学生善于用“数形结合”的思想来解决这部分的题，这样效果会更好．