阅读与思考 向量的运算（运算律）与图形性质优秀教学设计说课稿

《向量的运算（运算律）与图形性质》

教学设计

一、教材分析

1.地位与作用

本节课是人教版普通高中课程标准实验教科书A版必修4第二章《平面向量》2.5.2的（阅读与思考）的内容。这部分内容主要研究向量的运算（运算律）与图形性质之间的关系。向量作为一种重要的解题方法，在解决几何问题中的工具作用更为突出，借助几何图形的性质也能更好地解决向量问题，两者之间的关系很好地体现了数形结合的数学思想。

2.学情分析

学生在学习本节内容之前，已经初步掌握平面向量的相关运算及其运算律，也基本掌握向量运算的一些几何意义。学生会产生这样的疑问——以向量为工具，可以把几何图形、几何变换、向量运算及其运算律统一起来吗？本节课通过实验入手，引发学生思考几何图形与向量之间的关系。本节也为学生以后学习向量在三角函数、立体几何、复数等章节内容中的应用奠定了基础。

二、教学目标

1.知识与技能

⑴理解几何图形、几何变换、向量运算及运算律之间的相互关系；

⑵掌握借助几何图形解决向量问题的基本思路；

⑶掌握用向量方法解决平面几何与解析几何问题的基本方法和基本步骤。

2.过程与方法

本节课以实验为背景引入向量的图形表示形式，让学生明白向量的运算与图形性质之间的关系。通过图形的几何变换带领学生一起复习向量的运算及运算律。通过设置思考让学生明确向量运算的运算律。让学生进一步理解向量与几何图形之间的关系，设置例题与变式，夯实基础，提升能力，深入体会数形结合与转化化归的思想方法。

3.情感态度与价值观

通过本节课的学习，加深学生对向量的运算（运算律）与图形性质之间关系的认识，体会数形结合思想、转化与化归的思想方法，促使学生形成学数学、用数学的思维和意识。课堂中不断培养学生自主学习、主动探索，勤于观察、思考，善于总结的态度，并提高参与意识和合作精神。

三、教学重难点

重点：向量的运算（运算律）与图形性质之间的关系及其应用。

难点：借助几何图形解决向量问题及用向量的方法解决几何问题的基本思路与步骤。

四、教学基本流程

1.复习引入，导出课题

2.数形结合，深化课题





五、课时安排

1课时

3.应用举例，强化课题

4.归纳小结，巩固课5.布置作业，课后延伸

教学过程

导入新课

在之前的学习中，我们知道向量的运算可以用图形简明的表示，如向量的加法可以用三角形表示。

图形的性质也可以反映到向量的运算（运算律）上来。

【设计意图】引发学生思考几何图形是如何来反映向量的运算（运算律）的呢，从而引出课题。

通过几何图形的几何变换性质得到向量运算及其运算律。

平行四边形的平移变换，得到向量加法的交换律和结合律。

相似三角形的相似变换，得到数乘向量的分配律。

通过向量的数量积的定义得到向量数量积运算符合交换律。

ab|a||b|cos|b||a|cosba

通过数量积的几何意义利用直角三角形的垂直变换进一步证明数量积的交换律以及分配律成立。

【设计意图】

通过几何图形的几何变换性质帮助学生更好地理解向量的运算及运算律，感受向量的运算（运算律）与几何图形性质之间的紧密联系。

以向量为工具，把几何图形，几何变换，向量运算，向量运算律有机地统一起来。

思考：

数量积运算满足结合律吗？即a(bc)(ab)c成立吗？为什么？？

【设计意图】

让学生进一步明确向量运算符合哪些运算律。

应用示例

一、借助几何图形解决向量问题

例1：已知向量a(1,0),|ca|1,求c的终点的轨迹.

【设计意图】利用几何画板动态图形，帮助学生理解向量模的几何意义。为后面进一步利用几何图形解决向量问题作铺垫。

变式1：已知a,b是单位向量，ab0.若向量c满足|c(ab)|1,则|c|的取值范围是（） A.[21,21] B.[21,22] C.[1,21] D.[1,22]

借助现代信息技术利用希沃授课助手投影学生的解答过程，让学生来讲解该题。

【设计意图】在例1的基础上通过变式1，检测学生是否理解利用几何图形来解决向量模的问题。变式2.已知a,b是单位向量，ab0.若向量c满足|c|1,(ac)(bc)0,则

|abc|的最大值是 【设计意图】巩固提高学生对利用几何图形解决向量问题的掌握。 二、用向量方法解决几何问题

1、用向量方法解决平面几何问题

例2：如图，在ABC中，CA3,CB4,C60,点D是线段AB上的点，若D是AB的中点时，求AD的长.

C

AD

B【设计意图】引导学生了解用向量的方法解决平面向量问题的基本步骤。

几何问题向量化 向量运算关系化 向量关系几何化

2、用向量方法解决解析几何问题

113913例3：已知点A(,),B(,)在函数yx2图像上,点P(x,y)(x),

242422过点B作直线AP的垂线，垂足为Q.求|PA||PQ|的最大值.

【设计意图】通过练习，理解向量在解决解析几何时的作用与联系。

课堂小结

1.先由学生回顾本节学习的数学知识,向量的运算（运算律）与图形性质. 2.教师与学生总结本节学习的数学方法,数形结合、转化与化归等.在领悟数学思想方法的同时,鼓励学生多角度、发散性地思考问题.

作业：1在矩形ABCD中，AB1,AD2,动点P在以C为圆心且与AB相切的圆上.

若APABAD,则的最大值是（）A.3 B.22 C.5 D.2

2、已知a,b,e是平面向量，e是单位向量，若非零向量a与e的夹角为,向量b满足3b4eb30,则|ab|的最小值是（）A.31 B.31 C.2 D.23

2

板书设计：

2.5.2 阅读与思考

向量的运算（运算律）与图形性质

一、向量的运算（运算律）与图形性质

二、应用

1.借助几何图形解决向量问题

2.用向量的方法解决几何问题

数学思想：数形结合、转化与化归

例题图形