小结教学实录

平面向量数量积的物理背景及其含义

一、教学目标

1、知识与技能：

（1）了解平面向量数量积的物理背景，理解数量积的含义及其物理意义；

（2）理解数量积的性质和运算律；

（3）熟练掌握数量积的应用. 2、过程与方法：

（1）通过物理学中力做功这一物理背景，让学生体会从特殊到一般的思维方法；感受知

识的产生和发展的迁移过程，训练学生的逻辑思维能力；

（2）通过对数量积定义的理解与学习，培养学生观察、举一反三的能力. 3、情感态度价值观: 体会类比的数学思想和方法，进一步培养学生抽象概括、推理论证的能力. 二、教学重、难点

教学重点：1、平面向量数量积的含义与物理意义；

2、平面向量性质、运算律及其应用. 教学难点：1、平面向量数量积的概念； 2、平面向量数量积的运算律（2）、（3）的证明. 三、学情分析

学生在学习本节内容之前，已熟知了实数的运算体系，掌握了向量的概念及其线性运算，具备了功等物理知识，并且初步体会了研究向量运算的一般方法. 三、教学过程

（一）复习旧知

1、幻灯片展示本章所讲内容，简略介绍

(设计意图：学生学***面向量，非常明显的感受是知识零碎，做题时入手困难，通过简略介绍本章知识，使学生从整体上去把握本章的知识内容及方法，帮助学生更好的建立关于平面向量的知识网络体系.) 2、解决关于向量夹角的一道小题，帮助学生回忆向量夹角的相关知识. （二）创设问题情景，引出新课

1、给出有关材料并提出问题

（1）如图所示，一物体在力F的作用下产生位移S，

那么力F所做的功：W= |F| |S| cos。 （2）你能用文字语言表述“功的计算公式”吗? 

S F

功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积. 2、数量积的定义

已知两个非零向量a与b，它们的夹角为，我们把数量

︱a︱·︱b︱cos叫做a与b的数量积（或内积或点乘），记作：a·b，即：a·b=

︱a︱·︱b︱cos. 规定：零向量与任一向量的数量积为0. 思考：向量的数量积是一个数量，那么它什么时候为正，什么时候为负？

a·b=

︱a︱·︱b︱cos

当0°≤θ

＜ 90°时，a·b为正；

当90°＜θ

≤180°时，a·b为负；

当θ

=90°时，a·b为零. 内积值由三方面定，符号仅由夹角定. 注意：

1、ab是一种新的运算，叫内积，也叫点乘，用“”连接且不能省略，也不能用连接；

2、ab结果是数量而不是向量,与数的乘积ab(或ab)不同；

3、ab结果可正，可负，也可以为零.判断正误：

1若ab=0，则a0或b0;2若ab0,则a与b的夹角为锐角；3abc=abc.例1、已知a5，b4，a与b的夹角120，求ab

（三）数量积的性质 ababcos

设a、b是非零向量

(1)ab0ab 垂直性质

(2)a与b同向abab，a与b异向ab-ab

共线性质

(3)aaa2a即aaaa22 长度性质，实现了实数运算与向量运算相互转化.

(4)cosabab夹角性质

不等性质

（四）数量积的运算律

1、a·b= b·a 交换律 2、(5)ababababab 结合律

3、（a

+ b）·c =a·c

+b

·c 分配律

（五）例题

例2、已知|a|6,|b|4,a与b的夹角为60o,求（a2b)(a3b).

例3、求证：(1)(ab)2a2abb(2)(ab）（ab)ab

例4、已知a6,b4,a与b的夹角为600，求(1)ab;(2)ab.例5、

a4,b4,ab82.求a与b的夹角.

练习：a12,b9,ab-542.求a与b夹角.2222

（六）小结

1.平面向量的数量积的概念 2.平面向量的数量积的五大性质

3.平面向量的数量积的运算律

（七）布置作业

练习册

教学设计说明

平面向量的数量积是一种非常重要的运算，同向量线性运算一样，既有深刻的数学背景，也有现实的物理背景。本节课从总体上说是一节概念教学，在数量积概念的引入过程中，先从物理角度创设问题情景，使学生明白研究这种运算是研究客观世界的需要，从而产生强烈的求知欲望。相对于线性运算而言，数量积的结果发生了本质的变化，为了让学生理解这一点，首先让学生思考影响数量积结果的因素。通过例1的练习，一方面使学生尝试计算数量积，另一方面使学生理解数量积的物理意义，同时也为数量积的性质埋下伏笔。

数量积的性质和运算律是数量积概念的延伸，教材中对这两方面的内容都是以探究的形

式出现，对于这两部分内容，并没有进行详细证明。对于性质证明，简单提示思路，没有书写规范步骤；对于运算律，通过与实数运算律对比得到。在应用环节，重点讲解例3、例4、例5，例1和例2则由学生独立完成，这样既加强了学生的练习，同时也便于通过观察、问答等方式对学生的掌握情况做出适当的评价。在小结这个环节中，主要是让学生从知识技能、思想方法两个方面对本节课的内容进行全面回顾总结，达到提高认识，形成体系的目的，同时也为下一节课的内容做好铺垫，不断激发学生的求知欲。

本节课没有给出向量的投影概念，也没有涉及数量积的几何意义。原因在于，给出数量积的概念后，更多的是让学生去利用数量积解决向量模、向量夹角、向量垂直等问题，注重应用。至于向量的投影概念及数量积的几何意义，打算在第二课时再作进一步说明。

教学反思

本节课讲的内容是“平面向量数量积的物理背景及其含义”，包括：数量积的含义、数量积的性质、数量积的运算律。理论内容多而乱，后边练习的时间过少，导致一些重要题型没有时间讲解。为解决该问题，可采取如下措施：将一课时内容分解为两课时内容，可以有更加充裕的时间去进行针对性练习。讲解数量积可正、可负、可为零时，先给出相应的练习题，让学生在实践中先得到该结论，然后再从理论上进行说明；讲解数量积性质时，可以在每条性质后配上相应的练习题，这样可以使学生对相关知识有更加深刻的认识。