复习参考题多媒体教案及点评

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1．在直角坐标系中，设任意角α终边上任意一点P(x，y)，它与原点的距离为r＝x2＋y2，yxy则sin α＝；cos α＝；tan α＝. rrx2．任意角的三角函数值只与这个角的终边位置有关，而与点P在终边上的位置无关；角与三角函数值的对应关系是多值对应关系，给定一个角，它的三角函数值是唯一确定的；反过来，给定一个三角函数值，有无穷多个角和它对应．

3．三角函数值在各象限的符号有如下记忆口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦．依据相应三角函数值的符号可以确定角终边所在的象限．

[典例1]

已知角α的终边经过点P(12m，－5m)(m≠0)，求sin α，cos α，tan α的全品教学网www.canpoint.cn

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值．

解：r＝（12m）2＋（－5m）2＝13|m|，

若m>0，则r＝13m，α为第四象限角，

y－5m5sin α＝＝＝－，

r13m13x12m12cos α＝＝＝，

r13m13y－5m5tan α＝＝＝－.

x12m12若m<0，则r＝－13m，α为第二象限角，

y－5m5sin α＝＝＝，

r－13m13x12m12cos α＝＝＝－，

r－13m13y－5m5tan α＝＝＝－. x12m12[对点训练] 1．(1)α是第四象限角，P(5，x)为其终边上一点，且sin α＝106210

B.

C.

D．－

44442x，则cos α的值为(

) 4A.π(2)若－<α<0，则点P(tan α，cos α)位于(

) 2A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限

解析：(1)选A

由定义可得sin α＝10.

4π(2)选B

∵－<α<0，∴tan α<0，cos α>0，

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57479593 邮箱：jiaoxue@canpoint.cn x25＝x，x<0，可得x＝－3，∴cos α＝22x2＋54＝

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∴点P(tan α，cos α)位于第二象限.

三角函数式的化简、求值与证明问题的依据主要是同角三角函数的关系式及诱导公式．化简的顺序是：

(1)先用诱导公式化为同角三角函数．

(2)再用同角三角函数关系化简．

用同角三角函数关系化简时，有两种思路：①化弦法：当切函数的项比较少时，常常化弦达到化简的目的；②化切法：当弦函数的项比较少或者正、余弦的表达式是齐次式时，常常化切，便于化简．

2＋tan（θ－π）[典例2]

已知＝－4，求(sin θ－3cos θ)·(cos θ－sin θ)的值．

1＋tan （2π－θ）2＋tan（θ－π）2＋tan θ解：＝＝－4，解得tan θ＝2.

1＋tan （2π－θ）1－tan θ(sin θ－3cos θ)·(cos θ－sin θ)

＝sin θcos θ－sin2

θ－3cos2

θ＋3sin θcos θ

4sin θcos θ－sin2

θ－3cos2

θ＝

sin2

θ＋cos2

θ4tan θ－tan2

θ－3＝

tan2

θ＋14×2－22－3＝

22＋11＝.

5[对点训练] 2．化简下列各式：

sin3（π＋α）cos（－α）cos（π－α）(1)＋

tan3（π＋α）cos3（－α－π）全品教学网www.canpoint.cn

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cos（α＋3π）sin2（α＋3π）cos23π＋α2；

3tan（α＋5π）tan（π＋α）cos（π＋α）tan（－510°）cos（－210°）cos 120°sin 29°(2)＋－tan 36°·tan 54°. tan（－600°）sin（－330°）cos 61°解：(1)原式

－sin3αcos α（－cos α）（－cos α）sin2αsin2α＝＋

tan3α（－cos α）3tan αtan α（－cos α）3sin3αcos2αcos αsin4α＝－3＋2

sinαsinα33·cosα·cosαcos3αcos2α＝－cos2α＋sin2α

＝2sin2α－1.

(2)原式

＝－tan 510°cos 210°cos 120°sin 29°＋－tan 36°·tan 54°

－tan 600°（－sin 330°）cos 61°tan（360°＋150°）cos（180°＋30°）cos（180°－60°）＝－＋1－

tan（2×360°－120°）sin（360°－30°）tan 36°tan 54°

tan 150°（－cos 30°）（－cos 60°）＝－

tan（－120°）（－sin 30°）＝tan（180°－30°）cos 30°cos 60°

tan（－180°＋60°）sin 30°（－tan 30°）cos 30°cos 60°

tan 60°sin 30°3. 6＝＝－

(1)“五点法”作图中的五点分别为图象的最高点、最低点及与x轴的交点，描点作图并向左或向右平移即得正弦曲线和余弦曲线．

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周期变换ω(ω>0)→周期变换ω(ω>0)→振幅变换A(A>0)和周期变换ω(ω>0)→相位变换φ(φ≠0)→振幅变换A(A>0)．注意二者平移量的不同．

(3)由已知条件确定函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式，需要确定A，ω，φ，其中A，ω易求，下面介绍求φ的几种方法．

①平衡点法

x＋φ知它的平衡点的横坐标为－φ，由y＝Asin(ωx＋φ)＝Asinω所以我们可以找与原ωωφ点相邻的且处于递增部分的平衡点，令其横坐标为x1＝－，则可求φ. ω②确定最值法

这种方法避开了“伸缩变换”且不必牢记许多结论，只需解一个特殊的三角方程．

③利用单调性

将函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与y＝sin x的图象比较，选取它们的某一个单调区间得到一个等式，解答即可求出φ. π[典例3]

已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<的图象上的一个最低点为2M2π，－2，周期为π. 3(1)求f(x)的解析式；

(2)将y＝f(x)的图象上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后再将所得π的图象沿x轴向右平移个单位，得到函数y＝g(x)的图象，写出函数y＝g(x)的解析式；

6π(3)当x∈0，时，求函数f(x)的最大值和最小值．

122π解：(1)由题可知T＝＝π，

ω∴ω＝2.又f(x)min＝－2，

∴A＝2.由f(x)的最低点为M，得sin全品教学网www.canpoint.cn

4π＋φ＝－1.

3邮箱：jiaoxue@canpoint.cn 010-57479592

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π∵0<φ<，

2∴4π4π11π<＋φ<.

3364π3πππ＋φ＝.∴φ＝.∴f(x)＝2sin2x＋.

3266∴πππ1横坐标伸长到原来(2)y＝2sin2x＋的2倍（纵坐标不变）――→y＝2sin×2x＋＝2sinx＋6626沿x轴向右x－π＋π＝2sin x，∴g(x)＝2sin x.

π――→y＝2sin平移个单位666ππππ(3)∵0≤x≤，∴≤2x＋≤.

12663πππ∴当2x＋＝，即x＝0时，f(x)min＝2sin ＝1，

666ππππ当2x＋＝，即x＝时，f(x)max＝2sin ＝3. 63123[对点训练] π3π3．函数y＝tan x＋sin x－|tan x－sin x|在区间，内的图象大致是(

) 22

π解析：选D

当x∈，π时，sin x≥0，tan x≤0，

2∴tan x－sin x≤0.

∴y＝tan x＋sin x－(sin x－tan x)＝2tan x.

3π同理，当x∈π，时，sin x<0，tan x>0，

2全品教学网www.canpoint.cn

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故tan x－sin x>0.

∴y＝tan x＋sin x－(tan x－sin x)＝2sin x.

综上可知，选项D正确．

4．如图，是函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k(A>0，ω>0)的一段图象．

(1)求此函数解析式；

(2)分析一下该函数是如何通过y＝sin x变换得来的？

解：(1)由图象知

31－－－221A＝＝，

2231－－＋22k＝＝－1，

2T＝2×2ππ3－6＝π，

2π1∴ω＝＝2.∴y＝sin(2x＋φ)－1.

T2ππππ当x＝时，2×＋φ＝，∴φ＝.

6626π1∴所求函数解析式为y＝sin2x＋－1.

26ππ(2)把y＝sin x向左平移个单位，得到y＝sinx＋，然后纵坐标保持不变、横坐标66π11缩短为原来的，得到y＝sin2x＋，再横坐标保持不变，纵坐标变为原来的，得到y＝

226πππ111sin2x＋，最后把函数y＝sin2x＋的图象向下平移1个单位，得到y＝sin2x＋222666－1的图象. 全品教学网www.canpoint.cn

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(1)函数y＝sin x和y＝cos x的周期是2π，y＝tan x的周期是π；函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的周期是2ππ，y＝Atan(ωx＋φ)的周期是. |ω||ω|(2)函数y＝sin x和y＝cos x的有界性为：－1≤sin x，cos x≤1，函数y＝tan x没有最值．有界性可用来解决三角函数的最值问题．

πππ3π(3)函数y＝sin x在－＋2kπ，＋2kπ上递增，在＋2kπ，＋2kπ上递减；2222函数y＝cos x在[－π＋2kπ，2kπ]上递增，在[2kπ，2kπ＋π]上递减；函数y＝tan x在－π＋kπ，π＋kπ上递增，以上k∈Z. 22(4)利用函数的单调性比较同名三角函数值的大小时，注意利用诱导公式将角化到同一单调区间内；求形如f(ωx＋φ)的单调区间时，采用整体代换的方法将ωx＋φ视为整体求解相应x的范围即可，注意ω的符号及f对单调性的影响．

[典例4]

函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)在x∈(0，7π)内取到一个最大值和一个最小值，且当x＝π时，y有最大值3，当x＝6π时，y有最小值－3. (1)求此函数解析式；

(2)写出该函数的单调递增区间．

T解：(1)由题可知A＝3，＝5π，

2∴T＝10π.

2π11π∴ω＝＝，π＋φ＝.

T5523π∴φ＝.

1013π∴y＝3sinx＋.

510全品教学网www.canpoint.cn

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π13ππ(2)令2kπ－≤x＋≤2kπ＋，

25102得10kπ－4π≤x≤10kπ＋π，k∈Z.

∴函数的单调递增区间为

{x|10kπ－4π≤x≤10kπ＋π，k∈Z}．

[对点训练] π5．函数f(x)＝3sin2x－的图象为C. 311π①图象C关于直线x＝对称；

12π5π②函数f(x)在区间－，内是增函数；

1212π③由y＝3sin 2x的图象向右平移个单位长度可以得到图象C. 3以上三个论断中，正确论断的个数是(

) A．0

B．1 C．2

D．3 解析：选C

①f3π11π11ππ＝3sin－＝3sin 2＝－3，

312611π∴直线x＝为对称轴，①对；

12π5ππππ②由－

1212232ππ由于函数y＝3sin x在－，内单调递增，

22π5π故函数f(x)在－，内单调递增，②对；

1212ππ③f(x)＝3sin 2x－，而由y＝3sin 2x的图象向右平移个单位长度得到函数y＝3sin 36π2x－的图象，得不到图象C，③错．

3全品教学网www.canpoint.cn

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(时间：120分钟

满分：150分) 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．在0°～360°的范围内，与－510°终边相同的角是(

) A．330°

B．210°

C．150°

D．30°

解析：选B

因为－510°＝－360°×2＋210°，因此与－510°终边相同的角是210°. 2．若sin α＝π3π，<α<π，则sinα＋＝(

) 322A．－61

B．－

3216C.

D.

23π解析：选A

∵sin＋α＝cos α，

2π36又<α<π，sin α＝，∴cos α＝－. 2333．已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是(

) 2A．2

B.

sin 1C．2sin 1

D．sin 2 1解析：选B

如图，由题意知θ＝1，BC＝1，圆的半径r满足sin θ＝sin 1＝，

r12所以r＝，弧长AB＝2θ·r＝.

sin 1sin 1

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π4．函数f(x)＝sinx－的图象的一条对称轴是(

) 4ππA．x＝

B．x＝

42ππC．x＝－

D．x＝－

42ππ3ππ解析：选C

f(x)＝sinx－的图象的对称轴为x－＝kπ＋，k∈Z，得x＝kπ＋，

4244π当k＝－1时，则其中一条对称轴为x＝－. 45．化简1＋2sin（π－2）·cos（π－2）得(

) A．sin 2＋cos 2

B．cos 2－sin 2 C．sin 2－cos 2

D．±cos 2－sin 2 解析：选C

1＋2sin（π－2）·cos（π－2）

＝1＋2sin 2·（－cos 2）

＝（sin 2－cos 2）2，

π∵<2<π，∴sin 2－cos 2>0.

2∴原式＝sin 2－cos 2. π6．函数f(x)＝tanx＋的单调增区间为(

) 4ππA.kπ－，kπ＋，k∈Z

22B．(kπ，(k＋1)π)，k∈Z

3ππC.kπ－，kπ＋，k∈Z

44π3πD.kπ－，kπ＋，k∈Z

44πππ3ππ解析：选C

令kπ－

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选C. π3π37．已知sin＋α＝，则sin－α的值为(

) 4241133A.

B．－

C.

D．－

2222π3π解析：选C

∵＋α＋－α＝π，

44∴3ππ－α＝π－＋α，

443πππ3－α＝sinπ－＋α＝sin＋α＝. 4442ααα＝－cos ，则的终边所在的象限是(

) 222∴sin8．设α是第三象限的角，且cos A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限

解析：选B

∵α是第三象限的角，

3π∴π＋2kπ<α<＋2kπ，k∈Z.

2πα3π∴＋kπ<<＋kπ，k∈Z.

224α∴在第二或第四象限．

2又∵cos ααα＝－cos ，∴cos <0.

222α∴是第二象限的角．

2ππ9．函数y＝cos2x＋sin x－≤x≤的最大值与最小值之和为(

) 6633A.

B．2

C．0

D.

241ππ5sin x－＋，∵－≤x≤，

解析：选A

f(x)＝1－sinx＋sin x＝－246622全品教学网www.canpoint.cn

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11∴－≤sin x≤.

2211当sin x＝－时，f(x)min＝；

2415当sin x＝时，f(x)max＝，

24153∴f(x)min＋f(x)max＝＋＝. 442π10．将函数y＝sinx－的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再3π将所得的图象向左平移个单位，得到的图象对应的解析式为(

) 311πA．y＝sin x

B．y＝sinx－

222π1πC．y＝sinx－

D．y＝sin2x－

626π解析：选C

将函数y＝sinx－的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标3π11π不变)，即将x变为x，即可得y＝sinx－，然后将其图象向左平移个单位，即将x变2323π为x＋.

3ππ11π∴y＝sinx＋－＝sinx－. 2623311．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)的一段图象如图所示，则函数的解析式为(

)

πA．y＝2sin2x－

4全品教学网www.canpoint.cn

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π3πB．y＝2sin2x－或y＝2sin2x＋

443πC．y＝2sin2x＋

43πD．y＝2sin2x－

4πππ解析：选C

由图象可知A＝2，因为－－＝，

884所以T＝π，ω＝2.

ππ当x＝－时，2sin－·2＋φ＝2，

88π即sinφ－＝1，又|φ|<π，

43π3π解得φ＝.故函数的解析式为y＝2sin2x＋. 4411－1＝－a，9x－＝fx＋，12．函数f(x)＝Asin ωx(ω>0)，对任意x有f且f那么f2244等于(

) A．a

B．2a

C．3a

D．4a

111111x－＝fx＋，得f(x＋1)＝fx＋2＋＝fx＋－＝f(x)，

解析：选A

由f22222即1是f(x)的周期．而f(x)为奇函数，

91－1＝a. 则f＝f＝－f444二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13．已知tan α＝－3，π<α<π，那么cos α－sin α的值是________．

2π解析：因为<α<π，所以cos α<0，sin α>0，

2所以cos α＝－cosα＝－全品教学网www.canpoint.cn

2cos2α

cos2α＋sin2α邮箱：jiaoxue@canpoint.cn 010-57479592

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＝－1＝－1＋tan2α3，

211＝－.

21＋3sin α＝1＋3所以cos α－sin α＝－.

21＋3答案：－

214．设f(n)＝cos解析：f(n)＝cosnππ2＋4，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 015)等于________．

nππ2＋4的周期T＝4，

3πππ2且f(1)＝cos＋＝cos ＝－，

4224π2f(2)＝cosπ＋＝－，

24f(3)＝cos3ππ2＋＝，

422π2f(4)＝cos2π＋＝.

42所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝0，

所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 015)

＝f(1)＋f(2)＋f(3)＝－2

22.

2答案：－a（a≤b），15．定义运算a*b为a*b＝例如1*2＝1，则函数f(x)＝sin x*cos x的值域b（a>b），为________．

解析：由题意可知，这实际上是一个取小的自定义函数，结合函数的图象可得其值域为－1，2.

2全品教学网www.canpoint.cn

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答案：－1，2

2π7ππ16．给出下列4个命题：①函数y＝sin2x－的最小正周期是；②直线x＝是21212π1函数y＝2sin3x－的一条对称轴；③若sin α＋cos α＝－，且α为第二象限角，则tan 5423α＝－；④函数y＝cos(2－3x)在区间3，3上单调递减．其中正确的是________．(写出所4有正确命题的序号)．

π解析：函数y＝sin2x－的最小正周期是π，

12ππ则y＝sin2x－的最小正周期为，

212故①正确．

7π3π7ππ对于②，当x＝时，2sin3×－＝2sin ＝－2，故②正确．

1221241对于③，由(sin α＋cos α)2＝得

252472sin αcos α＝－，α为第二象限角，所以sin α－cos α＝1－2sin αcos α＝，

255343所以sin α＝，cos α＝－，所以tan α＝－，故③正确．

554对于④，函数y＝cos(2－3x)的最小正周期为误．

答案：①②③

三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) tan α17．(10分)已知＝－1，求下列各式的值：

tan α－1sin α－3cos α(1)；(2)sin2α＋sin αcos α＋2. sin α＋cos α全品教学网www.canpoint.cn

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57479593 邮箱：jiaoxue@canpoint.cn 2π272π，3长度>，而区间，显然④错3333

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tan α1解：由＝－1，得tan α＝.

2tan α－11－3sin α－3cos αtan α－325(1)＝＝＝－.

3sin α＋cos αtan α＋11＋12(2)sin2α＋sin αcos α＋2＝sin2α＋sin αcos α＋2(cos2α＋sin2α)

3sin2α＋sin αcos α＋2cos2α＝

sin2α＋cos2α113＋＋223tanα＋tan α＋22213tan2α＋1＝21＋12＝52＝.

1π18．(12分)已知函数f(x)＝2sinx－，x∈R. 36(1)求f5π4的值；

(2)求函数f(x)的单调递增区间．

解：(1)fπ5π15ππ＝2sin×－＝2sin ＝2

46434π1ππ(2)令2kπ－≤x－≤＋2kπ，k∈Z，

2362π12π所以2kπ－≤x≤＋2kπ，k∈Z，

333解得6kπ－π≤x≤2π＋6kπ，k∈Z，

1π所以函数f(x)＝2sinx－的单调递增区间为[6kπ－π，2π＋6kπ]，k∈Z. 36π19．(12分)已知函数f(x)＝3sinx＋. 4(1)用五点法画出它在一个周期内的闭区间上的图象；

(2)写出f(x)的值域、最小正周期、对称轴，单调区间．

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解：(1)列表如下：

x πx＋

4πsinx＋

4π3sinx＋

4描点画图如图所示．

ππ3π5π7π－

444440

π

21

π

3π

2π

2－1

0 0

0

0

3

0

－3

0

(2)由图可知，值域为[－3，3]，最小正周期为2π，

π对称轴为x＝＋kπ，k∈Z，

43ππ单调递增区间为－＋2kπ，＋2kπ(k∈Z)，单调递减区间为44π＋2kπ，5π＋2kπ(k∈Z)．

44π20．(12分)如图，函数y＝2sin(πx＋φ)，x∈R其中0≤φ≤的图象与y轴交于点(0，21)．

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(1)求φ的值；

(2)求函数y＝2sin(πx＋φ)的单调递增区间；

(3)求使y≥1的x的集合．

解：(1)因为函数图象过点(0，1)，

1所以2sin φ＝1，即sin φ＝.

2ππ因为0≤φ≤，所以φ＝.

26π(2)由(1)得y＝2sinπx＋，

6πππ所以当－＋2kπ≤πx＋≤＋2kπ，k∈Z，

26221即－＋2k≤x≤＋2k，k∈Z时，

3321ππ－＋2k，＋2k，y＝2sinπx＋是增函数，故y＝2sinπx＋的单调递增区间为3366k∈Z.

π1(3)由y≥1，得sinπx＋≥，

62ππ5π所以＋2kπ≤πx＋≤＋2kπ，k∈Z，

6662即2k≤x≤＋2k，k∈Z，

32所以y≥1时，x的集合为x|2k≤x≤3＋2k，k∈Z. π21．(12分)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)，在同一周期内，当x＝127π时，f(x)取得最大值3；当x＝时，f(x)取得最小值－3. 12全品教学网www.canpoint.cn

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(1)求函数f(x)的解析式；

(2)求函数f(x)的单调递减区间；

ππ(3)若x∈－，时，函数h(x)＝2f(x)＋1－m的图象与x轴有两个交点，求实数m36的取值范围．

解：(1)由题意，A＝3，T＝22π7ππ－＝π，ω＝T＝2.

1212πππ由2×＋φ＝＋2kπ，k∈Z，得φ＝＋2kπ，k∈Z，

1223π又因为－π<φ<π，所以φ＝.

3π所以f(x)＝3sin2x＋.

3(2)由ππ3π＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，

232π7π得＋2kπ≤2x≤＋2kπ，k∈Z，

66π7π则＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，

1212π7π所以函数f(x)的单调递减区间为＋kπ，＋kπ(k∈Z)．

1212πm－1ππ(3)由题意知，方程sin2x＋＝在－，上有两个根．

6336ππ因为x∈－，，

36ππ2π所以2x＋∈－，.

333m－13所以∈.

62，1所以m∈[33＋1，7)．

22．(12分)如图，函数y＝2cos(ωx＋θ)(x∈R，ω>0，0≤θ全品教学网www.canpoint.cn

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π≤的图象与y轴交于点2邮箱：jiaoxue@canpoint.cn

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(0，3)，且该函数的最小正周期为π.

(1)求θ和ω的值；

π3(2)已知点A，0，点P是该函数图象上一点，点Q(x0，y0)是PA的中点，当y0＝，22x0∈π，π时，求x0的值．

2解：(1)把(0，3)代入y＝2cos(ωx＋θ)中，

得cos θ＝3.

2ππ∵0≤θ≤，∴θ＝.

262π2π∵T＝π，且ω>0，∴ω＝＝＝2.

Tππ3(2)∵点A，0，Q(x0，y0)是PA的中点，y0＝，

22π∴点P的坐标为2x0－，3.

2ππ∵点P在y＝2cos2x＋的图象上，且≤x0≤π，

265π3∴cos4x0－＝，

62且7π5π19π≤4x0－≤.

6665π11π5π13π∴4x0－＝或4x0－＝.

66662π3π∴x0＝或x0＝. 34

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