2.5.2 向量在物理中的应用举例公开课教案

第三节

平面向量的数量积与平面向量应用举例

班级

姓名

1．平面向量的数量积：已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，把数量

叫做a和b的数量积(或内积)，记作a·b.即a·b＝

，规定0·a＝

. 2．AB在CD方向上的投影为: |AB|cos〈AB，CD〉＝CDAB·

| CD|3．向量数量积的运算律

(1)a·b＝b·a.

(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．

(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c. 4．平面向量数量积的有关结论：

已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2) 结论

模

夹角

a⊥b的充要条件

|a·b|与|a||b|的关系

几何表示

|a|＝a·a cos θ＝

坐标表示

|a|＝

cos θ＝

a·b＝

＝0 222|x1x2＋y1y2|≤x21＋y1x2＋y2

|a·b|≤|a||b|

[小题体验]

1．(2015·全国卷Ⅱ)向量a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，则(2a＋b)·a＝(

) A．－1

B．0

C．1

D．2 12．已知向量a，b都是单位向量，且a·b＝，则|2a－b|的值为________．

2

3．给出下列说法：

①向量b在向量a方向上的投影是向量；

②若a·b>0，则a和b的夹角为锐角，若a·b<0，则a和b的夹角为钝角；

③(a·b)c＝a(b·c)；

④若a·b＝0，则a＝0或b＝0.

其中正确的说法有________个．

4．已知平面向量a＝(2,4)，b＝(1，－2)，若c＝a－(a·b)b，则|c|＝________.

5．

(2016·南宁)已知向量a，b满足|a|＝|b|＝2且(a＋2b)·(a－b)＝－2，则向量a与b的夹角为________．

注意：1．(1)0与实数0的区别：0a＝0≠0，a＋(－a)＝0≠0，a·0＝0≠0；

(2)0的方向是任意的，并非没有方向，0与任何向量平行.

2．a·b＝0不能推出a＝0或b＝0，因为a·b＝0时，可能a⊥b.

3．在运用向量夹角时，注意其取值范围[0，π]．

4．用|a|＝a2求向量的模

考点一

平面向量的数量积的运算

1．设向量a＝(－1,2)，b＝(m,1)，如果向量a＋2b与2a－b平行，那么a与b的数量积等于(

) 7135A．－

B．－

C.

D.

22221

2．已知AB＝(2,1)，点C(－1,0)，D(4,5)，则向量AB在CD方向上的投影为(

) 3232A．－

B．－35

C.

D．35 22

3．(2014·重庆高考)已知向量a与b的夹角为60°，且a＝(－2，－6)，|b|＝10，则a·b＝________.

4．(2015·天津高考)在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°.点E和F21分别在线段BC和DC上，且BE＝BC，DF＝DC，则AE·AF的值为________．

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向量数量积的2种运算方法

方法

定义法

坐标法

运用提示

适用题型

当已知向量的模和夹角θ时，可利用定义法求解，适用于平面图形中的向量数量积的即a·b＝|a|·|b|cos θ

有关计算问题

当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2

适用于已知相应向量的坐标求解数量积的有关计算问题，

考点二

平面向量数量积的性质

角度一：平面向量的模

11．(2015·浙江高考)已知e1，e2是平面单位向量，且e1·e2＝.若平面向量b满足b·e1＝b·e2＝1，则|b|2＝________.

2．(2014·北京高考)已知向量a，b满足|a|＝1，b＝(2,1)，且λa＋b＝0(λ∈R)，则|λ|＝________.

角度二：平面向量的夹角

3．(2015·重庆高考)已知非零向量a，b满足|b|＝4|a|，且a⊥(2a＋b)，则a与b的夹角为(

) ππ2π5πA.

B.

C.

D.

3236

4．(2016·江西八校联考)在△ABC中，AB＝(2，3)，AC＝(1，2)，则△ABC的面积为________．

角度三：平面向量的垂直

5．(2014·重庆高考)已知向量a＝(k,3)，b＝(1,4)，c＝(2,1)，且(2a－3b)⊥c，则实数k＝(

) 915A．－

B．0

C．3

D.

22

6．已知向量AB与AC的夹角为120°，且|AB|＝3，|AC|＝2.若AP＝λAB＋AC，且AP⊥BC，则实数λ的值为________．

平面向量数量积求解问题的策略

(1)求两向量的夹角：要注意θ∈[0，π]．

(2)两向量垂直的应用：两非零向量垂直的充要条件是：a⊥b⇔a·b＝0⇔|a－b|＝|a＋b|. 2

(3)求向量的模：利用数量积求解长度问题的处理方法有：

①a2＝a·a＝|a|2或|a|＝a·a.

②|a±b|＝a±b2＝a2±2a·b＋b2.

③若a＝(x，y)，则|a|＝x2＋y2.

考点三

平面向量与三角函数的综合

1．

(2015·烟台一模)已知函数f(x)＝a·b，其中a＝(2cos x，－3sin 2x)，b＝(cos x,1)，x∈R. (1)求函数y＝f(x)的单调递减区间；

(2)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，f(A)＝－1，a＝7，且向量m＝(3，sin B)与n＝(2，sin C)共线，求边长b和c的值．

平面向量与三角函数的综合问题的解题思路

题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，(1)运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解．

(2)经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等．

BC

2．(2015·河南三市调研)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足(2a－c) BA·CA. ＝cCB·(1)求角B的大小；

(2)若|BA－BC|＝6，求△ABC面积的最大值．

.

.

1．(2016·北师大附中模拟)已知向量a＝(x－1,2)，b＝(2,1)，则a⊥b的充要条件是(

) 1A．x＝－

B．x＝－1

C．x＝5

D．x＝0 23

2．已知向量a＝(1,2)，b＝(1,0)，c＝(3,4)，若λ为实数，(b＋λa)⊥c，则λ的值为(

) 31113A．－

B．－

C.

D.

113253．(2015·太原模拟)已知向量a，b满足(2a－b)·(a＋b)＝6，且|a|＝2，|b|＝1，则a与b的夹角为________．

4．已知a＝(m＋1，－3)，b＝(1，m－1)，且(a＋b)⊥(a－b)，则m的值是________．

5．(2016·洛阳质检)已知

|a|＝1，|b|＝6，a·(b－a)＝2，则向量a与b的夹角为

(

) ππππA.

B.

C.

D.

2346

6．(2015·济宁二模)平面四边形ABCD中，AB＋CD＝0，(AB－AD)·AC＝0，则四边形ABCD是(

) A．矩形

B．正方形

C．菱形

D．梯形

7．(2016·石家庄调研)若a，b，c均为单位向量，且a·b＝0，则|a＋b－c|的最小值为(

) A.2－1

B．1

C.2＋1

D.2

8．(2015·湖南师大附中月考)如图所示，在等腰直角三角形AOB中，OA＝OB＝1，AB＝4AC，

则OC·(OB－OA)＝________.

9．已知平面上三点A，B，C，BC＝(2－k,3)，AC＝(2,4)．若三点A，B，C不能构成三角形，则实数k应满足的条件是

10．(2016·江西新余联考)已知a＝(cos x,2cos x)，b＝(2cos x，sin x)，f(x)＝a·b.

π(1)把f(x)图象向右平移个单位长度得到g(x)的图象，求g(x)的单调递增区间；

6(2)当a≠0，a与b共线时，求f(x)的值．

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