小结国家获奖教案

《平面向量数量积的物理背景及其含义》教学设计

井陉第一中学

樊帆

一、内容和内容分析

1．内容

平面向量数量积的物理背景及其含义

2．内容分析

本节内容教材共安排两课时，其中第一课时主要研究数量积的概念、几何意义、性质和运算律；第二课时主要研究数量积的坐标运算，本节课是第一课时。

本节课首先通过一段“大力士”拉汽车的精彩视频抽象出物理中“功”的事例，之后抛开物理背景，将F,S这两个物理中的矢量，推广到数学中一般的非零向量a，b，从而得到数学中平面向量数量积的概念，体现了有特殊到一般的数学思想，同时培养学生的抽象概括能力；然后从“形”的角度引入“投影”探究数量积的几何意义，使学生加深对数量积概念的理解，同时体现了数形结合的数学思想；“数量积”和“投影”均为数量，对其正、负、零的讨论过程，体现了分类讨论的数学思想；然后又通过类比实数乘法的运算律研究了数量积的运算律，体现“类比”的数学思想。

本节课是在学生系统的学习了向量的概念和向量的加法、减法、数乘等线性运算的基础上，探索向量的又一种新的运算，它既是前面所学知识和方法的延续，又是后继学习解三角形、解析几何以及空间向量等内容的基础，因此本节内容起到了承上启下的作用。平面向量数量积是一个很重要的数学概念，它是从物理中功的概念抽象而来的，是沟通代数、几何、三角的桥梁，是数形结合方法的典范。这些都使得数量积的概念成为本节课的核心概念，自然也是本节课教学的重点。

二、目标与目标解析

1．目标

（1）了解平面向量数量积的物理背景，理解数量积的含义及其物理意义；

（2）体会平面向量的数量积与向量投影的关系，掌握数量积的性质和运算律，并能运用性质和运算律进行相关的运算和判断；

（3）体会类比的数学思想和方法，进一步培养学生抽象概括、推理论证的能力。

2．目标分析

《普通高中数学课程标准》

对本节课的要求有以下三条：

（1）通过物理中“功”等事例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义。

1

（2）体会平面向量的数量积与向量投影的关系。

（3）能用运数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。

从以上的背景分析可以看出，数量积的概念既是本节课的重点，也是难点。为了突破这一难点，首先无论是在概念的引入还是应用过程中，物理中“功”的实例都发挥了重要作用。其次，作为数量积概念延伸的性质和运算律，不仅能够使学生更加全面深刻地理解概念，同时也是进行相关计算和判断的理论依据。最后，无论是数量积的性质还是运算律，都希望学生在类比的基础上，通过主动探究来发现，因而对培养学生的抽象概括能力、推理论证能力和类比思想都无疑是很好的载体。

三、教学问题诊断分析

学生在这之前的物理课已经认识了矢量和功，数学课系统地学习了向量定义、向量的线性运算，具备了一定能力去进行深入的研究。功的计算为平面向量数量积引入提供很好的背景，但对两个有形有数的向量经过数量积运算后，形却消失了成为一个数，学生对这一点是较难接受的。由于受实数乘法运算的影响，也会造成学生对数量积、性质和运算律的理解上的偏差。从学生认知水平来看，学生的探究能力和用数学语言交流的能力还有待提高，本节课还要初步体会研究向量运算的一般方法；即先由特殊模型（主要是物理模型）抽象出概念，然后再从概念出发，在与实数运算类比的基础上研究性质和运算律及运用，这种知识的整合提升对学生来说恰又是比较困难的。因而本节课教学的难点是：平面向量的数量积的定义及运算律的理解，平面向量数量积的应用。

四、教学支持条件分析

根据本节课教材内容的要求，为了直观、形象地突出重点，突破难点，利用视频、动态演示，展示平面向量数量积的物理背景，探究性质、几何意义以及运算律。

五、教学过程分析

（一）知识链接

1．已经学习了哪几种向量运算？

向量运算

数学符号

运算结果

2．两个非零向量a与b的夹角如何定义？其取值范围是多少？

2

【设计意图】通过知识链接的问题让学生复习回顾向量运算，两个非零向量a与b的夹角，为平面向量数量积的学习奠定基础。

（二）创设情境

多媒体播放中国大力士公开赛，中国选手的参赛视频，之后动态演示他的比赛过程，从中抽象出数量积的物理背景。

问题1、大力士拉车，沿着绳子方向上的力为，车移动的位移是，力和位移的夹角为，大力士所做的功为多少？

学生根据所学物理知识容易得到：W |F||S|cos

问题2、决定功大小的量有哪几个？

问题3、力、位移及其夹角分别是矢量还是标量？功是向量还是数量？

教师：明确物理中的矢量就是数学中的向量，物理中的标量就是数学中的数量。

【设计意图】从学生已有的认知水平出发，通过熟悉的生活实例，创设数量积的物理背景，激发学生的学习热情，同时，也为抽象数量积的概念做好铺垫。

（三）探究定义

师：物理中的F和S是两个向量，用两个一般的非零向量a和b来替换F和S，其夹角不变，则W |F||S|cos|a||b|cos。在数学中称|a||b|cos为非零向量a和b的数量积，记作：ab |a||b|cos，从而得到平面向量数量积的定义：

已知两个非零向量a和b，我们把|a||b|cos叫做a和b的数量积（或内积），记作ab，即ab |a||b|cos，其中夹角是a与b的夹角。

规定：零向量与任一向量的数量积为0. 学生活动：齐声读定义，并体会定义的要点。

定义要点：（1）a与b是非零向量；

（2）“”是数量积的运算符号，不能省略也不能用“”代替；

（3）数量积的结果为数量。

问题4：由数量积的定义ab |a||b|cos可知，决定数量积大小的量有哪些？

问题5：数量积的结果为数量，数量积的正、负、零有谁决定？



ab

0

02

2

2











3 0

【设计意图】在与功类比的基础上从特殊到一般引入平面向量数量积，有利于学生的知识迁移和概念准确理解，认识到向量夹角是决定数量积结果的重要因素，体验对向量夹角的分类讨论。

（四）巩固定义

师：同学们对平面向量数量积的定义已经有了初步的了解，通过以下题目检测大家的理解情况。

口答：

1、已知|a|5，|b|4，a与b的夹角120，ab

。

2、已知正三角形ABC的边长为1，求：

（1）ABAC

；（2）ABBC

；（3）ACBC

；

3、依据数量积的定义完成以下问题（a与b是非零向量）。

（1）ab

；

（2）若a与b同向，则ab

；若a与b反向，则ab

；特别地，aa

；

（3）cos

；

（4）|ab|

|a||b|。

学生活动：第1、2题学生独立完成，第3题小组内部讨论完成，过程中教师指导、点拨。

由第3题得到平面向量数量积的性质：

（1）abab0，用于判定两向量垂直；

（2）|a|aaa，用于计算向量的模；

（3）cosab|a||b|2，用于计算向量的夹角，以及判断三角形的形状。

【设计意图】及时巩固所学概念，熟练数量积的求解要点，特别是两向量的夹角是多少？加深对定义的理解。

师：数量积的学习完整了，高中阶段的向量运算，请同学们将下表补充完整。

向量运算

加法

数学符号

运算结果

向量

ab

4

减法

数乘

ab

向量

向量

b

【设计意图】使学生对高中阶段所学向量运算，有一个完整的认识，同时，体现出数量积运算的独特性。

（五）探究意义

问题6：向量运算中的加法、减法、数乘都有几何意义，数量积运算有没有几何意义？

师生共同探究：教师动画展示投影的形成过程，形成概念。|b|cos叫做b在a方向上的投影。同理：|a|cos叫做a在b方向上的投影。

问题7：投影是向量还是数量？其正、负、零由谁决定？

问题8、你能从投影的角度解释平面向量数量积的定义ab |a||b|cos吗？

学生尝试解释，得到：

平面向量数量积的几何意义：数量积ab等于a的长度|a|与b在a方向上的投影|b|cos的乘积。

【设计意图】教师展示向量投影的形成过程，让学生形象、直观的感受向量投影及其含义，让学生从“形”的角度重新认识平面向量数量积，从中体会数量积与向量投影的关系。使学生对平面向量数量积这一全新概念的理解更加深刻。

（六）运算律

问题9、数量积作为一种运算，有怎样的运算律呢？类比实数乘法运算律，写出数量积的运算律，并判断对错？

学生活动：根据实数乘法运算律，以小组为单位，共同探究类比出向量数量积的运

5

算律，并尝试利用定义判断结果的正确性。

教师参与小组讨论并及时点拨、指导、纠错。

运算律

交换律

结合律

分配律

实数乘法

abba

(ab)ca(bc)

平面向量数量积

abba

(ab)ca(bc)

(a)ba(b)

(ab)

(ab)cacbc

(ab)cacbc

最终，小组展示探究结果，得到平面向量数量积的运算律为：

运算律

交换律

结合律

分配律

平面向量数量积

abba

(a)ba(b)

(ab)

(ab)cacbc

之后，教师演示从平面向量数量积的几何意义角度，证明分配律的正确性。

【设计意图】在这个环节中，仍然是为学生创设情景，让学生在类比的基础上进行猜想归纳，然后教师明晰结论，最后再完成证明，这样做不仅培养学生的推理论证能力，同时也增强了学生类比创新意识，将知识的获得和能力的培养有机的结合在一起。

（七）典例分析

例1、证明：（1）(ab)2a2abb；（2）(ab)(ab)ab。

证明：（1）(ab)2(ab)(ab)aaabbabba2abb

（2）(ab)(ab)aa-abba-bbab

6 22222222

例2、已知|a|6，|b|4，a与b的夹角60，求(a2b)(a3b)。

解：(a2b)(a3b)aaab6bb



|a|2ab6|b|2



|a|2|a||b|cos606|b|2

6264cos60o642

72

例3、已知|a|3，|b|4，且a与b不共线。k为何值时，向量akb与akb互相垂直？

解：akb与akb互相垂直的条件是(akb)(akb)0，即ak2b0。

因为

a329

，

b4216，

3所以

916k20。解之得：k。

43k也就是说，当时，akb与akb互相垂直。

42222【设计意图】例1、例2是数量积的性质和运算律的综合应用，教学时，重点从对运算原理的分析和运算过程的规范书写两个方面加强示范。

（八）巩固练习

1、判断下列说法是否正确。

（1）0a0a；

（

）

（2）若ab0，则a，b至少有一个为零向量；

（

）

（3）若ab0，则a与b的夹角为锐角；

（

）

（4）若acbcc0，则ab。

（

）

2、在等腰ABC中，ABAC，BC4，则BABC

。

3、已知|a|6，|b|4，a与b的夹角60，求|ab|。

【设计意图】通过巩固练习，使学生对数量积的定义、性质、几何意义以及运算律的理解更加深刻，形成系统的知识体系；同时培养了运用知识解决问题的能力。

（九）课堂小结

今天你学到了什么？

学生自主完成归纳小结，教师加以补充完善，同时形成本节课的知识结构图，并完

7 

成思想方法的小结归纳。

1．平面向量数量积的定义：ab |a||b|cos(a0,b0)

2．平面向量数量积的性质：

（1）垂直abab0；（2）长度|a|aaa；（3）夹角cos2ab|a||b|

。3．平面向量数量积的几何意义：数量积ab等于a的长度|a|与b在a方向上的投影|b|cos的乘积。

4．平面向量数量积的运算律（类比）：（1）交换律：abba；（2）结合律：（3）分配律：(ab)cacbc。

(a)ba(b)ab；【设计意图】通过学生对本节所学知识、思想方法进行提炼、反思，加深对知识、方法的理解，形成系统的知识网络，并培养学生良好的学习习惯。

（十）作业布置

1、必做题：习题2.4

A组

第1,3,7题

2、课外探究：

通过查阅图书资料或利用网络资源，完成向量的另一种乘法——矢量积（“”积）的概念的学习和性质的探究，并探索出自己的成果形成小论文.

【设计意图】（1）巩固本节课所学内容；（2）分层布置作业，尊重学生的个体差异，让不同的学生有不同的发展。



8