2.3.1 变量之间的相关关系名师教学设计2

2.3变量间的相关关系

相关关系

[导入新知]

相关关系

如果两个变量中一个变量的取值一定时，另一个变量的取值带有一定的随机性，那么这两个变量之间的关系叫作相关关系．

[化解疑难]

两个变量间的关系分类

两个变量间的关系分为三类：一类是确定性的函数关系，如正方形边长与面积的关系；另一类是变量间确实存在关系，但又不具备函数关系所要求的确定性，它们的关系是带有随机性的，这种关系就是相关关系，如某位同学的“物理成绩”与“数学成绩”之间的关系；再一类是不相关，即两变量没有任何关系．

散点图的含义及应用

[导入新知]

1．散点图

将各数据在平面直角坐标系中的对应点画出来，得到表示两个变量的一组数据的图形，这样的图形叫作散点图，利用散点图，可以判断两个变量是否相关，相关时是正相关还是负相关．

2．正相关和负相关

(1)正相关：散点图中的点散布在从左下角到右上角的区域．

(2)负相关：散点图中的点散布在从左上角到右下角的区域．

[化解疑难]

对正相关和负相关的理解

(1)正相关．

随自变量的变大(或变小)，因变量也随之变大(或变小)，这种带有随机性的相关关系，我们称为正相关．例如，人年龄由小变大时，体内脂肪含量也由少变多．

(2)负相关．

随自变量的变大(或变小)，因变量却随之变小(或变大)，这种带有随机性的相关关系，我们称为负相关．例如，汽车越重，每消耗1 L汽油所行驶的平均路程就越短．

回归直线方程

[导入新知]

回归直线方程

(1)回归直线：如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线；

(2)回归方程：回归直线的方程，简称回归方程．

(3)回归方程的推导过程：

①假设已经得到两个具有线性相关关系的变量的一组数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)；

^^^^^②设所求回归方程为y＝bx＋a，其中a，b是待定参数；

③由最小二乘法得

^b＝

x－x^^a＝y－bxni＝1ni＝1i－－

xi－xyi－yxiyi－nxyi＝1nn＝i＝12x2i－n

x2

^^其中：b是回归方程的斜率，a是截距．

[化解疑难]

回归直线方程与直线方程的区别

线性回归直线方程中y的上方加记号“^

”是与实际值y相区别，因为线性回归方程中^“y”的值是通过统计大量数据所得到的一个预测值，它具有随机性，因而对于每一个具体^^的实际值而言，y的值只是比较接近，但存在一定的误差，即y＝y＋e(其中e为随机变量)，^预测值y与实际值y的接近程度由随机变量e的标准差决定．

相关关系的判断

[例1]

(1)下列关系中，属于相关关系的是________．(填序号)

①正方形的边长与面积之间的关系；

②农作物的产量与施肥量之间的关系；

③人的身高与年龄之间的关系；

④降雪量与交通事故的发生率之间的关系．

答案：②④

(2)某个男孩的年龄与身高的统计数据如下表所示. 年龄x/岁

身高y/cm

①画出散点图；

②判断y与x是否具有线性相关关系．

解：①散点图如图所示．

1

78

2

87

3

98

4

108

5

115

6 120

②由图知，所有数据点接近一条直线排列，因此，认为y与x有线性相关关系．

[类题通法]

两个变量是否相关的两种判断方法

(1)根据实际经验：借助积累的经验进行分析判断．

(2)利用散点图：通过散点图，观察它们的分布是否存在一定的规律，直观地进行判断．

[活学活用]

如图所示的两个变量不具有相关关系的是_________________(填序号)．

答案：①④

求回归方程

[例2]

某连锁经营公司所属5个零售店某月的销售额和利润额资料如下表所示：

商店名称

销售额x/千万元

利润额y/百万元

A 3

2

B 5

3

C 6

3

D 7

4

E 9 5

(1)画出销售额和利润额的散点图；

(2)若销售额和利润额具有相关关系，计算利润额y对销售额x的回归直线方程．

解：(1)散点图如下：

(2)数据如下表：

i 1

2

3

4

5

合计

^^可以求得b＝0.5，a＝0.4，

^线性回归方程为y＝0.5x＋0.4. [类题通法]

求线性回归方程的步骤

(1)计算平均数x，y. (2)计算xi与yi的积，求xiyi. i＝1(3)计算x2i. i＝1－－xiyi－nxy^i＝1(4)将结果代入公式b＝nnnxi

3

5

6

7

9

30

yi

2

3

3

4

5

17

x2i

9

25

36

49

81

200

xiyi

6 15 18 28 45 112 x2i－nxi＝1^^^(5)用a＝y－bx，求a. (6)写出回归方程．

[活学活用]

1．(湖北高考)根据如下样本数据

x 3

4

n^，求b. 25

6

7

8

y 4.0

2.5

－0.5

0.5

－2.0

－3.0 ^得到的回归方程为y＝bx＋a，则(

) A．a＞0，b＞0

C．a＜0，b＞0 答案：B 2．已知变量x，y有如下对应数据：

x y (1)画出散点图．

(2)用最小二乘法求关于x，y的回归直线方程．

解：(1)散点图如图所示：

1

1

2

3

3

4

4 5 B．a＞0，b＜0 D．a＜0，b＜0

1＋2＋3＋45(2)x＝＝，

42y＝41＋3＋4＋513＝，

44xiyi＝1＋6＋12＋20＝39. i＝14xi2＝1＋4＋9＋16＝30，

i＝151339－4××2413^b＝＝，

510230－4×2^13135a＝－×＝0，

4102^13所以y＝x为所求回归直线方程．

10

利用线性回归方程对总体进行估计

[例3]

一台机器由于使用时间较长，但还可以使用，它按不同的转速生产出来的某机器零件有一些会有缺点，每小时生产有缺点零件的多少随机器运转的速度而变化，下表是抽

样试验结果：

转速x/(转·s1)(x∈N*)

－16

11

14

9

12

8

8 5 每小时生产有缺点的零件数y/件

(1)如果y与x具有线性相关关系，求回归方程；

(2)若实际生产中，允许每小时的产品中有缺点的零件数最多为10个，那么机器的转速应该控制在什么范围内？

解：(1)由题意，可得x＝12.5，y＝8.25，

xiyi＝438，x2i＝660，

i＝1i＝1^438－4×12.5×8.25则b＝≈0.728 6，

660－4×12.52^^a＝y－bx＝－0.857 5. ^所以回归直线的方程为y＝0.728 6x－0.857 5. (2)要使y≤10，则0.728 6x－0.857 5≤10，

解得x≤14.90. 所以机器的转速应该控制在15转/秒以下．

[类题通法]

回归分析的三个步骤

(1)进行相关性检验，若两变量无线性相关关系，则所求的线性回归方程毫无意义．

^^(2)求回归直线方程，其关键是正确地求得a，b. (3)根据直线方程进行预测．

[活学活用]

(重庆高考)从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入xi(单位：千元)与月储蓄yi(单位：千元)的数据资料，算得xi＝80，yi＝20，xiyi＝184，xi2＝720. i＝1i＝1i＝1i＝11010101044(1)求家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程y＝bx＋a. (2)判断变量x与y之间是正相关还是负相关．

(3)若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．

－－xiyi－nx

y－－－－，a＝y－bx，其中x，y为样本n2x2i－nxni＝1附：线性回归方程y＝bx＋a中，b＝－i＝1

^^^平均值，线性回归方程也可写为y＝bx＋a. 解：(1)由题意知n＝10，

1n80x＝xi＝＝8，

ni＝11020－1ny＝yi＝＝2. ni＝110n－22又x2i－nx＝720－10×8＝80，

i＝1i＝1－－xiyi－nx

y＝184－10×8×2＝24，

nni＝1－－xiyi－nx

y＝i＝12x2i－nxn由此可得b＝－24＝0.3，

80－－a＝y－bx＝2－0.3×8＝－0.4，

故所求回归方程为y＝0.3x－0.4. (2)由于变量y的值随x的值增加而增加(b＝0.3>0)，故x与y之间是正相关．

(3)将x＝7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为y＝0.3×7－0.4＝1.7(千元)．

线性相关关系的判断及回归方程的应用

[典例]

下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(单位：吨)与相应的生产能耗y(单位：吨标准煤)的几组对照数据：

x y (1)请画出上表数据的散点图；

^^^(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程y＝bx＋a；

(3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据(2)求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？

3

2.5

4

3

5

4

6 4.5

[类题通法]

解答回归分析问题的四个注意点

(1)先用散点图确定是否线性相关．

(2)准确计算回归方程中的各个系数．

(3)回归直线必过样本中心．

(4)利用回归直线方程求出的值只是估计值，会与实际值有一定的误差．

[活学活用]

某个体服装店经营某种服装在某周内所获纯利y(元)与该周每天销售这种服装的件数x(件)之间有一组数据如下表：

每天销售服装件数x/件

该周内所获纯利y/元

(1)求x，y；

(2)若纯利y与每天销售这种服装的件数x之间是线性相关的，求回归直线方程；

3

66

4

69

5

73

6

81

7

89

8

90

9 91

(3)若该店每周至少要获纯利200元，请你预测该店每天至少要销售这种服装多少件？

(以下数据供选择：xi2＝280，y2i＝45 309，xiyi＝3 487) i＝1i＝1i＝13＋4＋5＋6＋7＋8＋9解：(1)x＝＝6，

7y＝66＋69＋73＋81＋89＋90＋91≈79.86. 7777^3 487－7×6×79.86(2)因为b＝≈4.75，

280－7×62^a＝79.86－4.75×6＝51.36，

^所以纯利与每天销售件数x之间的回归直线方程为y＝51.36＋4.75x. ^(3)当y＝200时，200＝4.75x＋51.36，所以x≈31.29. 因此若该店每周至少要获纯利200元，则该店每天至少要销售这种服装32件．

一、选择题

1．下列命题正确的是(

) ①任何两个变量都具有相关关系；

②圆的周长与该圆的半径具有相关关系；

③某商品的需求量与该商品的价格是一种非确定性关系；

④根据散点图求得的回归直线方程可能是没有意义的；

⑤两个变量间的相关关系可以通过回归直线，把非确定性问题转化为确定性问题进行研究．

A．①③④

C．③④⑤

答案：C 2．四名同学根据各自的样本数据研究变量x，y之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：

^①y与x负相关且y＝2.347x－6.423；

^②y与x负相关且y＝－3.476x＋5.648；

^③y与x正相关且y＝5.437x＋8.493；

^④y与x正相关且y＝－4.326x－4.578. 其中一定不正确的结论的序号是(

) B．②③④

D．②④⑤

A．①②

C．③④

答案：D B．②③

D．①④

3．某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：

广告费用x/万元

销售额y/万元

4

49

2

26

3

39

5 54 ^^^^根据上表可得回归方程y＝bx＋a中的b为9.4，据此模型预测广告费用为6万元时的销售额为(

) A．63.6万元

C．67.7万元

答案：B 4．设某大学的女生体重y(单位：kg)与身高x(单位：cm)具有线性相关关系，根据一组^样本数据(xi，yi)(i＝1,2，…，n)，用最小二乘法建立的回归方程为y＝0.85x－85.71，则下列结论中不正确的是(

) A．y与x具有正的线性相关关系

B．回归直线过样本的中心点(x，y) C．若该大学某女生身高增加1 cm，则其体重约增加0.85 kg D．若该大学某女生身高为170 cm，则可断定其体重必为58.79 kg 答案：D ^^^^5．对有线性相关关系的两个变量建立的回归直线方程y＝a＋bx中，回归系数b(

) A．不能小于0 C．不能等于0 答案：C 二、填空题

6．正常情况下，年龄在18岁到38岁之间的人，体重y(单位：kg)对身高x(单位：cm)^的回归方程为y＝0.72x－58.2，张红同学(20岁)身高为178 cm，她的体重应该在________ kg左右．

答案：69.96 7．为了均衡教育资源，加大对偏远地区的教育投入，调查了某地若干户家庭的年收入x(单元：万元)和年教育支出y(单位：万元)．调查显示年收入x与年教育支出y具有线性相^关关系，并由调查数据得到y对x的回归直线方程为y＝0.15x＋0.2.由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年教育支出平均增加________万元．

B．不能大于0 D．只能小于0 B．65.5万元

D．72.0万元

答案：0.15 8．为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系，下表记录了小李某月1号到5号每天打篮球的时间x(单位：h)与当天投篮的命中率：

时间x 命中率y 1

0.4

2

0.5

3

0.6

4

0.6

5 0.4 小李这5天的平均投篮命中率为________；用线性回归分析的方法，预测小李该月6号打6 h篮球的投篮命中率为________．

答案：0.5

0.53 三、解答题

9．一项关于16艘轮船的研究中，船的吨位区间为[192，3 246](单位：t)，船员的人数^为5～32人，船员人数y关于吨位x的回归方程为y＝9.5＋0.006 2x，

(1)若两艘船的吨位相差1 000，求船员平均相差人数；

(2)估计吨位最大的船和最小的船的船员人数．

解：(1)设两艘船的吨位分别为x1，x2则

^^y1－y2＝9.5＋0.006 2x1－(9.5＋0.006 2x2) ＝0.006 2×1 000≈6，

即船员平均相差6人．

^(2)当x＝192时，y＝9.5＋0.006 2×192≈11，

^当x＝3 246时，y＝9.5＋0.006 2×3 246≈30. 即估计吨位最大和最小的船的船员数分别为30和11. 10．某工厂对某种产品的产量与成本进行资料分析后有如下数据：

产量x/千件

成本y/万元

(1)画出散点图；

(2)求成本y与产量x之间的线性回归方程；

(3)预计产量为8千件时的成本．

解：(1)散点图如下．

2

7

3

8

5

9

6 12

^^^(2)设成本y与产量x的线性回归方程为y＝bx＋a，

x＝n2＋3＋5＋67＋8＋9＋12＝4，y＝＝9. 44^b＝i＝1xiyi－nx

yx2i－nxn211＝＝1.1，

10i＝1^^a＝y－bx＝9－1.1×4＝4.6. ^所以，回归方程为y＝1.1x＋4.6. ^(3)当x＝8时，y＝1.1×8＋4.6＝8.8＋4.6＝13.4，即产量为8千件时，成本约为13.4万元．

一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分) 1．某学校为了调查高一年级的200名学生完成课后作业所需时间，采取了两种抽样调查的方式：第一种由学生会的同学随机抽取20名同学进行抽查；第二种由教务处对该年级的学生进行编号，从001到200，抽取学号最后一位为2的同学进行调查．则这两种抽样的方法依次是(

) A．分层抽样，简单随机抽样

B．简单随机抽样，分层抽样

C．分层抽样，系统抽样

D．简单随机抽样，系统抽样

答案：D 2．将某班的60名学生编号为01,02，…，60，采用系统抽样方法抽取一个容量为5的样本，且随机抽得的一个号码为04，则剩下的四个号码依次是(

) A．09,14,19,24 C．10,16,22,28 答案：B 3．某学校有教师200人，男学生1 200人，女学生1 000人．现用分层抽样的方法从全体师生中抽取一个容量为n的样本，若女学生一共抽取了80人，则n的值为(

) A．193 C．191 答案：B 4．某商品的销售量y(件)与销售价格x(元/件)存在线性相关关系，根据一组样本数据(xi，^yi)(i＝1,2，…，n)，用最小二乘法建立的回归方程为y＝－10x＋200，则下列结论正确的是(

) A．y与x具有正的线性相关关系

B．若r表示变量y与x之间的线性相关系数，则r＝－10 C．当销售价格为10元时，销售量为100件

D．当销售价格为10元时，销售量在100件左右

答案：D 5．设有两组数据x1，x2，…，xn与y1，y2，…，yn，它们的平均数分别是x和y，则新的一组数据2x1－3y1＋1,2x2－3y2＋1，…，2xn－3yn＋1的平均数是(

) B．192 D．190 B．16,28,40,52 D．08,12,16,20

A．2x－3y

C．4x－9y

答案：B B．2x－3y＋1 D．4x－9y＋1 6．某学习小组在一次数学测验中，得100分的有1人，得95分的有1人，得90分的有2人，得85分的有4人，得80分和75分的各有1人，则该小组数学成绩的平均数、众数、中位数分别是(

) A．85,85,85 C．87,85,85 答案：C 7．某出租汽车公司为了了解本公司司机的交通违章情况，随机调查了50名司机，得的他们某月交通违章次数的数据制成了如图所示的统计图，根据此统计图可得这50名出租车司机该月平均违章的次数为(

) B．87,85,86 D．87,85,90

A．1 C．2.4 答案：B 8．下表是某厂1～4月份用水量情况(单位：t)的一组数据：

月份x 用水量y 1

450

2

400

3

300

4 250 B．1.8 D．3 ^用水量y与月份x之间具有线性相关关系，其线性回归方程为y＝－70x＋a，则a的值为(

) A．525 C．250 答案：A 9．在元旦晚会举办的挑战主持人大赛上，七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图如图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为(

) B．500 D．350

A.84,4.84 C．85,1.6 答案：C B．84,1.6 D．85,4 10．图甲是某县参加2014年高考学生的身高条形统计图，从左到右各条形表示的学生人数依次记为A1，A2，…，A10(如A2表示身高(单位：cm)在[150,155)内的学生人数)，图乙是统计图甲中身高在一定范围内学生人数的一个算法流程图．现要统计身高在160～180 cm(含160 cm，不含180 cm)的学生人数，那么在流程图中的判断框内应填写的条件是(

)

A．i＜6？

C．i＜8？

答案：C 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 11．甲、乙两套设备生产的同类型产品共4 800件，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本进行质量检测．若样本中有50件产品由甲设备生产，则乙设备生产的产品总数为____件．

答案：1 800 12．一个容量为40的样本数据分组后组数与频数如下：[25,25.3)，6；[25.3,25.6)，4；[25.6,25.9)，10；[25.9,26.2)，8；[26.2,26.5)，8；[26.5,26.8)，4，则样本在[25,25.9)上的频率为________．

1答案：

213．要考察某种品牌的500颗种子的发芽率，抽取60粒进行实验，利用随机数表法抽取种子时，先将500颗种子按001,002，…，500进行编号，如果从随机数表第7行第8列B．i＜7? D．i＜9?

的数3开始向右读，请你依次写出最先检测的5颗种子的编号：______，_______，_______，_______，_______. (下面摘取了随机数表第7行至第9行) 84 42 17 53 31

57 24 55 06 88

77 04 74 47 67 21 76 33 50 25

83 92 12 06 76 63 01 63 78 59

16 95 55 67 19

98 10 50 71 75 12 86 73 58 07

44 39 52 38 79 33 21 12 34 29

78 64 56 07 82

52 42 07 44 38 15 51 00 13 42

99 66 02 79 54 答案：331

455

068

047

447 14．从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高(单位：厘米)数据绘制成频率分布直方图(如下图)．由图中数据可知a＝________.若要从身高在[120,130)，[130,140)，[140,150]三组的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140,150]的学生中选取的人数应为________．

答案：0.030

3 三、解答题(本大题共4题，共50分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．) 15．(本小题满分12分)某化肥厂有甲、乙两个车间包装肥料，在自动包装传送带上每隔30分钟抽取一包产品，称其重量(单位：kg)，分别记录抽查数据如下：

甲：102,101,99,98,103,98,99；

乙：110,115,90,85,75,115,110. (1)这种抽样方法是哪一种方法？

(2)试计算甲、乙车间产品重量的平均数与方差，并说明哪个车间产品较稳定？

解：(1)甲、乙两组数据间隔相同，所以采用的方法是系统抽样法．

1(2)x甲＝(102＋101＋99＋98＋103＋98＋99)＝100，

71x乙＝(110＋115＋90＋85＋75＋115＋110)＝100，

71s2甲＝(4＋1＋1＋4＋9＋4＋1)≈3.43，

71s2乙＝(100＋225＋100＋225＋625＋225＋100)＝228.57，

72所以s2甲＜s乙，故甲车间产品比较稳定．

16．(本小题满分12分)对某校高一年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取M名学生作为样本，得到这M名学生参加社区服务的次数．根据此数据作出频数与频率的统计表和频率分布直方图如下：

分组

[10,15)

[15,20)

[20,25)

[25,30]

合计

频数

10

25

m 2

M 频率

0.25 n

p

0.05 1

(1)求出表中M，p及图中a的值；

(2)若该校高一学生有360人，试估计该校高一学生参加社区服务的次数在区间[10,15)的人数．

解：由分组[10,15)的频数是10，频率是0.25，

10知＝0.25，所以M＝40. M33因为频数之和为40，所以10＋25＋m＋2＝40，解得m＝3.故p＝＝＝0.075. M40因为a是对应分组[15,20)的频率与组距的商，

25所以a＝＝0.125. 40×5(2)因为该校高一学生有360人，分组[10,15)的频率是0.25，所以估计该校高一学生参加社区服务的次数在此区间内的人数为360×0.25＝90. 17．(本小题满分12分)某地最近十年粮食需求量逐年上升，下表是部分统计数据：

年份

需求量/万吨

2006

236

2008

246

2010

257

2012

276

2014 286 ^^^(1)利用所给数据求年需求量与年份之间的回归直线方程y＝bx＋a；

(2)利用(1)中所求出的直线方程预测该地2016年的粮食需求量．

解：(1)由所给数据看出，年需求量与年份之间是近似直线上升的．对数据预处理如下：

年份－2 010

需求量－257

－4

－21

－2

－11

0

0

2

19

4 29 对预处理后的数据，容易算得x＝0，y＝3.2，

^－4×－21＋－2×－11＋2×19＋4×29260b＝＝＝6.5. 4042＋22＋22＋42^^a＝y－bx＝3.2. 由上述计算结果知所求回归直线方程为

^^^y－257＝b(x－2 010)＋a＝6.5(x－2 010)＋3.2. ^即y＝6.5(x－2 010)＋260.2.①

(2)利用直线方程①，可预测2016年的粮食需求量为6.5×(2 016－2 010)＋260.2 ＝6.5×6＋260.2＝299.2(万吨)．

18．(14分)(新课标全国卷Ⅰ)从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频数分布表：

质量指标值分组

频数

[75,85)

6

[85,95)

26

[95,105)

38

[105,115)

22

[115,125]

8 (1)在下表中作出这些数据的频率分布直方图：

(2)估计这种产品质量指标值的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；

(3)根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定？

解：(1)频率分布直方图如图所示．

(2)质量指标值的样本平均数为

x＝80×0.06＋90×0.26＋100×0.38＋110×0.22＋120×0.08＝100. 质量指标值的样本方差为

s2＝(－20)2×0.06＋(－10)2×0.26＋0×0.38＋102×0.22＋202×0.08＝104. 所以这种产品质量指标值的平均数的估计值为100，方差的估计值为104. (3)质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值为0.38＋0.22＋0.08＝0.68. 由于该估计值小于0.8，故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定．