2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示教案和学案内容

2.3.2平面向量正交分解及坐标表示

教学目标：

（1）借助于力的分解理解平面向量的正交分解及坐标表示的意义；

（2）了解向量与坐标的关系。

教学重点：会求给定向量的坐标

教学难点：向量的坐标表示的理解

教学过程

一、复习引入

平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2使a=λ1e1+λ2e2特别注意：

(1)我们把不共线向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；

(2)基底不惟一，关键是不共线；

(3)由定理可将任一向量a在给出基底e1，e2的条件下进行分解；

(4)基底给定时，分解形式唯一. λ1，λ2是被a，e1，e2唯一确定的数量。



二、讲解新课

1、平面向量的正交分解

如图，光滑斜面上一个木块受到重力G的作用，产生两个效果，一是木块受平行于斜面的力F1的作用，沿斜面下滑；一是木块产生垂直于斜面的压力F2，也就是说，重力G的效果等价于F1和F2的合力的效果，即G=F1+F2，G=F1+F2叫做把重力G分解。

类似地，由平面向量的基本定理，对平面上的任意向量a，均可以分解为不共线的两个向量λ1e1和λ2e2，使a=λ1e1+λ2e2。

若两个不共线向量互相垂直时，即把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解。

G



2．平面向量的坐标表示

如图，在直角坐标系内，我们分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量

为基底.任作一个向量

，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x,y，使

…………①

我们把(x,y)叫做向量

的坐标，记作

…………②

其中x叫做

在x轴上的坐标，y叫做

在y轴上的坐标，②式叫做向量的坐标表示.与

相等的向量的坐标也为．．．．．．．．．．．(x,y). 特别地，

i(1,0)，j(0,1)，0(0,0). 如图，在直角坐标平面内，以原点O为

起点作

，则点A的位置由

唯一确定. 设

，则向量OA的坐标(x,y)就是点A的坐标；反过来，点A的坐标(x,y)也就是向量OA的坐标.因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示. 注意：当且仅当向量的起点是原点时，向量的坐标和这个向量终点的坐标才相同。

三、讲解范例

,并求出它们的坐标. 例1．课本P96,分别用基底

分别表示向量

解：由题可知

∴

同理，

.

的坐标。

变式训练1.点A(-1,3),B(2,-2),试求

的例2.已知O是坐标原点，点A在第一象限，∣OA∣=

,∠

°，求向量 坐标。

°

，

°

,即

, 解：设点A(x,y),则

故 =

,

变式训练2.在平面直角坐标系 中，向量

,的方向和长度如图，分别求它们的坐标

四、当堂检测

1.在向量正交分解中，两基底的夹角等于（

）

A.45°

B.90°

C.180°

D.不确定

(O为原点)的终点A位于第二象限，则有（

）

2.向量 A.

B.

C.

D.

3.在平面直角坐标系中，已知

，

是两个互相垂直的单位向量，若a=

,则向量用坐标表示a= 4.已知

若

则

五、课堂小结

1.向量的正交分解；

2.向量的坐标表示及求解。

六、作业布置

优化设计P78基础巩固

七、板书设计

2.3.2平面向量正交分解及坐标表示

一、向量的正交分解

变式1 二、向量的坐标表示

当堂检测

例1

课堂小结