2.3.1 变量之间的相关关系教学设计及说课稿

简单的线性规划问题

一. 课题: 简单的线性规划问题

二. 课型:新旧简单的线性规划问题

三.教学目标

1．了解线性规划的意义，了解线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域和最优解等概念；理解线性规划问题的图解法；会利用图解法求线性目标函数的最优解．

2．在实验探究的过程中，让学生体验数学活动充满着探索与创造，培养学生的数据分析能力、探索能力、合情推理能力及动手操作、勇于探索的精神.

3、在应用图解法解题的过程中,培养学生运用数形结合思想解题的能力和化归能力，体验数学来源于生活，服务于生活，体验数学在建设节约型社会中的作用. 四.教学重点和难点

求线性目标函数的最值问题是重点；从数学思想上看，学生对为什么要将求目标函数最值问题转化为经过可行域的直线在y轴上的截距的最值问题？以及如何想到要这样转化？存在一定疑虑及困难；教学应紧扣问题实际，通过突出知识的形成发展过程，引入数学实验来突破这一难点． 五、教学过程设计

（一）引入1．关于x，y的不等式(组)称为对变量x，y的约束条件，如果约束条件都是关于x，y的一次不等式，

则称约束条件为________约束条件．

答案：线性

2．把要求最大(小)值的函数z＝f(x，y)称为________函数．

答案：目标

在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题，称为________规划问题．满足线性约束条件的解(x，y)叫做________解，由所有可行解组成的集合叫做________域，其中，使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做最优解．

答案：线性

可行

可行

自主探求: 线性目标函数z＝2x＋3y最大值的几何意义是什么？

2z答案：由y＝－x＋知，直线经过平面区域的截33距最大时，目标函数有最大值．

x－y≥－1，1.设变量x，y满足约束条件x＋y≥1，3x－y≤3.

则目标函数z＝4x＋y的最大值为

A．4

B．11

C．12

D．

解析：只需画出线性规划区域，如下图

可知，z＝4x＋y在A(2,3)处取得最大值11. 答案：B

(

)

14

x≥0，y≥0，2.约束条件为x＋y≥4，2x＋y≥6

则目标函数z＝4x＋5y(

)

A．无最大值有最小值

B．无最小值有最大值

C．无最大值和最小值

D．有最大值和最小值

解析：可行域无上界

答案：A 3.在如图所示的区域内，z＝－x＋y的最大值为________．

解析：因为z为直线z＝－x＋y的纵截距，所以要使z最大，只要纵截距最大就可以，当直线过(0,2)点时，直线的纵截距最大，最大值为2. 答案：2

六.课堂演练：

基本概念

(1)约束条件和线性约束条件：变量x，y满足的一次不等式(组)叫做对变量x，y的约束条件；如果约束条件都是关于x，y的一次不等式，那么又称为线性约束条件．线性约束条件除了用一次不等式表示外，有时也用一次方程表示．

(2)目标函数和线性目标函数：求最大值或最小值所涉及的变量x，y的解析式，叫目标函数；如果这个解析式是关于x，y的一次解析式，那么又称为线性目标函数．

(3)线性规划问题：一般地，在线性约束条件下，求线性目标函数的最大值或最小值问题，统称为线性规划问题．

(4)可行解与可行域：满足线性约束条件的解(x，y)叫做可行解．由所有可行解组成的集合叫做可行域．

(5)最优解：使目标函数取得最大值或最小值的可行解，称为这个问题的最优解

解决线性规划问题的一般方法

解决线性规划问题的一般方法是图解法，其步骤如下：

(1)确定线性约束条件，注意把题中的条件准确翻译为不等式组；

(2)确定线性目标函数；

(3)画出可行域，注意作图准确；

(4)利用线性目标函数(直线)求出最优解；

(5)实际问题需要整数解时，应调整检验确定的最优解(调整时，注意抓住“整数解”这一关键点) 说明：求线性目标函数在约束条件下的最值问题的求解步骤是：

①作图——画出约束条件(不等式组)所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中的任意一条直线l. ②平移——将直线l平行移动，以确定最优解所对应的点的位置．

③求值——解有关的方程组求出最优解的坐标，再代入目标函数，求出目标函数的最值．

特别提醒：寻找整点最优解的方法

①平移找解法：先打网格、描整点、平移直线l，最先经过或最后经过的整点便是最优解，这种方法应充分利用非整数最优解的信息，结合精确的作图才行．当可行域是有限区域且整点个数又较少时，可逐个将整点坐标代入目标函数求值，经比较求最优

②调整优值法：先求非整点最优解及最优值，再借助不定方程知识调整最优解，最后筛选出整点最优解．

③由于作图有误差，有时由图形不一定能准确而迅速地找到最优解，此时将可能的数逐一检验即可．

典例剖析：

题型一

求线性目标函数的最值

【例1】求z＝3x＋5y的最小值，使x，y满足约束条件，

x＋2y≥3，7x＋10y≥17，x≥0，y≥0.

解：画出约束条件表示的点(x，y)的可行域，如图所示的阴影部分(包括边界直线)．

作直线l：3x＋5y＝0，把直线向右上方平移至l1的位置时，直线经过可行域上的点M，此时，l1：3x＋5y－z＝0的纵截距最小，此时z＝3x＋5y取最小值．

x＋2y＝3，解方程组7x＋10y＝17，

得M(1,1)．

故当x＝1，y＝1时，zmin＝8.

方法点评：在确定z的最小值时，要抓住z的几3z何意义，即y＝－x＋. 55

图解法是解决线性规划问题的有效方法．其关键在于平移直线ax＋by＝0时，看它经过哪个点(或哪些点)时最先接触可行域和最后离开可行域，则这样的点即为最优解，再注意到它的几何意义，从而确定是取得最大值还是最小值．

变式训练

2x＋y≥41．设x，y满足x－y≥－1，x－2y≤2

则z＝x＋y(

)

有最小值2，最大值3

B．有最小值2，无最大值

C．有最大值3，无最小值

D．既无最大值，也无最小值

解析：如图所示，作出可行域，作直线l0：x＋y＝0，平移l0，当l0过点A(2,0)时，z有最小值2，无最大值．

答案：B

x－y＋2≤02．已知变量x，y满足约束条件x≥1x＋y－7≤0y则的最大值是________，最小值是________．

x

，

解析：由约束条件作出可行域(如图所示)，目标函数yz＝表示坐标(x，y)与原点(0,0)连线的斜率．由图可知，x点C与O连线斜率最大；B与O连线斜率最小，又B点59坐标为，，

22

9C点坐标为(1,6)，所以kOB＝，5y9kOC＝6.故的最大值为6，最小值为. x5

9答案：6

5

七．课堂总结：

1.常见的几种目标函数的最值的求法：

①利用截距的几何意

义；②利用斜率的几何意义；③利用距离的几何意义．往往是根据题中给出的不等式，求出(x，y)的可行域，利用(x，y)的条件约束，数形结合求得目标函数的最值．

2．线性规划应用题主要体现在两个方面：一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务；二是给定一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务．通常是根据题意设出决策变量，找出线性规划的约束条件和线性目标函数，再利用图象，在线性约束条件下找出决策变量，使线性目标函数达到最大(或最小)．

八.作业的设计：

3．某工厂制造甲、乙两种产品，已知制造甲产品1 kg要用煤9吨，电力4 kW，劳力(按工作日计算)3个；制造乙产品1 kg要用煤4吨，电力5 kW，劳力10个．又知制成甲产品1 kg可获利7万元，制成乙产品1 kg可获利12万元，现在此工厂只有煤360吨，电力200 kW，劳力300个，在这种条件下应生产甲、乙两种产品各多少千克，才能获得最大经济效益？

九.教学反思：

简单的线性规划”是在学生学习了直线方程的基础上，介绍直线方程的一个简单应用，这是《新大纲》对数学知识应用的重视.线性规划是利用数学为工具，来研究一定的人、财、

物、时、空等资源在一定条件下，如何精打细算巧安排，用最少的资源，取得最大的经济效益.它是数学规划中理论较完整、方法较成熟、应用较广泛的一个分支，并能解决科学研究、工程设计、经营管理等许多方面的实际问题.中学所学的线性规划只是规划论中的极小一部分，但这部分内容体现了数学的工具性、应用性，同时也渗透了化归、数形结合的数学思想，为学生今后解决实际问题提供了一种重要的解题方法——数学建模法.通过这部分内容的学习，可使学生进一步了解数学在解决实际问题中的应用，培养学生学习数学的兴趣和应用数学的意识和解决实际问题的能力.