复习参考题教学设计一等奖

3.3三角恒等变换-----小结与复习

一、教学目标：

知识与技能：

1、熟练掌握三角恒等变形的公式，理解三角恒等变换的基本思想，培养正向应用和逆向思维能力，理解化归思想。

2、能够独立分析和解决一些三角问题。

过程与方法：

理解并掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，并会利用公式进行简单的恒等变形,体会三角恒等变换在数学中的应用. 情感、态度与价值观

通过例题的解答，引导学生对变换对象目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力.通过复习及解题训练归，培养学生踏实细致、严谨科学的学习习惯，渗透从知识系统化的观念，帮助学生构建良好的知识网络。

二．重点难点 重点：三角恒等变换的模式

难点：知识的综合运用及分类和转化思想，对变换方法的理解和掌握

三、教材与学情分析

通过知识回顾及典例分析的过程，让学生熟悉基本题型，形成解决问题的思路。培养学生分析归纳能力，领会数学的归纳转化思想方法．

本节把三角恒等变换的应用放在三角变换与三角函数间的内在联系上,从而使三角函数性质的研究得到延伸.对于三角变换，不仅要考虑三角函数是结构方面的差异，还要考虑三角函数式所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，它是一种立体的综合性变换.从函数式结构、函数种类、角与角之间的联系等方面找一个切入点，并以此为依据选择可以联系它们的适当公式进行转化变形，是三角恒等变换的重要特点. 四、教学方法

问题引导，主动探究，启发式教学．

五、教学过程

（一）回顾反思，构建知识网络

1

温故知新：

1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式

tan α±tan βsin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β；

cos(α∓β)＝cos αcos β±sin αsin β；

tan(α±β)＝. 1∓tan αtan β2.二倍角的正弦、余弦、正切公式

2tan αsin 2α＝2sin αcos α.

cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.

tan 2α＝. 1－tan2αb其中tan φ＝或

3.函数f(α)＝asin α＋bcos α(a，b为常数)，可以化为f(α)＝a2＋b2sin(α＋φ)aa其中tan φ＝. f(α)＝a2＋b2·cos(α－φ)b（二）典例解析，形成技能

专题一

三角函数式的求值问题

三角函数式求值主要有以下三种题型．

(1)给角求值：一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角间的关系，利用三角变换消去非特殊角，转化为求特殊角的三角函数值问题．

(2)给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，如α＝(α＋

β )－

β，2α＝(α＋

β)＋(α－

β)等，把所求角用含已知角的式子表示，求解时要注意角的范围的讨论．

(3)给值求角：实质上是转化为“给值求值”问题，由所求角的函数值结合所求角的范围及函数的单调性求得角．

sin 15°＋cos 15°

[例1]

(1)的值是(

) sin 15°－cos 15°A.2＋62－63

B.

C.

D．－3 344(2)在△ABC中，3sin A＋4cos B＝6，4sin B＋3cos A＝1，则C的大小为________．

tan 15°＋11＋tan 15°tan 45°＋tan 15°解析：(1)原式＝＝－＝－＝－tan (45°＋15°)＝－tan 60°＝－3. tan 15°－11－tan 15°1－tan 45°tan 15°

2

11(2)两式左右两边分别平方相加，得sin(A＋B)＝，则sin C＝sin[π－(A＋B)]＝，

22π5π21π5π所以C＝或C＝.又3sin A＝6－4cos B＞2，得sin A

＞＞，所以A＞，所以C＜π，故C＝. 6632666π答案：(1)D

(2)

6归纳升华：对于给值求角的问题，角的范围分析很重要，是防止出现增解的重要手段．

π727α－＝[变式训练]

已知sin，cos 2α＝，则sin α＝(

) 410254433A.

B．－

C．－

D.

5555π7222α－＝解析：因为sin，所以sin α－. 410227277cos α＝，即sin α－cos α＝，因为cos 2α＝，

1052577所以cos2

α－sin2

α＝，即(cos α－sin α) (cos α＋sin α)＝，

252513所以cos α＋sin α＝－，可得sin α＝. 55答案：D 专题二

三角函数式的化简与证明

三角函数式的化简的基本思想方法是统一角、统一三角函数的名称．在具体实施过程中，应着重抓住“角”的统一．通过观察角、函数名、项的次数等，找到突破口，利用切化弦、升幂、降幂、逆用公式等手段将其化简．

三角函数式的证明实质上也是化简，具有方向目标的化简；根本原则：由繁到简，消除两端差异，达到证明目的.

cos 10°[例2]

化简(tan 10°－3)·. sin 50°132sin 10°－cos 10°2sin 10°－3cos 10°2cos 10°sin 10°－3·解：原式＝＝＝

cos 10°sin 50°sin 50°sin 50°2sin（10°－60°）－2sin 50°＝＝＝－2. sin 50°sin 50°归纳升华：本题中既有弦函数，又有切函数，由于涉及弦函数的公式较多，采用了切化弦的方法，有利于化简的进行；并用特殊角的三角函数表示特殊值，为逆用正弦的差角公式创造了条件，解法简捷，明快．

1－2sin

xcos x1－tan x[变式训练]

求证：＝. cos2

x－sin2

x1＋tan x

3

sin x1－cos xcos x－sin x（cos x－sin x）2证明：法一：右边＝＝＝

sin xcos x＋sin x（cos x－sin x）（cos x＋sin x）1＋cos xcos2x＋sin2

x－2sin xcos x1－2sin xcos x＝＝2＝左边．所以原命题成立．

cos2

x－sin2

xcos

x－sin2

xsin2

x＋cos2

x－2sin xcos x法二：左边＝＝

cos2x－sin2x（cos x－sin x）2cos x－sin x1－tan x＝＝＝右边，所以原命题成立．

cos2

x－sin2

xcos x＋sin x1＋tan x专题三

三角恒等变换的综合应用

高考常以三角恒等变形为主要的化简手段，考查三角函数的性质．当给出的三角函数关系式较为复杂，我们要先通过三角恒等变换，将三角函数的表达式变形化简，将函数表达式变形为y＝Asin(ωx＋φ)＋k或y＝Acos(ωx＋φ)＋k等形式，然后再根据化简后的三角函数，讨论其图象和性质．

π－xsin x－3cos2x.

[例3]

已知函数f(x)＝sin2(1)求f(x)的最小正周期和最大值；

π2π(2)讨论f(x)在6，3上的单调性．

π3133－xsin x－3cos2x＝cos xsin x－(1＋cos 2x)＝sin 2x－cos 2x－

解：(1)f(x)＝sin22222π2－332x－－，

因此f(x)的最小正周期为π，最大值为＝sin. 322π2πππππ5π，时，0≤2x－≤π，从而当0≤2x－≤，即≤x≤时，f(x)单调递增，

(2)当x∈63332612ππ5π2π当≤2x－≤π，即≤x≤时，f(x)单调递减．

23123π5π5π2π，上单调递增，在，上单调递减．

综上可知，f(x)在612123归纳升华：高考对三角函数性质的考查主要涉及单调性、奇偶性、周期性等．解答时通常是先将函数简化为形如f(x)＝Asin (ωx＋φ)＋B的形式，然后根据正弦函数的图象与性质求解．

[变式训练]

函数f(x)＝sin2x＋sin x·cos x＋1的最小正周期是________，最小值是________．

1－cos 2x132π解析：f(x)＝sin2x＋sin xcos x＋1＝＋sin 2x＋1＝＋sin(2x－)．

222242ππ323－2故最小正周期T＝＝π.当sin(2x－)＝－1时，f(x)取得最小值为－＝. 24222答案：π

3－2

2专题四

转化与化归思想

本章以两角差的余弦公式为基础利用换元法，将两角和的余弦公式转化为两角差的余弦公式的形式，

4

即α＋

β＝α－(－

β)，从而推导出两角和的余弦公式．然后利用诱导公式实现正弦余弦的转化，推导出两角和(差)的正弦公式．以及二倍角公式的推出都体现了转化与化归的思想．应用该思想解决了三角函数式化简、求值、证明中角的变换、函数名称变换问题，解决了三角函数最值问题．

ππ1π＋α·－α＝，α∈，π，求sin 4α. [例4]

已知sinsin4462πππππ－α＝cos＋α. 解：因为α＋＋－α＝，所以sin44442ππππ＋α＝1sinπ＋2α＝1cos 2α＝1，

＋α·－α＝sin＋α·所以sinsincos4444222612又因为π＜2α＜2π，cos 2α＝，所以sin 2α＝－2. 3342所以sin 4α＝2sin 2αcos

2α＝－. 9ππ归纳升华：解三角函数求值问题，要优先考虑角与角之间的关系，＋α与－α互余，

44π从而化为同角“＋α”．

4

β4α12

βαα－＝，cos－

β＝－，且α－和－

β分别为第二、第三象限角，

[变式训练]

已知sin2521322求tan α＋

β的值．

2

β3α－＝－. 1－sin225α5－

β＝－. 1－cos2213

β4

β

βα－＝，且α－为第二象限角，所以cosα－＝－

解：因为sin2522αα12α－

β＝－，且－

β为第三象限角，所以sin－

β＝－

又cos22132

βα45α－＝－，tan－

β＝，

所以tan2212345－－312α＋

β63α－

β－α－

β＝所以tan ＝tan＝＝－. 222

βα45161＋tanα－2tan2－

β1－3×12六、课堂小结

1.三角恒等变换常见的基本问题及解题基本思路

2.解题中体现的变换方法，转化思想及方程思想。

3．化简，要求使三角函数式成为最简：项数尽量少，名称尽量少，次数尽量底，分母尽量不含三角函数，根号内尽量不含三角函数，能求值的求出值来；

4．求值，要注意象限角的范围、三角函数值的符号之间联系与影响，较难的问题需要根据上三角函数值进一步缩小角的范围。

5．证明是利用恒等变换公式将等式的左边变同于右边，或右边变同于，或都将左右进行变换使其左右相等。

6. 三角恒等变换过程与方法，实际上是对三角函数式中的角、名、形的变换，即（1）找差异：角、名、

5

βαα－－tan－

βtan22

形的差别；（2）建立联系：角的和差关系、倍半关系等，名、形之间可以用哪个公式联系起来；（3）变公式：在实际变换过程中，往往需要将公式加以变形后运用或逆用公式，如升、降幂公式，cosα= cosβcos0001tan30tan45tan30（α-β）- sinβsin（α-β），1= sinα+cosα，==tan（450+300）等。0001tan301tan45tan3022来源学科网

七、课后作业

2+2学生自主学习导练考

八、教学反思

1.重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”.

(1)变角：对角的分拆要尽可能化成同角、特殊角；

(2)变名：尽可能减少函数名称；

(3)变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等. 2.在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形. 3.让学生熟悉基本题型，形成解决问题的思路。培养学生分析归纳能力，领会数学的归纳转化思想方法．

6