复习参考题教学设计第二课时

题型一

灵活变角的思想在三角恒等变换中的应用

给值求值的重要思想是沟通已知式与待求式之间的联系，常常在进行角的变换时，要注意各α1角之间的和、差、倍、半的关系，如α＝2·，α＝(α＋β)－β，α＝β－(β－α)，α＝[(α＋β)＋(α221－β)]，β＝[(α＋β)－(α－β)]等．

241例1

已知α、β为锐角，cos α＝，tan(α－β)＝－，求cos β的值．

53433解

∵α是锐角，cos α＝，∴sin α＝，tan α＝. 554tan α－tanα－β13∴tan β＝tan[α－(α－β)]＝＝. 1＋tan αtanα－β9910∵β是锐角，故cos β＝. 5011跟踪训练1

已知tan(α－β)＝，tan β＝－，且α，β∈(0，π)，求2α－β的值．

27解

tan α＝tan[(α－β)＋β]＝tanα－β＋tan β1＝>0. 1－tanα－βtan β3π而α∈(0，π)，故α∈(0，)．

2

1π∵tan β＝－，0<β<π，∴<β<π.

721∴－π<α－β<0.而tan(α－β)＝>0，

2π∴－π<α－β<－. 2∴2α－β＝α＋(α－β)∈(－π，0)．

∵tan(2α－β)＝tan[α＋(α－β)]

tan α＋tanα－β3π＝＝1，∴2α－β＝－. 41－tan αtanα－β题型二

整体换元的思想在三角恒等变换中的应用

在三角恒等变换中，有时可以把一个代数式整体视为一个“元”来参与计算和推理，这个“元”可以明确地设出来(如例2令sin x－cos x＝t)．

例2

求函数y＝sin x＋sin 2x－cos x(x∈R)的值域．

解

令sin x－cos x＝t，

πx－知t∈[－2，2]，

则由t＝2sin4又sin 2x＝1－(sin x－cos x)2＝1－t2. ∴y＝(sin x－cos x)＋sin 2x＝t＋1－t2

15t－2＋. ＝－2415当t＝时，ymax＝；

24当t＝－2时，ymin＝－2－1. 5－2－1，. ∴函数的值域为4跟踪训练2

求函数f(x)＝sin x＋cos x＋sin x·cos x，x∈R的最值及取到最值时x的值．

解

设sin x＋cos x＝t，

则t＝sin x＋cos x＝2πx＋，

＝2sin4∴t∈[－2，2]，

sin x＋cos x2－1t2－1∴sin x·cos x＝＝. 22∴f(x)＝sin x＋cos x＋sin x·cos x

t2－11即g(t)＝t＋＝(t＋1)2－1，t∈[－2，2]．

22当t＝－1，即sin x＋cos x＝－1时，f(x)min＝－1. 22sin x＋cos x

22

π2x＋＝－，

此时，由sin42π解得x＝2kπ－π或x＝2kπ－，k∈Z. 21当t＝2，即sin x＋cos x＝2时，f(x)max＝2＋. 2ππx＋＝2，sinx＋＝1. 此时，由2sin44π解得x＝2kπ＋，k∈Z. 4ππ综上，当x＝2kπ－π或x＝2kπ－，k∈Z时，f(x)取得最小值，f(x)min＝－1；当x＝2kπ＋，241k∈Z时，f(x)取得最大值，f(x)max＝2＋. 2题型三

转化与化归的思想在三角恒等变换中的应用

三角函数式的化简就是通过恒等变换化繁为简．其中切化弦、异名化同名、异角化同角等方法均为转化与化归思想的运用；三角恒等式的证明就是消除等式两边的差异，有目的的化繁为简，左右归一或变更论证，也属转化与化归思想的应用．

3x2sin x例3

求证：tanx－tan＝. 22cos x＋cos 2x3xsinxsin223x证明

∵左边＝tanx－tan＝－

223xcosxcos223xx3sinxcos－sincosx2222＝

x3coscosx22＝2sin x＝

1cos x＋cos 2xcos 2x＋cos x2sin x＝右边．

3x2sin x∴tanx－tan＝. 22cos x＋cos 2xπ317πsin 2x＋2sinx7π＋x＝，跟踪训练3

已知cos

451241－tan x2sin2xcos xsin 2x＋cos xsin 2x＋2sin2x解

＝

1－tan x1＋tan xsin 2x1＋tan x＝

1－tan xπ＝sin 2x·tan4＋x. 2

17π7π5ππ∵

12434π3π4＋x＝，∴sin＋x＝－. 又∵cos4545π4＋x＝－. ∴tan43ππ∴cos x＝cos4＋x－4

ππππ＋xcos ＋sin＋xsin

＝cos4444＝2342×5－5＝－. 210ππ∴sin x＝sin4＋x－4

ππππ72＋xcos －sin cos＋x＝－＝sin，

44441027sin 2x＋2sinx28sin 2x＝.∴＝－. 25751－tan x题型四

构建方程(组)的思想在三角恒等变换中的应用

方程(组)思想是中学重要的思想方法之一．借助三角函数公式构建关于某些量的方程(组)来求解，也是三角求值中常用的方法之一．

31例4

已知锐角三角形ABC中，sin(A＋B)＝，sin(A－B)＝. 55(1)求证：tan A＝2tan B. (2)设AB＝3，求AB边上的高．

31(1)证明

∵sin(A＋B)＝，sin(A－B)＝，

55sin Acos B＋cos Asin B＝5，∴1sin Acos B－cos Asin B＝5⇒1cos Asin B＝5∴tan A＝2tan B. 2sin Acos B＝，53

tan A⇒＝2. tan Bπ3(2)解

∵

25tan A＋tan B33∴tan(A＋B)＝－，即＝－. 441－tan Atan B

将tan A＝2tan B代入上式并整理得

2tan2B－4tan B－1＝0，

2＋62±6解得tan B＝，舍去负值，得tan B＝. 22∴tan A＝2tan B＝2＋6. 设AB边上的高为CD，

CDCD3CD则AB＝AD＋DB＝＋＝，

tan Atan B2＋6由AB＝3，得CD＝2＋6. ∴AB边上的高等于2＋6. 跟踪训练4

已知向量m＝(cos θ，sin θ)和n＝(2－sin θ，cos θ)，θ∈(π，2π)，且|m＋n|＝θπ求cos2＋8

的值．

解

m＋n＝(cos θ－sin θ＋2，cos θ＋sin θ)，

|m＋n|＝cos θ－sin θ＋22＋cos θ＋sin θ2

＝4＋22cos θ－sin θ

＝

＝2 πθ＋

4＋4cos4πθ＋. 1＋cos4π827θ＋＝. ，得cos425582，5由已知|m＋n|＝πθπθ＋＝2cos2＋－1，

又cos428θπ16所以cos22＋8＝25. 5πθπ9π∵π<θ<2π，∴<＋<. 8288θπθπ4＋<0.∴cos＋＝－. ∴cos28285[呈重点、现规律]

本章所学的内容是重要的三角恒等变换，在三角式求值、化简、证明，进而研究三角函数的性质等方面都是必要的基础，是解答整个三角函数类试题的必要基本功，要求准确，快速化到最简，再进一步研究函数的性质．