探究与发现 函数y=Asin（ωx+φ）及函数y=Acos（ωx+φ）的周期第二课时教案

三角函数yAsin(x)的图像变换

__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________

1结合具体实例，理解y=Asin的实际意义，会用“五点法”画出函数y=Asin的简图。会用计算机（x）（x）画图，观察并研究参数A,,，进一步明确A,,对函数图象的影响。

2能由正弦曲线通过平移、伸缩变换得到y=Asin

的图象。

（x）3教学过程中体现由简单到复杂、特殊到一般的化归的数学思想。

1、函数图象的左右平移变换

如在同一坐标系下，作出函数ysin(x图象之间的关系。

解析：函数ysin(x图。

设x3)和ysin(x4)的简图，并指出它们与ysinx3)的周期为2，我们来作这个函数在长度为一个周期的闭区间上的简3Z，那么sin(x3)sinZ，xZ3

当Z取0、36，，，2时，x取3225ysin(x)，x,图象上起关键作用的点。

333x 、、275、、363。所对应的五点是函数

列表：



30 0

6

1 x322

3

0 sin(x3)

7

63

2－1 5320

类似地，对于函数ysin(x4

)，可列出下表：

1

x x4

4)

0 0

3

454

0 421

7432

9420

sin(x－1

描点作图（如下）

利用这类函数的周期性，可把所得到的简图向左、右扩展，得出ysin(x3

)，xR及ysin(x4)，xR的简图（图略）。

由图可以看出，ysin(x3

)的图象可以看作是把ysinx的图象上所有的点向左平行移动3个单位而得到的，ysin(x)的图象可以看作是把ysinx的图象上所有的点向右平行移动44个单位得到的。

注意：一般地，函数ysin(x)(0)的图象，可以看作是把ysinx的图象上所有的点向左（当0时）或向右（当0时）平行移动||个单位而得到的。

推广到一般有：

将函数yf(x)的图象沿x轴方向平移|a|个单位后得到函数yf(xa)(a0)的图象。当a>0时向左平移，当a<0时向右平移。

2、函数图象的横向伸缩变换

1ysinx2的简图，并指出它们与ysinx图象间的关系。

如作函数ysin2x及2

2ysin2x2

解析：函数的周期，我们来作x[0，]时函数的简图。

32时，所对应的五点是函数

设2xZ，那么sin2xsinZ，当Z取0、，，，22Z3x、、ysinZ，Z[0，2]图象上起关键作用的五点，4224这里，所以当x取0、、T时，所对应的五点是函数ysin2x，x[0，]的图象上起关键作用的五点。

列表：

3

x 0

42432

2x 0

22sin2x

－1 0 1 0 0

函数ysin

列表：

12x的周期T4，我们来作x[0，4]时函数的简图。

122x 1x

21sinx

20 0 0 

21

2



3

3

242

0

0 －1

描点作图，如图：

利用这类函数的周期性，我们可以把上面的简图向左、右扩展，得出ysin2x，xR及

ysinx0xR（0）的点的纵坐标同ysinx2xx0sin2(0)sin12时，22上横坐标为x0的点的纵坐标相同（例如，当，sinx0sin12）。因此，ysin2x的图象可以看作是把ysinx的图象上所有点的横坐标缩1短到原来的2倍（纵坐标不变）而得到的。

从上图可以看出，在函数ysin2x的图象上横坐标为3

1。

x，xR的简图（图略）2

类似地，（纵坐标不变）而得到的。

ysin1x2的图象可以看作是把ysinx的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍

注意：一般地，函数ysinx(0且1)的图象，可以看作是把ysinx的图象上所有1点的横坐标缩短（当1时）或伸长（当01时）到原来的倍（纵坐标不变）而得到的。

推广到一般有：

函数yf(x)(0，1)的图象，可以看作是把函数yf(x)的图象上的点的横坐标1缩短（当1）或伸长（当01）到原来的倍（纵坐标不变）而得到。

3、函数图象的纵向伸缩变换

如在同一坐标系中作出y2sinx及y系。

1sinx的简图，并指出它们的图象与ysinx的关21

解析：函数y2sinx及ysinx的周期T2，我们先来作x[0，2]时函数的简图。

2

列表：

x sinx 2sinx 1sinx

20 0 0 0 21 2



0 0 12

0 3

2－1 －2 1

22

0 0 0

描点作图，如图：

利用这类函数的周期性，我们可以把上图的简图向左、向右扩展，得到y2sinx，xR及y1sinx，xR2的简图（图略）。

从上图可以看出，对于同一个x值，y2sinx的图象上点的纵坐标等于ysinx的图象上点的纵坐标的两倍（横坐标不变），从而y2sinx，xR的值域为［－2，2］，最大值为2，最小值为－2。

11sinx的图象，可以看作是把ysinx的图象上所有点的纵坐标缩短到原来的221111倍（横坐标不变）而得到的，从而ysinx，xR的值域是［-，］，最大值为，最小值2222

类似地，y4

1为2。



注意：对于函数yAsinx（A>0且A≠1）的图象，可以看作是把ysinx的图象上所有点的纵坐标伸长（当A>1时）或缩短（当0

推广到一般有：

函数yAf(x)（A>0且A≠1）的图象，可以看作是把函数yf(x)图象上的点的纵坐标伸长（当A>1）或缩短（当0

4、函数yAsin(x)的图象

作函数yAsin(x)的图象主要有以下两种方法：

（1）用“五点法”作图



用“五点法”作yAsin(x)的简图，主要是通过变量代换，设zx，由z取0，，2，32，2来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象。

（2）由函数ysinx的图象通过变换得到yAsin(x)的图象，有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”。

法一：先平移后伸缩

(0)或向右(0)ysinx向左ysinx()平移||个单位1

ysin(x)纵坐标不变横坐标变为原来的倍

横坐标不变

法二：先伸缩后平移

A倍纵坐标变为原来的yAsin(x)

ysinx纵坐标不变1横坐标变为原来的倍

(0)或向右(0)ysinx向左ysin(x)

横坐标不变平移||个单位

A倍纵坐标变为原来的yAsin(x)|||

可以看出，前者平移个单位，后者平移个单位。原因在于相位变换和周期变换都是针对|变量x而言的。因此在用这样的变换法作图象时一定要注意平移的先后顺序，否则必然会出现错误。

当函数yAsin(x)（A>0，0，x[0，)）表示一个振动量时，A就表示这个量振动时离开平衡位置的最大距离，通常把它叫做这个振动的振幅；往复振动一次所需要的时间，它叫做振动的周期；单位时间内往复振动的次数x叫做相位，叫做初相（即当x＝0时的相位）。

T2f1T2，它叫做振动的频率；5

例1. 用两种方法将函数ysinx的图象变换为函数

分析1：

解法1：ysin(2x)3的图象。

x2x2(x6)2x3

ysinx12纵坐标不变

横坐标缩短到原来的2x

ysin

向左平移个单位6ysin2[(x6

)]sin(2x

分析2：xx32x)3

3

解法2：ysinx向左平移个单位3横坐标缩短到原来的)3

ysin2(x)3

ysinx(12纵坐标不变

点评：在解法1中，先伸缩，后平移；在解法2中，先平移，后伸缩，表面上看来，两种变换方法中的平移是不同的（即6和3），但由于平移时平移的对象已有所变化，所以得到的结果是一致的。

练习：

∴应选D

x轴交点中在原点右边最接近原点的交点，而在原点左边与x轴交点中最

6

的图象．∴选D 例2. 用五点法作出函数y2sin(2x3)的图象，并指出函数的单调区间。

分析：按五点作图法的要求找出五个点来，然后作图。

解析：（1）列表

列表时2x（2）描点

3取值为0、、、、2，再求出相应的x值和y值。

223

x 60 0

12

3

0 2xy 3

22 7

123

2-2 5620

（3）用平滑的曲线顺次连结各点所得图象如图所示：

利用这类函数的周期性，我们可以把上面所得到的简图向左、右扩展，得到y2sin(2x，)3xR的简图（图略）。

7，］上递减，又因函数的周期为，所以函数的递减区间121275为k。同理，增区间为。

,k（,kZ）k-,k（,kZ）121212123

点评：五点法作图，要抓住要害，即抓住五个关键点，使函数式中的x取0、、、、222，然后求出相应的x，y值。

可见在一个周期内，函数在［

例3. 如图是函数yAsin(x)的图象，确定A、、的值。

7

解析：显然A＝2 5()66

222T

y2sin2(x)

T

解法1：由图知当x6时，y＝0 2x2()03

6

故有，

所求函数解析式为y2sin(2x)3



解法2：由图象可知将y2sin2x的图象向左移6

y2sin2(x)y2sin(2x)3

6，即

即得3

点评：求函数yAsin(x)的解析式难点在于确定初相，一般可利用图象变换

1π例:4．试述如何由y=sin（2x+）的图象得到y=sinx的图象。

331π解析：y=sin（2x+）

331π2倍

横坐标扩大为原来的ysin（x）纵坐标不变33π图象向右平移个单位13ysinx

纵坐标不变33倍纵坐标扩大到原来的ysinx

横坐标不变另法答案：

1ππ（1）先将y=sin（2x+）的图象向右平移个单3631位，得y=sin2x的图象；

31（2）再将y=sin2x上各点的横坐标扩大为原来的231倍（纵坐标不变），得y=sinx的图象；

31（3）再将y=sinx图象上各点的纵坐标扩大为原来的3倍（横坐标不变），即可得到y=sinx3的图象。

例5：

函数f(x)=Asin(ωx+)的图象如图2-15，试依图指出

8

(1)f(x)的最小正周期；

(2)使f(x)=0的x的取值集合；

(3)使f(x)＜0的x的取值集合；

(4)f(x)的单调递增区间和递减区间；

(5)求使f(x)取最小值的x的集合；

(6)图象的对称轴方程；

(7)图象的对称中心．

解析：

这是一道依图象读出相应函数性质的典型例题，本身就是数形结合思想的体现，它根据f(x)=Asin(ωx+)的图象与函数y=sinx的图象的关系得出．

注：得出函数f(x)的最小正周期之后，研究f(x)的其他性质，总是先在包含锐角在内的一个周期中研究，再延伸到整个定义域中．

注：实际上f(x)图象的对称轴方程为x=x0，而其中x0使f(x0)=1或f(x0)=-1

注：f(x)的图象的对称中心为(x0，0)，其中x0使f(x0)=0 【说明】

这种依图读性的问题是提高数形结合能力的重要训练题，其中有两点要注意反思：①周期性在研究中的化简作用，②三角函数的“多对一”性．

π练习：1．(13分)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0，|φ|<)的部分2图象如图所示．

9

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)如何由函数y＝2sin x的图象通过适当的变换得到函数f(x)的图象，

试写出变换过程．

解

(1)由图象知A＝2. f(x)的最小正周期T＝4×5π12－π6＝π，故ω＝2πT＝2. 将点π6，2代入f(x)的解析式，得sinπ3＋φ＝1. 又|φ|<π2，∴φ＝π6. 故函数f(x)的解析式为f(x)＝2sin2x＋π6. (2)方法一

y＝2sin x向左平移6个坐标

π横坐标缩短为原来的1y＝2sinx＋62纵坐标不变y＝2sin2x＋π6. 方法二

y＝2sin x横坐标缩短为原来的12纵坐标不变y＝2sin 2x

2．(14分)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0，|φ|<π2，x∈R)的一部分如图所示

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)当x∈－6，－23时，求函数y＝f(x)＋f(x＋2)的最大值值

及相应的x的值．

解

(1)由图象知A＝2，T＝8，

∵T＝2πω＝8，∴ω＝π4. 又图象过点(－1,0)，∴2sinπ－4＋φ＝0. ∵|φ|<π2，∴φ＝πππ4.∴f(x)＝2sin4x＋4. (2)y＝f(x)＋f(x＋2) ＝2sinπ4x＋π4＋2sinπ4x＋π2＋π4

＝22sinπ4x＋π2＝22cos π4x. ∵x∈2－6，－3π3，∴－2≤π4x≤－π6. ∴当ππ24x＝－6，即x＝－3时，y＝f(x)＋f(x＋2)取得最大值6；

10

的图象与最小

π当x＝－π，即x＝－4时，y＝f(x)＋f(x＋2)取得最小值－22. 4

易错分析

y＝f(x)＋f(x＋2)化简错误，化简公式和方法不熟致误．

π2x＋. y＝2sin6向左平移个坐标12π3．(14分)函数y＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0，|φ|<)2图象如图所示．

(1)求函数y＝f(x)的解析式；

的一段π(2)将函数y＝f(x)的图象向右平移个单位，得到y＝g(x)的图象，求直线y＝6与函数y＝f(x)＋4g(x)的图象在(0，π)内所有交点的坐标．

2π

解

(1)由题图知A＝2，T＝π，于是ω＝＝2，

Tπ将y＝2sin 2x的图象向左平移个单位长度，

12得y＝2sin(2x＋φ)的图象．

πππ2x＋. 于是φ＝2×＝，∴f(x)＝2sin6126ππx－＋

(2)依题意得g(x)＝2sin246π2x＋. ＝－2cos6ππ2x＋－2cos2x＋

故y＝f(x)＋g(x)＝2sin66π2x－. ＝22sin12ππ32x－＝6，得sin2x－＝. 由22sin12122πππ∵0

12312353∴x＝π或x＝π，

2485π3π，6或，6. ∴所求交点坐标为248ππ易错分析

f(x)向右平移4个单位得g(x)＝2sin2x－4



π＋6，学生易错为

ππ2x－g(x)＝2sin4＋6，忽略了x的系数2的作用．



11

一、选择题

π1．将函数y＝sin(x－)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得图象向3π左平移个单位，得到图象的解析式是(

) 3πA．y＝sin(2x＋) 31πC．y＝sin(x－) 26[答案]

C π[解析]

将函数y＝sin(x－)图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数y3xππ1ππxπ＝sin(－)的图象，再将所得函数图象向左平移个单位，得到函数y＝sin[(x＋)－]＝sin(－)的23323326图象，故选C. 2．函数y＝Asin(ωx＋φ)在一个周期内的图象如下，此函数的解析式为(

) 1πB．y＝sin(x－) 22πD．y＝sin(2x－) 6

2πA．y＝2sin(2x＋) 3xπC．y＝2sin(－) 23[答案]

A 5ππ[解析]

由图象可知，A＝2，T＝2[－(－)]＝π，∴ω＝2.∴y＝2sin(2x＋φ)，

1212ππ又∵2×(－)＋φ＝，

1222π2π∴φ＝，∴y＝2sin(2x＋)．

333．函数y＝sin|x|的图象是(

) πB．y＝2sin(2x＋) 3πD．y＝2sin(2x－) 312

[答案]

B [解析]

令f(x)＝sin|x|，x∈R，

∴f(－x)＝sin|－x|＝sin|x|＝f(x)，

∴函数f(x)＝sin|x|为偶函数，排除A；

πππ又当x＝时，y＝sin||＝sin＝1，排除D；

2223π3π3π当x＝时，y＝sin||＝sin＝－1，排除C，故选B. 222xπ4．为了得到函数y＝2sin3＋6，x∈R的图象，只需把函数y＝2sinx，x∈R的图象上所有的点(

) π1A．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变) 63π1B．向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变) 63πC．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变) 6πD．向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变) 6[答案]

C ππx＋π图象上x＋的图象，[解析]

将y＝2sinx的图象向左平移个单位得到y＝2sin将y＝2sin666各点横坐标变为原来的3倍(纵坐标不变)，

1π则得到y＝2sin3x＋6的图象，故选C. 二、填空题

2ππ5．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的最大值为3，最小正周期是，初相是，则这个函76数的解析式为________．

π[答案]

y＝3sin(7x＋) 62π2ππ[解析]

由题意，知A＝3，ω＝＝＝7，φ＝，

T2π6713

π∴y＝3sin(7x＋)．

6π2x－的图象为C，6．函数f(x)＝3sin如下结论中正确的是________(写出所有正确结论的编号)．

311π①图象C关于直线x＝对称；

122π②图象C关于点3，0对称；

π5π－，内是增函数；

③函数f(x)在区间1212π④由y＝3sin2x的图象向右平移个单位长度可以得到图象C. 3[答案]

①②③

11π3π[解析]

f＝3sin＝－3，①正确；

1222πf3＝3sinπ＝0，②正确；

π5ππ5πkπ－，kπ＋(k∈Z)，令k＝0得增区间－，，③正确；

f(x)的增区间为12121212π由y＝3sin2x的图象向右平移个单位长度可以得到图象C，④错误．

6三、解答题

π7．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)的图象的一个最高点为(2,22)，由这个最高点到2相邻最低点，图象与x轴交于点(6,0)，试求这个函数的解析式．

[解析]

已知函数最高点为

(2,22)，∴A＝22. 又由题意知从最高点到相邻最低点，图象与x轴相交于点(6,0)，而最高点与此交点沿横轴方向1T的距离正好为个周期长度，∴＝6－2＝4，即T＝16. 442ππ∴ω＝＝. T8π∴y＝22sin(x＋φ)．

8π将点(6,0)的坐标代入，有22(×6＋φ)＝0，

83π∴sin(＋φ)＝0，

4ππ又∵|φ|<，∴φ＝. 24ππ∴函数的解析式为y＝22sin(x＋)．

84π8．已知函数f(x)＝2sin(2x＋)＋a＋1(其中a为常数)．

614

(1)求f(x)的单调区间；

π(2)若x∈[0，]时，f(x)的最大值为4，求a的值；

2(3)求出使f(x)取最大值时x的取值集合．

πππ[解析]

(1)由－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ(k∈Z)，

262ππ解得－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)．

36ππ∴函数f(x)的单调增区间为[－＋kπ，＋kπ](k∈Z)．

36ππ3π由＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，

262π2π解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z. 63π2π∴函数f(x)的单调减区间为[＋kπ，＋kπ](k∈Z)．

63πππ7π(2)∵0≤x≤，∴≤2x＋≤，

26661π∴－≤sin(2x＋)≤1，

26∴f(x)的最大值为2＋a＋1＝4，

∴a＝1. ππ(3)当f(x)取最大值时，2x＋＝＋2kπ，k∈Z，

62π∴2x＝＋2kπ，k∈Z

3π∴x＝＋kπ，k∈Z. 6∴当f(x)取最大值时，

πx的取值集合是{x|x＝＋kπ，k∈Z}．

6π9．

函数f(x)＝3sin(2x＋)的部分图象如图所示．

6

(1)写出f(x)的最小正周期及图中x0、y0的值；

ππ(2)求f(x)在区间[－，－]上的最大值和最小值．

21215

2π[解析]

(1)f(x)的最小正周期为＝π.

2∵(x0，y0)是最大值点，

ππ7π令2x＋＝＋2kπ，k∈Z，结合图象得x0＝，y0＝3. 626ππ(2)因为x∈[－，－]，

212π5π所以2x＋∈[－，0]．

66ππ于是，当2x＋＝0，即x＝－时，f(x)取得最大值0；

612πππ当2x＋＝－，即x＝－时，f(x)取得最小值－3. 623

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基础巩固

一、选择题

1．函数y＝|cosx|的周期为(

) A．2π

πC．

2[答案]

B [解析]

作出函数y＝|cosx|的简图，

B．π

πD．

4

由图象可知，函数y＝|cosx|的周期为π.

π2．

要得到函数g(x)＝cosx的图象，只需将f(x)＝cos(x－)的图象(

) 4πA．向右平移个单位长度

8πC．向右平移个单位长度

4

πB．向左平移个单位长度

8πD．向左平移个单位长度

416

[答案]

D ππππ[解析]

将f(x)＝cos(x－)的图象向左平移个单位长度得到g(x)＝cos[(x＋)－]＝cosx，故选4444D. 3．

函数y＝cos2x的图象(

) πA．关于直线x＝－对称

4πC．关于直线x＝对称

8[答案]

B [解析]

令2x＝kπ(k∈Z)，

kπ则x＝，k∈Z. 2π当k＝－1时，x＝－，故选B.

2π0<φ<在一个周期内如图所示．设其周期为T，则有(

) 4．已知函数y＝2cos(ωx＋φ)2πB．关于直线x＝－对称

25πD．关于直线x＝对称

46ππA．T＝，φ＝

54πC．T＝3π，φ＝－

4[答案]

A [解析]

T3π3π12π3π6π＝－＝＝，T＝. 24202055

3ππB．T＝，φ＝

24πD．T＝3π，φ＝

45．要得到函数y＝cos(2x＋1)的图象，只要将函数y＝cos2x的图象(

) A．向左平移1个单位

1C．向左平移个单位

2[答案]

C [解析]

本题考查三角函数(余弦型函数)图象的平移问题．

11∵y＝cos(2x＋1)＝cos2(x＋)，所以只须将y＝cos2x图象向左平移个单位即可得到y＝cos(2x＋221)的图象．注意图象平移是对“x”而言的．

πcosx－≤x≤03π26．设f(x)是定义域为R，最小正周期为的函数，若f(x)＝2sinx0

B．向右平移1个单位

1D．向右平移个单位

2

15π－的，则f4

值等于(

) A．1 C．0 【答案】

B 153π3π－π＝f×－3＋

【解析】

f4423π3π2＝f＝sin＝. 442二、填空题

cosx7．函数y＝的定义域为________．

1＋sinxππ[答案]

(－＋2kπ，＋2kπ](k∈Z) 221＋sinx≠0⇒sinx≠－1[解析]

由已知得，，

cosx≥0B．2

22

2D．－

结合正、余弦函数图象可知，

ππ－＋2kπ

22π8．

函数f(x)＝cos(2x－)＋1的对称中心坐标为________．

6πkπ[答案]

(＋，1)k∈Z

32ππ[解析]

令2x－＝＋kπ(k∈Z)，

62πkπ则x＝＋，k∈Z. 32ππkπ故函数f(x)＝cos(2x－)＋1的对称中心坐标为(＋，1)k∈Z. 632三、解答题

319．已知函数y＝a－bcosx的最大值是，最小值是－，求函数y＝－4bsinax的最大值、最小值22及最小正周期．

[解析]

－1≤cosx≤1，由题意知b≠0. 当b>0时，－b≤－bcosx≤b，

∴a－b≤a－bcosx≤a＋b. ∴1a－b＝－2

3a＋b＝2

1a＝2，解得. b＝118

∴y＝－4bsinax＝－4sin12x，

最大值为4，最小值为－4，最小正周期为4π.

当b<0时，b≤－bcosx≤－b，

∴a＋b≤a－bcosx≤a－b. a－b＝3∴2，解得2a＋b＝－12

a＝1. b＝－1

∴y＝－4bsinax＝4sin12x，最大值为4，最小值为－4，最小正周期为4π.

能力提升

一、选择题

1．函数y＝lncosx(－ππ2

)

[答案]

A [解析]

由y＝lncosx(－πππ12

A．A＝6，ω＝1，φ＝π，b＝－B．A＝－4，ω＝1π232 2，φ＝3，b＝－2 19 )

πC．A＝4，ω＝2，φ＝，b＝2 3[答案]

D 1πD．A＝4，ω＝，φ＝，b＝2 23[解析]

∵最大值与最小值的差＝6－(－2)＝8，

2π10π－＝4π，

∴A＝4.又∵周期T＝－336＋－22π2π1∴ω＝＝＝，且b＝＝2，

T4π221∴y＝4sin2x＋φ＋2. π由题意知A、B、C、D四个选项中φ都等于，故选D. 33．已知f(x)是定义在(－3,3)上的奇函数，当0

)

ππ－3，－∪(0,1)∪，3

A．22π－3，－∪(0,1)∪(1,3) C．2[答案]

B [解析]

f(x)>0的解集为(－1,0)∪(1,3)，f(x)<0的解集为(－3，－1)∪(0,1)，当x∈(－π，π)时，πππππ－，，cosx<0的解集为－π，－∪，π，故f(x)cosx<0的解集为－，－1cosx>0的解集为22222π∪(0,1)∪2，3. 4πx＋的图象向右平移φ个单位，所得到的函数图象正好关于y轴对称，则φ4．把函数y＝cos3的最小值为(

) 4πA．

3πC．

3[答案]

C π4ππx－＋

[解析]

当φ＝时，得y＝cos333＝cos(π＋x)＝－cosx，所以图象关于y轴对称．

二、填空题

20

ππ－，－1∪(0,1)∪，3

B．22D．(－3，－1)∪(0,1)∪(1,3) 2πB．

35πD．

3

nπ5．已知f(n)＝cos，n∈N*，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(100)＝________. 4[答案]

－1 nπ[解析]

因f(n)＝cos的周期T＝8，且f(1)＋f(2)＋…＋f(8)＝0. 4ππ3π所以f(1)＋f(2)＋…＋f(100)＝f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝cos＋cos＋cos＋cosπ＝－1. 424π7π6．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)，在同一周期内当x＝时，ymax＝2；当x＝时，ymin＝－2，那1212么函数的解析式为________．

π2x＋

[答案]

y＝2sin3T7πππ[解析]

∵＝－＝，∴T＝π，ω＝2，

212122π又A＝2，∴y＝2sin(2x＋φ)过点12，2，

ππ＋φ＝1，∴φ＝＋2kπ(k∈Z)．

∴sin63三、解答题

π7．求函数y＝2cos(－4x)的单调区间、最大值及取得最大值时x的集合．

6ππ[解析]

y＝2cos(－4x)＝2cos(4x－)．

66π令－π＋2kπ≤4x－≤2kπ，k∈Z，

65πkππkπ得－＋≤x≤＋，k∈Z. 242242π令2kπ≤4x－≤2kπ＋π，k∈Z，

6kππkπ7π得＋≤x≤＋，k∈Z. 224224kπ5πkππ∴该函数的单调增区间是[－，＋](k∈Z)，

224224kππkπ7π单调减区间是[＋，＋](k∈Z)．

224224π当cos(4x－)＝1时，ymax＝2. 6π此时4x－＝2kπ，k∈Z，

6kππ∴x＝＋，k∈Z. 224kππ即函数取得最大值时x的集合是{x|x＝＋，k∈Z}，且最大值为2. 2248．判断下列函数的奇偶性，并求它们的最小正周期．

21

(1)y＝3cos2x；

33π(2)y＝cos(x＋)．

42[解析]

令f(x)＝3cos2x，

∴f(－x)＝3cos(－2x)＝3cos2x＝f(x)，

∴函数f(x)为偶函数．

最小正周期T＝π.

33π3(2)令f(x)＝cos(x＋)＝sinx. 42433∴f(－x)＝sin(－x)＝－sinx＝－f(x)，

4433π∴函数y＝cos(x＋)是奇函数.

422π8π最小周期T＝＝. 334ππkx－，g(x)＝bcos2kx－(a>0，b>0，k>0)，若它们的最小正周期之和为9．设函数f(x)＝asin36πππ3ππ－1，求这两个函数的解析式．

，且f＝g，f＝－3g22442[解析]

函数f(x)的周期T1＝2ππ，函数g(x)的周期T2＝，

kk3π2ππ3π由已知T1＋T2＝，∴＋＝，∴k＝2. 2kk2ππ又f2＝g2，则有

π2π－π. π－＝b·a·sincos63∴33a＝b，即a＝b 22

①

ππ－1，则有

又f＝－3g44π5πa·sin＝－3b·cos－1. 6613即a＝b－1，

22由①②解得a＝b＝1. ππ2x－，g(x)＝cos4x－. 所以f(x)＝sin36

22

②