3.1.2 概率的意义设计意图

3.1.2

随机事件的概率

【学习导航】 知识网络 事件随机事件的概率

学习要求

1.理解随机事件的频率定义及概率的统计定义，知道根据概率的统计定义计算概率的方法, 理解频率和概率的区别和联系；

2．通过对概率的学习，使学生对对立统一的辨证规律有进一步的认识. 【课堂互动】

自学评价

1.随机事件的概率：

我们已经学习用概率表示一个事件在一次试验或观测中发生的可能性的大小，它是在0～1之间的一个数，将这个事件记为A，用PA表示事件A发生的概率.怎样确定某一事件发生的概率呢？

实验1 奥地利遗传学家（G.Mendel）用豌豆进行杂交试验，下表为试验结果（其中F1为第一子代，F2为第二子代）：

性状

F1的表现

F2的表现

种子的形状

全部圆粒

圆粒5474 皱粒1850 圆粒︰皱粒≈2.96︰1 茎的高度

全部高茎

高茎787 矮茎277 高茎︰矮茎≈2.84︰1 子叶的颜色

全部黄色

黄色6022 绿色2001 黄色︰绿色≈3.01︰1 豆荚的形状

全部饱满

饱满882 不饱满299 饱满︰不饱满≈2.95︰1 孟德尔发现第一子代对于一种性状为必然事件，其可能性为100％,另一种性状的可能性为0，而第二子代对于前一种性状的可能性约为75％,后一种性状的可能性约为25％，通过进一步研究，他发现了生物遗传的基本规律. 实际上，孟德尔是从某种性状发生的频率作出估计的.

实验2 在《算法初步》一章中，我们曾设计了一个抛掷硬币的模拟试验.下表是连续8次模拟试验的结果：

A B 1 模拟次数10 正面向上的频率0.3 2 模拟次数100 正面向上的频率0.53 3 模拟次数1000 正面向上的频率0.52 4 模拟次数5000 正面向上的频率0.4996 5 模拟次数10000 正面向上的频率0.506 6 模拟次数50000 正面向上的频率0.50118 7 模拟次数100000 正面向上的频率0.49904 8 模拟次数500000 正面向上的频率0.50019 我们看到，当模拟次数很大时，正面向上的频率值接近于常数0.5，并在其附近摆动.

实验3 的前n位小数中数字6出现的频率

n

数字6出现的次数字6出现的频数

率

100 9 0.090000 200 16 0.080000 500 48 0.096000 1000 94 0.094000 2000 200 0.100000 5000 512 0.102400 10000 1004 0.100400 50000 5017 0.100340 1000000 99548 0.099548 从表3-1-2可以看出：数字6在的各位小数数字中出现的频率接近常数0.1，并在其附近摆动。如果统计0至9这10个数字在的各位小数数字中出现的频率值，可以发现它们都是接近常数0.1，并在其附近摆动. 【总结】在相同条件下，随着试验次数的增多，随机事件发生的频率会在某个常数附近摆动并趋于稳定，我们可以用这个常数来刻画该随机事件发生的可能性大小，而将频率作为其近似值。

1.概率：

一般地，如果随机事件A在n次试验中发生了m次，当试验的次数n很大时，我们可以将发生的频率mm作为事件A发生的概率的近似值，即PA

nn2．概率的性质： ①随机事件的概率为0P(A)1，

②必然事件和不可能事件看作随机事件的两个特例，分别用和表示，必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P1，P0; 3.（1）频率的稳定性 即大量重复试验时，任何结果（事件）出现的频率尽管是随机的，却“稳定”在某一个常数附近，试验的次数越多，频率与这个常数的偏差大的可能性越小，这一常数就成为该事件的概率; （2）“频率”和“概率”这两个概念的区别是：频率具有随机性，它反映的是某一随机事件出现的频繁程度，它反映的是随机事件出现的可能性；概率是一个客观常数，它反映了随机事件的属性.

【精典范例】

例1

某射手在同一条件下进行射击，结果如下表所示：

射击次数

10 20 50 100 200 500 击中靶心的次数

8来源学_科_网击中靶心的频率

19 44 92 178 455 （1）填写表中击中靶心的频率；

（2）这个射手射击一次，击中靶心的概率约是什么？来源学科网ZXXK]

【分析】事件A出现的频数nA与试验次数n的比值即为事件A的频率，当事件A发生的频

率fn（A）稳定在某个常数上时，这个常数即为事件A的概率。

【解】（1）表中依次填入的数据为：0.80，0.95，0.88，0.92，0.89，0.91. （2）由于频率稳定在常数0.89，所以这个射手击一次，击中靶心的概率约是0.89。

【小结】概率实际上是频率的科学抽象，求某事件的概率可以通过求该事件的频率而得之。

例2

某人进行打靶练习，共射击10次，其中有2次中10环，有3次环中9环，有4次中8环，有1次未中靶，试计算此人中靶的概率，假设此人射击1次，试问中靶的概率约为多大？中10环的概率约为多大？

【分析】中靶的频数为9，试验次数为10，所以靶的频率为9=0.9，所以中靶的概率约为100.9．

【解】此人中靶的概率约为0.9；此人射击1次，中靶的概率为0.9；中10环的概率约为0.2．

例3

在一场乒乓球比赛前，裁判员利用抽签器来决定由谁先发球，请用概率的知识解释其公平性。

【分析】这个规则是公平的，因为每个运动员先发球的概率为0.5，即每个运动员取得先发球权的概率是0.5。

【解】这个规则是公平的，因为抽签上抛后，红圈朝上与绿圈朝上的概率均是0.5，因此任何一名运动员猜中的概率都是0.5，也就是每个运动员取得先发球权的概率都是0.5。

【小结】事实上，只能使两个运动员取得先发球权的概率都是0.5的规则都是公平的。

追踪训练

1、下列说法正确的是（

C

）

A．任一事件的概率总在（0.1）内

B．不可能事件的概率不一定为0 C．必然事件的概率一定为1 D．以上均不对

2、下表是某种油菜子在相同条件下的发芽试验结果表，请完成表格并回答题。

每批粒数

2 5 10 70 130 700

1500 2000 发芽的粒数

2 4 9 60 116 282 639 1339 发芽的频率

（1）完成上面表格：

（2）该油菜子发芽的概率约是多少？

解：（1）填入表中的数据依次为0.75,0.8,0.8,0.85,0.83,0.8,0.76.（2）由于上述频率接近0.80，因此，进球的概率约为0.80。

3、如果某种彩票中奖的概率为1，那么买1000张彩票一定能中奖吗？请用概率的意义1000解释。

解：不一定能中奖，因为，买1000张彩票相当于做1000次试验，因为每次试验的结果都是随机的，即每张彩票可能中奖也可能不中奖，因此，1000张彩票中可能没有一张中奖，

也可能有一张、两张乃至多张中奖。

3.1.2 随机事件的概率

分层训练

1.将一枚硬币连掷了10次,正面朝上的出现了6次,若用A表示正面朝上这一事件,则A的

( ) 23 A.

概率为 B.频率为 35C.频率为6 D．概率接近0.6 2.盒中有100个铁钉，其中90个是合格的，10个是不合格的，从中任意抽取21个，其中合格的铁钉估计有

个. 3.从一批出厂的电视机中，随机抽取10台进行质量检查，其中有1台次品，能否说这批电视机的次品的概率是0.1？

解:

4.一个地区从某年起几年之内的新生儿数及其中男婴数如下：

时间范围

新生婴儿数

男婴出生数

男婴出生频率

1年内

网来源学科5544 9607 13520 17190 2883 4970 6994 8892

2年内

3年内

科_网来源学_4年内

（1）填写表中男婴出生的频率（结果保留到小数点后第3位）；

（2）这一地区男婴出生的概率约是多少？

解:

5.如果某产品的合格率为90%，问“从该厂产品中任意抽取10件，其中一定有9件合格品”这种说法正确吗？

解:

拓展延伸

6．李老师在某大学连续3年主讲经济学院的高等数学,下表是李老师这门课3年来的考试成绩分布: 成绩

90分以上

80分～89分

70分～79分

60分～69分

50分～59分

人数

43 182 260 90 62

50分以下

8 经济学院一年级的学生小王下学期将选修李老师的高等数学课,用已有的信息估计她得以下分数的概率(结果保留到小数点后三位):(1)90分以上;(2)60分～69分;(3)60分以上. 7．某射手在同一条件下进行射击，结果如下表所示：

射击次数n 击中靶心次数m

击中靶心的频率10 20 50 8 19 44

[来源:Z&xx&k.Com]100 200 500

92

178 455

m

n（1）填写表中击中靶心的频率；

解：

（2）这个射手射击一次，击中靶心的概率约是多少？