3. 万有引力定律的应用新颖的课程导入教案

三、万有引力定律的应用

教学目标

1. 知道天体间的相互作用主要是万有引力。 2. 知道如何应用万有引力定律计算天体质量的方法。

3. 通过了解万有引力定律在天文学上的重要应用，体会科学定律对人类认识世界的作用。

重点难点

重点：

天体质量的计算及两个重要模型的理解

难点：

黄金代换的理解

设计思想 万有引力定律在天文学上应用广泛，与实际问题、现代科技相联系，可以用来发现新问题，开拓新领域。同时，万有引力定律与牛顿第二定律、圆周运动的知识相结合，可用来求解天体的质量和密度，分析天体的运动规律。本节课是以计算天体质量为问题中心，展开两个模型的探究和讨论，深刻理解黄金代换和万能公式的物理意义，掌握两个核心公式的应用。计算天体质量的两个模型如下：一是忽略中心天体自传情况下，中心天体表面物体所受的重力mg近似MmgR2等于中心天体对物体的引力，即mg=G2，由此解出M=；一是利用围绕中心天体运RGGMmv2422m=mωr=m2r来求解。天体的质量算出后，还可以利用动的天体来求解，即2rrTMρ=来求天体的密度。

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教学设计

【课堂引入】

故事：在1781年3月13日,这是一个很平常的日子,晴朗而略带寒意的夜晚,英国天文学家威廉·赫歇尔（1738—1822）跟往常一样，在其妹妹加罗琳（1750—1848）的陪同下，用自己制造的口径为16厘米、焦距为213厘米的反射望远镜，对着夜空热心地进行巡天观测。当他把望远镜指向双子座时,他发现有一颗很奇妙的星星,乍一看像是一颗恒星,一闪一闪地发光,引起了他的怀疑。

经过一段时间的观测和计算这后,这颗一直被看作是“彗星”的新天体,实际上是一颗在土星轨道外面的大行星——天王星。

天王星被发现以后,天文学家们都想目睹这颗大行星的真面目。在人们观测和计算中,发现天王星理论计算位置与实际观测位置总有误差,就是这一误差,引起了人们对“天外星”的探究，并于1846年9月23日发现了太阳系的第八颗行星——海王星。

海王星被称为“从笔尖上发现的行星”，原因就是计算出来的轨道和预测的位置跟实际观测的结果非常接近。你知道科学家在推测海王星的轨道时,应用的物理规律主要有哪些吗? （学生都会回答万有引力定律。）

一个成功的理论不仅要能解释已知的事实，更重要的是能预言未知的现象。预言彗星的回归和预言未知天体就充分展示了万有引力定律的巨大成就。

【课堂学习】

学习活动一：预言彗星回归和未知天体

问题1：

万有引力定律适用于彗星吗？你了解哈雷彗星吗？

牛顿指出，行星的运动规律同样适用于彗星。哈雷根据牛顿的引力理论，对哈雷彗星的轨道运动进行了计算，预言了它将于1758年再次出现。后来，克雷洛计算了遥远的行星对它的影响，指出它将推迟于1759年4月份经过近日点，这个预言果然得到了证实。这充分证明了万有引力定律的正确性，展现了其无穷的魅力。

问题2：除了预言彗星回归，万有引力定律在天文学上还有何应用？

（应用万有引力定律还可以用来发现未知天体。）

问题3：应用万有引力定律发现了哪些行星？

（海王星和冥王星就是应用万有引力定律发现的，凭借着万有引力定律，通过计算，在笔尖下发现了新的天体，这充分显示了科学理论的威力。）

（这部分内容主要引导学生看书，进行自主学习，也可以让学生课后查阅资料。）

（过渡：应用万有引力定律可以发现未知天体，给天文学的研究开辟了一条新的道路。同时，应用万有引力定律还可以“称量”地球的质量，计算天体的质量，这些累累硕果体现了万有引力定律的巨大理论价值。）

学习活动二：计算天体质量

问题1：卡文迪许在实验室里测量几个铅球之间的作用力，测出了引力常量G的值，从而宣称“称量”出了地球的质量，测出G后,是怎样“称量”地球的质量的呢？

（只要知道了引力常量G就可以了，忽略地球自转的情况下，在地球表面的物体受到的重力等于地球对物体的万有引力。）

问题2：设地面附近的重力加速度g=9.8 m/s2，地球半径R=6.4×106 m，引力常量G=6.67×10-11

N·m2/kg2，试估算地球的质量。

GMmgR2gR29.8(6.4106)2M（忽略地球自转，mg=M=kg=6.0×1024 kg。）

211G，GR6.6710（计算过程中应该教给学生估算的方法，不用计算器，不求精确计算，因为g和R本身就是取的平均值，地球质量也只能估算，只要数量级对就可以了，本处不太方便展示，建议教师在黑板上给学生演示估算过程。）

问题3：知道了引力常量G，测出星球表面的重力加速度就可以称出天体的质量了，能否用该方法计算太阳的质量？如果不能你能想到什么好方法？

（不能，因为我们不可能站在太阳上测其表面的重力加速度。可以利用地球绕太阳做匀速圆周运动的模型求解，万有引力提供向心力，应用万有引力定律结合向心力的方程求解。）

问题4：地球绕太阳公转的轨道半径r为1.49×10

m，公转的周期T是3.16×10s，太阳的质量是多少？

（根据牛顿第二定律，可知：F向=ma向=m·(11722)r ①

TMm ②

r2又因为F向是由万有引力提供的所以F向=F万=G·42r343.142(1.491011)330所以由①②式联立可得M==1.96×10 kg）

kg21172GT6.6710(3.1610)

（该问题也可不给轨道半径r和公转周期T，让学生根据常识得出r和T，根据太阳光传到地球表面大概需要8min可知r，T即为1年。计算时还是应该让学生估算，保证数量级正确即可。）

问题5：根据以上两个模型，你能总结出求解天体质量的一般方法吗？

（方法一：忽略地球自转的影响，地面上物体的重力近似的等于地球对物体的万有引力，设地面附近的重力加速度为g，则有GMmmg，该方程也称为黄金代换。方法二：行星或卫星R2绕中心天体沿圆轨道做匀速圆周运动，万有引力提供行星或卫星做匀速圆周运动的向心力，即可根据向心力公式列方程求出处于圆轨道圆心的太阳或地球等中心天体的质量。基本方程式：

Mmv2422）

G2mammrm2r，该方程也称为万能公式。rrT问题6：应用黄金代换和万能公式求解的是哪个天体的质量？中心天体还是环绕天体？

（从两式的推导过程可知，只能求出中心天体的质量，而不能求环绕天体的质量，因为环绕天体的质量同时出现在方程的两边，已被约掉。）

问题：1970年我国发射的第一颗人造地球卫星，运行周期为114 min，卫星轨道的平均半径为7782 km，请据此计算地球的质量。（保留一位有效数字）

GMm42mr42r3解析：由

得

M22rTGT2

42(7782103)324kg610kg

代入已知得M1126.6710(11460)（过渡：应用黄金代换和万能公式可以求解中心天体的质量，进而根据密度公式还可以求解天体的密度。黄金代换和万能公式是本章的两个核心公式，几乎所有与万有引力有关的问题都是围绕这两个公式的应用，该如何理解它们，公式里的各个物理量的意义是什么，应用过程中该注意哪些问题呢？下面我们首先讨论黄金代换，至于万能公式的理解我们等到后面再说。）

学习活动三：

黄金代换的理解与应用

问题1：

大家回忆一下重力的定义是什么？

（由于地球的吸引而使物体受到的力叫重力。）

问题2：地球表面上物体的重力和地球对物体的万有引力是一回事吗？它们的关系是如何？

（地球上物体的重力是由于地球的吸引而产生的，它并不等于万有引力。因为地球上的物体要随地球自转而做匀速圆周运动，设运动半径r是物体到地轴的距离，向心力大小为F需=mω2r，方向垂直指向地轴。物体随地球的自转所需的向心力是由地球对物体万有引力的一个分力提供的，万有引力的另一个分力才是通常所说的物体受到的重力，如图所示。）

问题3：地球表面物体的重力是否恒定不变？若变，怎么变？

（地球上物体的重力会随纬度变化而变化，这里的原因有两个：一个是由于在不同纬度上物体随地球自转时的运动半径不同，因而所需的向心力有所不同；另一个是由于地球并不是一个理想的球体，从精确的测量可知，地球是一个极半径比赤道半径略小的椭球体，因而物体位于不同纬度上，地球对它的引力也就有所不同。所以随着纬度的增加，地球对物体的引力逐渐增大，物体随地球自转所需向心力逐渐减小，物体的重力逐渐增大。相应的，地球表面的重力加速度也随纬度的增加而增大。即：在两极处，F=mg；赤道上，F=mg+Fn）

问题：一颗行星上一昼夜时间T=6小时，用弹簧秤称一物体，发现在其赤道上的视重比在其两极的视重小10%，据此，求此行星的平均密度。

解析：本题主要考查万有引力和重力的联系，物体放在两极称，重力即为万有引力,故GMm

2r43Mg'r2=mg′，行星质量M=.设该行星的半径为r,则该行星体积为r,该行星密度ρ=

V3Gg'r23g'所以ρ= ①

43G4rGr3在赤道称物体，视重小10%，即mg′×10%=mωr 2g'424022即=10ω=102 ②

rTT2将②式代入①得

340230303.14333ρ=kg/m=3.03×10 kg/m. 2221124TGGT6.6710(63600)答案：3.03×10 kg/m

问题4：既然重力是万有引力的一个分力，黄金代换还能用吗？

（实际上，物体随地球自转所需的向心力最大也不过是地球对它引力的千分之几，所以在一般情况下，重力和重力加速度随纬度变化可忽略不计。以物体处在地球赤道上为例计算：物体此33424216时所需向心力最大为Fnm2R0m6.410m，而物体受重力2T(243600)24G=mg=10m，可见Fn远小于G，在一般情况下根本无需考虑重力与万有引力的差别，在要求不是特别精确的情况下，黄金代换成立。）

问题5：随着离开地球表面高度的增加，重力如何变化？

（在地球表面，物体重力=mg′,g′=GMmGMGMm=mg，但随高度增大，万有引力变为：

0,g0=222RR(Rh)GM，由此可看出物体随高度的增大其重力减小。）

(Rh)2（提醒学生注意：应用黄金代换时应看清题目交代的g是哪里的，星球表面还是高空处，各自所对应的R取值不同，这也是学生最容易犯的错误。）

问题：地球表面重力加速度g0=9.8 m/s，忽略地球自转的影响，在距离地面高度h=1.0×10m的空中重力加速度g与g0的差值多大？取地球半径R=6.37×10m。

解析：不计地球自转的影响，物体的重力等于物体所受到地球的万有引力，有

Mm(Rh)2MmR26 23mg=G,mg0=G

gR26.371062)()=0.99969 所以(g0Rh6.371106Δg=g0—g=3.04×10

【课堂小结】

—3 m/s

2问题1：

万有引力定律的发现取得了哪些巨大的成就？

问题2：

计算天体质量的两个模型是什么？

问题3：

什么是黄金代换和万能公式？

问题4：

如何理解黄金代换？

【板书设计】

一、预言彗星回归和未知天体

二、计算天体质量

黄金代换：忽略地球自转的影响，地面上物体的重力近似的等于地球对物体的万有引力GMmmg

2R万能公式：万有引力提供行星或卫星做圆周运动的向心力

Mmv2422

G2mammrm2r

rrT三、黄金代换的理解与应用

1.重力是万有引力的一个分力

2.在两极处，F=mg；赤道上，F=mg+Fn

3.地球表面：GMmGM=mg

0,g0=R2R2GMGMm在高空中： =mg′,g′=

22(Rh)(Rh)4.地球表面，随着纬度的增加，g增大；随着高度的增加，g减小。

5. Fn远小于G，在一般情况下根本无需考虑重力与万有引力的差别，直接用黄金代换。

第三节

万有引力定律的应用

课堂反馈

1、离地面高度h处的重力加速度是地球表面重力加速度的1/2，则高度是地球半径的（

）

A．2倍

B．1/2倍

C．2倍

D．（2－1）倍

2、一艘宇宙飞船在一个星球表面附近作圆形轨道环绕飞行，宇航员要估测该星球的密度，只需要

（

）

A．测定飞船的环绕半径

B．测定行星的质量

C．测定飞船的环绕周期

D．测定飞船的环绕速度

3、由于地球自转，又由于地球的极半径较短而赤道半径较长，使得在地球表面的同一物体受到的重力

（

）

A．在两极较大

B．在赤道较大

C．在两极跟在赤道一样大

D．无法判断

4、假设火星和地球都是球体，火星的质量M火与地球的质量M地之比M火：M地=p，火星的半径和地球半径之比R火：R地=q，求火星与地球表面处的重力加速度之比。

5、宇航员在月球上做自由落体实验，将某物体由距月球表面高h处释放，经时间t后落到月球表面（设月球半径为R）。据上述信息推断，飞船在月球表面附近绕月球做匀速圆周运动所必须具有的速率为

（

）

A．2Rh2Rh

B．

C．

ttRh

D．

tRh

2t6、美国于2005年1月12日升空的“深度撞击”号探测器，在2005年7月4日与“坦普尔一号”彗星相撞，产生4.5吨TNT当量爆炸威力，这是美国独自搞的科学实验，可谓前所未有。

我们国家也有自己的“深度撞击”计划，这一计划目前已经列入了“十一五”规划之中，在探月成功后，便将付诸实施。

假设“坦普尔一号”彗星上用弹簧秤称得质量为m的砝码重力为G0，撞击器在靠近彗星表面运行时，其测得环绕周期是T0，试根据上述数据求该“坦普尔一号”彗星的质量。

参考答案：

2g火M火R地pMm1、D

2、C

3、A

4、解析：

由mgG2得

22

g地M地R火qR5、B 6、解析：设“坦普尔一号”彗星表面的重力加速度为g，“坦普尔一号”彗星质量为M，在“坦普尔一号”彗星上由G0=GMm

R2

Mm42对于在“坦普尔一号”彗星表面的卫星由万有引力提供向心力，所以G2mR2

RT0由上两式可知：M=G0T0/16Gmπ. 答案：G0T0/16Gmπ

课后测评

1、下列说法正确的是(

) A．海王星是人们直接应用万有引力定律计算的轨道而发现的

B．天王星是人们依据万有引力定律计算的轨道而发现的

C．海王星是人们经过长期的太空观测而发现的

D．天王星的运行轨道与由万有引力定律计算的轨道存在偏差，其原因是天王星受到轨道外的行星的引力作用，由此，人们发现了海王星

2、利用下列数据，可以计算出地球质量的是(

) A．已知地球的半径R和地面的重力加速度g B．已知卫星绕地球做匀速圆周运动的半径r和周期T C．已知卫星绕地球做匀速圆周运动的半径r和线速度v D．已知卫星绕地球做匀速圆周运动的线速度v和周期T 3、科学家们推测，太阳系的第九大行星就在地球的轨道上，从地球上看，它永远在太阳的背面，人类一直未能发现它，可以说是“隐居”着的地球的“孪生兄弟”。由以上信息我们可以推知(

) A．这颗行星的公转周期与地球相等

B．这颗行星的自转周期与地球相等

C．这颗行星的质量与地球相等

D．这颗行星的密度与地球相等

4、近地人造卫星1和2绕地球做匀速圆周运动的周期分别为T1和T2，设在卫星1、卫星2各自所在的高度上的重力加速度大小分别为g1、g2，则(

) g1T1g1T2g1T1g1T2A．＝()4/3

B．＝()4/3

C．＝()2

D．＝()2

g2T2g2T1g2T2g2T165、已知地球半径约为6.4×10

m，又知月球绕地球的运动可近似看做圆周运动，则可估算出月球到地心的距离为________m．(结果保留一位有效数字) 6、已知地球半径R＝6.4×106

m，地面附近重力加速度g＝9.8 m/s2。计算在距离地面高为h＝2×106

m的圆形轨道上的卫星做匀速圆周运动的线速度v和周期T。

7、假设在半径为R的某天体上发射一颗该天体的卫星，若卫星贴近该天体的表面做匀速圆周运动的周期为T1，已知万有引力常量为G，则该天体的密度是多少？若这颗卫星距该天体表面的高度为h，测得在该处做圆周运动的周期为T2，则该天体的密度又是多少？

34343434

参考答案：

1、D 2、D 3、A 4、B 5、解析：地球对月球的万有引力提供月球绕地球运转所需的向心力，月球绕地球运转的周期为27天，即

42Mm22

Gr＝mT·r

T＝27×24×3600 s

①

Mm'2

GR＝m′g

由①、②两式可得

②

22622gRT9.8(6.410)(27243600)3324＝42

r＝＝4×108 m 6、答案：6.9×103 m/s

7.6×103 s 解析

根据万有引力提供卫星做匀速圆周运动的向心力，有

Mmv2G＝m

R＋h2R＋hGM知v＝

①

R＋hMm由地球表面附近万有引力近似等于重力，即G2＝mg得GM＝gR2②

R由①②两式可得

gR29.8v＝

＝6.4×106×

m/s R＋h6.4×106＋2×106＝6.9×103 m/s R＋h运动周期T＝

v662×3.146.4×10＋2×103＝ s＝7.6×10 s

36.9×107、解析

设卫星的质量为m，天体的质量为M.卫星贴近天体表面做匀速圆周运动时有

Mm4π24π2R3G2＝m2R，则M＝

RT1GT214根据数学知识可知星球的体积V＝πR3

323M4πR3π故该星球密度ρ1＝＝＝2

V43GT1GT21·πR3卫星距天体表面距离为h时有

Mm4π2G＝m2(R＋h) T2R＋h24π2R＋h3M＝

GT2223R＋hM4πR＋hρ2＝＝＝23VGT2R243GT2·πR33