小结名师课堂实录

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教学设计

3.3 几何概型(第1课时) 牛改英

一、

教材分析

教材的地位和作用

“几何概型”是继“古典概型”之后的第二类等可能概率模型，在概率论中占有相当重要的地位，是等可能事件的概念从有限向无限的延伸，是为更广泛的满足随机模拟的需要而新增加的内容，这充分体现了数学与实际生活的紧密关系。《几何概型》共安排2课时,本节课是第1课时，注重概念的建构和公式的应用，为第二课时的几何概型的应用以及体会随机模拟中的统计思想打下基础。

教学重点与难点

重点：掌握几何概型的判断及几何概型中概率的计算公式。

难点：在几何概型中把实验的基本事件和随机事件与某一特定的几何区域及其子区域对应，确定适当的几何测度。通过数学建模解决实际问题。

[理论依据]

本课是一节概念新授课，因此把掌握几何概型的判断及几何概型中概率的计算公式作为教学重点。教学难点是在几何概型中把实验的基本事件和随机事件与某一特定的几何区域及其子区域对应，确定适当的几何测度。此外，学生通过数学建模解决实际问题也较为困难，因此也是本节课的难点。

二、教学目标

[知识与技能目标] （1）体会几何概型的意义。

（2）了解几何概型的概率计算公式

[过程与方法目标] 通过转盘游戏，将有限个等可能结果推广到无限个等可能结果，让学生经历概念的建构这一过程，感受数学的拓广过程。

通过实际应用，培养学生把实际问题抽象成数学问题的能力，感知用图形解决概率问题的方法。

[情感与态度目标] 体会概率在生活中的重要作用，感知生活中的数学，激发提出问题和解决问题的勇气，培养其积极探索的精神。 三、教学方法，教学模式，教学手段

本节课采用以引导发现为主的教学方法，以归纳启发式作为教学模式，结合多媒体辅助教学。

四、教学过程

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教学环节

教学内容

设计意图

通过学生回顾古典概型的特征和概率公式，从学生熟悉并且容易解决的一个古典概型问题，稍加修改，转变成为一个几何概型的问题，学生思考后仍然解决不了，从而引出课题.

一、复习旧知

巩固旧知

提回顾古典概型的特征和概率公式

出

问二、提出问题

引入课题

题口答1：在区间[0，9]上任取一个整数a，

引 则a[0,3]的概率为 . 入

课提出问题2：在区间[0，9]上任取一个实数a ，

题

则a[0,3]的概率为 .

三、创设情境

构建概念

转盘游戏：如图所示，规定指针指向金额区域表示中奖

问题1：图1中转盘中奖的概率是多少？

以

境

激

情

建

构

概

念

通过等分猜想引入几何概型，学生猜想依次得到概率。

首先是将圆盘八等分，概率的求解十分容易，预计学生可能将指针分别停在八个相同的扇形区域作为八个等可能基本事件，从而概率的求解仍然停留在古典概型上。

第二种圆盘的蓝红区（图1）

域面积比为3:2。圆盘(2) 问题2：若换成图2的转盘，中奖概率是多少? 的求解虽然可以由等分的（蓝红区域面积比为3:2）

观点得到答案，但图形淡化了等分。

在这一情境中，以学生为主体的直观知识进行猜想，设置三个环节创造性的使用教材，通过圆盘的变化逐步实现从有限到无限，从古典概型到几何概型的过

渡，让学生感受数学的拓广（图2）

过程。

问题3：再换成图3的转盘，中奖概率是多少呢?

通过交换中奖区域的 位置，引导学生发现中奖的

概率与奖金所在扇形区域

的面积有关（也许有学生想

到弧长，角度），而与奖金

所在区域的位置无关。在这

一情境中，首先在学生的思（图3）

维里呈现面积这一几何测中奖的概率与奖金所在区域的位置有关系吗？

度。

若没有，那么中奖的概率与什么有关？

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基于前面情境的分析，

几何概型的概念

如果每个事件发生的概率只与构成该事件区不难引导学生得到几何概

形

域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型的概念，并从几何概型概型为几何概率模型，简称为几何概型. 率问题的解决过程中归纳成

概括得到几何概型中的概概

几何概型中事件A的概率计算公式

率计算公式。这一概念的形念

成过程符合学生“研究新问

题——产生内在需求——构成事件A的区域长度（面积或体积）(A)解决新问题”的认知规律。

P

试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）

四、

剖析例题

巩固新知

剖

例：一个路口的红绿灯，红灯亮的时间为30秒，黄这一环节设置了学生析

灯亮的时间为5 秒，绿灯亮的时间为40秒，当你到生活中的红绿灯问题，向学例

达路口时，看见下列三种情况的概率各是多少？

生呈现长度这一几何测度

（1）红灯；（2）黄灯；（3）不是红灯.

题

课堂训练 巩固新知

五、通过课堂练习巩固几练习2 巩(1)在区间[0，10]内的所有实数中随机取一个实数a，何概型概率的计算，由学生板演完成，教师点评。

固则这个实数a≥7的概率为 .

练(2) 在1万平方千米的海域中有40平方千米的大陆

架储藏着石油,如果在海域中任意点钻探,钻到油习

层面的概率为 .

(3) 在1000mL的水中有一个草履虫，现从中任取出2mL水

样放到显微镜下观察，发现草履虫的概率为 .

这一环节的设置是解解

六、运用新知

解决问题

决

问题2：在区间[0，9]上任取一个实数a ，

决开始问题，深化学生对几问

则a[0,3]的概率为 . 何概型意义的体会，同时在题

学生的思维里呈现区间长解：这是与长度有关的几何概率模型, P =1/3.

度这一几何测度。

本例是关于数学建模七、实际应用

深化新知 实

例：某人午觉醒来,发现表停了,他打开收音机,想的一道实际应用题。首先分际

听电台整点报时,求他等待的时间不多于10分钟的解本题的两个难点。难点一应

概率. 是基本事件的确定，难点二是几何测度的优化选择。针用

对难点一，利用实物图片，

通过实验得出结论，突破难建

点。确定了构成事件的区域立

后，由于钟表外观具有明显

模

的几何特征，预计学生可能

型会选择弧长、圆心角、甚至

扇形面积等作为测度，当然

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都可以得到问题的解决。优化测度选择，突破课本的设

计理念，引导学生认识到弧解:设事件A={等待的时间不多于10分钟}, 长、角度、面积这些测度本 事件A发生的区域为时间段[50,60],而打开收音质上就是时间区域的长度，机的时间段为[0,60]，

从形到数的转变，实现了测60501度的优化选择，揭示出数学

由几何概型的概率公式得p(A)606的本质，突破了难点二。

即“等待报时的时间不超过10分钟”的概率为1/6.

通过剖析例题，引导学生

对解题思路和方法的总结，归纳解题步骤：记事件 构造几何图形 计算 几何度量 求概率 下结论

让学生知道理解概念是关键，掌握公式是前提，实际

应用是深化。

1.公共汽车站每隔5分钟有一辆汽车通过，乘客

到达汽车站的任一时刻是等可能的，求乘客候车不超

过3分钟的概率.

解:设事件A={乘客候车时间不超过3分钟},

事件A发生对应的时间长度为3分钟,

基本事件的全体Ω对应的时间长度为5分钟，

由几何概型的概率公式得

m(A)3

0.6

P(A)＝

m()5

以生活实例作为结束，2.取一根长度为3m的绳子，拉直后在任意位置与开始相呼应，让学生体会剪断，那么剪得两段的长度都不小于1m的概率有多“数学来源于生活，应用于大？

生活”的思想.

检测学生知识的掌握程度

解：由题意可设

“剪得两段绳长都不小于1m”为事

件A.

则事件A对应的长度为1m,

基本事件的全体Ω对应的长度为3m, 故由几何概型的概率公式得，事件A发生的概率为：

m(A)1

p(A).

m()3全部结果构成的区域：[0,60] 构成事件的区域： [50,60]

达

标

检

测

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知识总结

梳

几何概型与古典概型的联系与区别

理

古典概型 几何概型

归纳比较几何概型与古典知

概型的联系与区别，配合表识

联系 每个基本事件出现的可能性相等. 格的完成和说明，帮助学生，

梳理概念，加深印象。

归

区别

试验中所有可能出现 试验中所有可能出现的

在这一环节，通过学生纳

的基本事件有有限个；基本事件有无限个；

回顾，教师加以适当总结和总

提炼，突出本节课的重点，加深学生对所学知识的印结

概

A所包含的基构成A的区域长度象。

率

本事件的个数

分

层

作

业

（面积或体积）基本事件公

P(A)试验的全部结果所构成的的总数式 区域长度（面积或体积）

一、必做题：

课本142页第1、2题

二、选做题：

在等腰直角三角形ABC中,C为直角顶点

①在斜边AB 上任取一点M, 求AM

作业的布置采取分层作业，必做题的目的在于区别古典概型与几何概型，熟悉几何概型计算公式；选做题针对基础较好的学生。设置分层作业目的在于巩固概念落实基础的同时，利用弹性作业使不同层次的学生都有所收获。

设计意图：

一题三问，形似质异，逐层深入，强化突出了求解几何概型的关键：把握基本事件的等可能性，确定几何度量。

板3.3几何概型

书

设1.几何概型的定义 例 1 例 2 计

几何概型的特征

2.几何概型的概率计算公式

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六、评价分析

1、评价教学目标的完成情况

本节课创造性的使用教材，揭示矛盾，创设问题的情境，在问题情境中让古典概型自然地向几何概型的过渡，抓住了几何概型与古典概型的本质区别，让学生获得新知的同时体会了数学知识的拓广过程。例题设置变式拓展，层层递进，突破教材设计理念，结合多媒体和实物模型的使用，形象直观，丰富课堂形式，实现掌握重点突破难点的目的以达到更好的教学效果。同时注重各种数学思想方法的渗透。最后以生活中的实例结束，让学生认识到数学源于生活，又应用于生活，生活中处处有数学。

2、评价学生的基础知识、基本技能和发现问题、解决问题的能力

教学过程注意观察学生是否置身于数学学习活动中，是否精神饱满、兴趣浓厚、探究积极，通过学生回答问题，学生举例，归纳总结等方面反馈学生对知识的理解、运用，教师根据反馈信息适时点拨，同时从新课标评价理念出发，鼓励学生发表自己的观点、给学生表达、交流思想的机会，充分质疑，并抓住学生在语言、思想等方面的的亮点给予表扬，树立自信心。

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