探究与发现 函数y=Asin（ωx+φ）及函数y=Acos（ωx+φ）的周期板书设计

正弦型函数y=Asin(ψx+φ）+B的图象变换教学设计

新洲一中 石萍

一,教学目标：

1.知识与技能目标：

通过探索、观察参数A、ψ、φ、B对函数图象的影响，并能概括出三角函数图象各种变换的实质和内在规律；会用图象变换画出函数y=Asin(ψx+φ)+B的图象。

2.过程与方法目标：

通过对探索过程的体验，培养学生的观察能力和探索问题的能力，数形结合的思想；领会从特殊到一般，从具体到抽象的思维方法，从而达到从感性认识到理性认识的飞跃。

3.情感、态度价值观目标：

通过学习过程培养学生探索与协作的精神，提高合作学习的意识。

二, 教学重点与教学难点

教学重点：考察参数ψ、φ、A、B对函数图象的影响，理解由y=sinx的图象到y=Asin(ψx+φ)的图象变化过程。这个内容是三角函数的基本知识进行综合和应用问题接轨的一个重要模型。学生学习了函数y=Asin(ψx+φ)+B的图象，为后面高中物理研究《单摆运动》、《简谐运动》、《机械波》等知识提供了数学模型。所以，该内容在教材中具有非常重要的意义，是连接理论知识和实际问题的一个桥梁。

教学难点：对y=Asin(ψx+φ)+B的图象的影响规律的发现与概括是本节课的难点。因为相对来说，、A、B对图象的影响较直观，ψ的变化引起图象伸缩变化，学生第一次对图象的影响”的接触这种图象变化，不会观察，造成认知的难点，在教学中，抓住“教学，使学生学会观察图象，经历研究方法，理解图象变化的实质，是克服这一难点的关键。

三,学情分析：

本节课在高一第二学段，学生进入高中学习已经三个月，对于高中常用的数学思想方法和研究问题的方法已经有初步的了解，并且逐步适应高中的学习方式和教师的教学方式，喜欢小组探究学习，喜欢独立思考，探究未知内容，学习欲望迫切。关于函数图象的变换，学生在学习第一模块时，接触过函数图象的平移，有“左加右减”，“上加下减”这样一些粗略的关于图象平移的认识，但对于本节内容学生要理解并掌握三个参数对函数图象的影响，还要研究三个参数对函数图象的综合影响，且方法不唯一，知识密度较大，理解掌握起来难度较大。

四,教学内容分析：

三角函数是基本初等函数之一，是中学数学的重要内容。本节为三角函数图象与性质的重要内容，是一节函数图象探究的重要范例，同样也是提高学生识图、画图、数形结合等能力的一次锻炼。本节内容是在学生已经理解振幅变换、相位变换和周期变换的基础上，通过作图、观察、分析、归纳等方法，形成规律，得出从函数y=Asin(ψx+φ)+B图象的变换规律。观察函数、、、的图象到正弦型函数、、+2图象间的关系，通过对比，探求有关性质以及图象的变换方法。鼓励学生大胆猜想，将直观问题抽象化，揭示本质，培养学生思维的深刻性。

利用计算机操作相关的课件，直观展示图象的变化，细致观察图象变化的数量，使学生学会观察。这就会使学生容易在学习的过程中把握图象变化的内在联系，进而理解本质的规律。首先对参数变化所引起的图象变化进行观察，获得参数对函数图象影响的大致感知，进而进行细致的量的变化的观察和分析，体现了对事物认识的螺旋式上升；从具体的函数出发，进而得出一般性的结论，体现了从特殊到一般，由感性到理性的过渡。

五,教学过程：整个教学过程是“以问题为载体，以学生活动为主线”进行的。

（一）创设情境：

1.动画演示：

《用沙摆演示简谐运动的图象》

2.根据你的知识，你能解决函数+2哪些方面的问题？

学生分析：可以求这个函数的最小正周期、单调区间以及“五点法”作图。

教师追问：作出它的图象还有其他的方法吗？

【设计意图】复习回顾，直接切入研究的课题。（板书课题：函数+B的图象）

问题1：函数学生思考，交流，正弦函数=0,B=0的特殊情况。

+B和我们熟知的正弦函数，有什么联系呢？

就是函数+B在A=1，ω=1，【设计意图】采用《用沙摆演示简谐运动的图象》引出函数y=Asin(ωx+φ)

+B的图象，体现该函数图象与生活实际的紧密联系,体现函数图象在物理学上的重要性，激发学生研究该函数图象的兴趣。引导学生思考y=Asin(ψx+φ)

+B与正弦函数的一般与特殊的关系，进而引导学生探讨正弦曲线与函数y=Asin(ψx+φ) +B的图象的关系。

（二）建构数学

自主探究：

自主探究：由正弦曲线如何变化得到函数①问题提出：三种变换能否任意排序？

②对于你们小组提出的变换方式，你要怎样解决你呢？

+2的图象？

【设计意图】观察函数解析式+2学生容易发现三个参数、、、B都发生了变化，自然恰当地提出本节的核心问题——三种变换能否任意排序呢？

问题2：由正弦函数猜想（1）猜想（2）

图象如何变换得到函数+的图象？

+2

+2

【设计意图】观察函数解析式+2，容易发现参数ψ、都发生了变化，根据已有的知识基础，自然恰当地提出本节的核心问题：两种变换能否任意排序，最后确定研究方向。

A、

自主实验，形成初步结论：小组合做，根据自己的兴趣在两种变换中选择一种进行研究：

问题3：按照第一种方法由函数按照第二种方法由函数的图象如何变换到的图像如何变换到函数的图象？

的图象？

学生投影回答，结合自己画的函数图像，说明变换方法。

①.把图象。

的图象上的所有的点__左___平移 ___个单位长度，得到的②.再把标不变），得到③.再把坐标不变）得到的图象上各点的_横__坐标_缩短__的图象。

的图象上所有点的_纵_坐标_伸长_的图象。

到原来的__倍（_纵_坐到原来的__3_倍（__横_

学生总结上述变换过程：相位变换

①.把度，得到②.再把

周期变换

振幅变换

平行移动个单位长的图象上的所有的点

向左

的图象。

或

向右

的图象上各点的_横_坐标__缩短_或_伸长_到原来的__倍（_纵_坐标不变），得到的图象。

③.再把_

的图象上所有点的_纵_坐标_伸长_为原来的_A_倍（_横_坐标不变）得到或_缩短的图象。

B、

深入探究，讨论分析：

首先取五个x，使ωx+ψ=0，π/2，3π/2，2π，这么取是因为这些ωx+ψ的sin值方便计算

相应地，x=-ψ/ω，(π/2-ψ)/ω，(π-ψ)/ω，(3π/2-ψ)/ω，(2π-ψ)/ω

相应地，y=B，A+B，B，-A+B，B 这样得到5个点：

(-ψ/ω，B)，((π/2-ψ)/ω，A+B)，((π-ψ)/ω，B)，((3π/2-ψ)/ω，-A+B)，((2π-ψ)/ω)，B) 如果A>0，前三个点用开口向下的光滑曲线连起来，后三个点用开口向上的光滑曲线连起来

如果A<0，前三个点用开口向上的光滑曲线连起来，后三个点用开口向下的光滑曲线连起来

有的时候ψ比较怪，导致图像偏离y轴比较远

这时可以在ωx+ψ上加上或减去几个2π，使解得的x不至于太大或太小

但是如果题目给定定义域时要小心，不要加到或减到定义域外了

有的时候ω比较大，这样图像看起来比较窄

这时可以把已有的图像向左或向右复制几遍，或者把横坐标调节得疏一点

有的时候A和B过大过小可能导致图像太高或太矮

这时要适当调节纵坐标

一般图像要向左向右延伸一些，表示定义域是全体实数，但是题目给定定义域就要框死了

举个很简单的例子，y=2sinx+1 令x=0，π/2，3π/2，2π

（一般不是直接令x，而是令ωx+ψ的，但是这里ωx+ψ就是x）

分别得y=1，3，1，-1，1 由于A>0，所以先开口向下，再开口向上

可以适当复制一两遍，或者向左向右延伸一些

向左转|向右转

（六）学习效果评价设计

1．在学生动手实践、观察、思考问题的过程中，关注学生发现问题、解决问题的能力；并在进一步的学习过程中，观察学生的类比学习能力；

2．在各组共同学习、解决问题的过程中，观察学生合作交流、学习的能力；

3．对不同方案的对比学习中，了解学生把握事物本质的能力；

4．通过课堂活动与交流，了解学生对知识的掌握程度，通过反馈，对易错、易混的知识点，做出启发性的指导；

5．通过课堂小结，学生说出自己的收获，与别人分享学习数学的体会，激发学习数学的积极性，建立自信心。