数轴表示根号13特级教师教学实录

勾股定理（第3课时）

一、内容和内容解析

1、内容

利用勾股定理，能在数轴上找到表示无理数的点

2、内容解析

在七年级上册的数学书中，同学们已经学过了怎样“用数轴上的点表示数”，当时只是利用数轴，使同学们加深对正数、负数的认识，从而利用“数轴”这个工具，从数形结合的观点出发，去研究相反数和绝对值。但是随着二次根式的学习以及勾股定理的引入，无理数的形象再一次出现在学生的面前，不由得会让人想起我们之前学过，任何一个有理数都可以用数轴上的点来表示，那么无理数呢？在数轴上怎么表示，在网格上又怎样表示，我们由此出发对这类问题的进行研究，体现了从特殊到一般的探究过程和研究方法。通过对勾股定理的应用，从而得到了在数轴上和网格中有理数的表示方法，这样以数示形，以形喻数的方法使数形结合的思想再一次得到了深化。

基于以上的分析，可以确定本节课的教学重点是：在数轴上寻找无理数的点。

二、目标和目标解析

1、目标

（1）会运用勾股定理确定数轴上表示实数的点及解决网格问题。

（2）灵活运用勾股定理进行计算，并会运用勾股定理解决相应的折叠问题. 2、目标解析

目标（1）要求学生利用对都勾股定理的认识组合出线段是无理数的边的表达形式，通过观察和合理的计算，理解数形结合的意义以及用勾股定理表示无理数的基本思路，通过勾股定理构造图形，解决网格当中对无理数的寻找及计算。

目标（2）要求学生能运用勾股定理进行计算，重点是在折叠问题中勾股定理的应用，打破学生对直角三角形三边一定是正整数边的认识，加深对数形结合的理解以及勾股定理的灵活运用。

三、教学问题诊断分析

无理数在数轴上的表示可以说是对于勾股定理的一种逆向应用，已知存在一个直角三角形和其中的一条边有几种组合形式，同学们在试数的过程当中会进行合理的猜想，部分学生有较大的困难。学生第一次尝试理由勾股数的组合形式来构造图形，解决的关键问题回到的对勾股定理的应用，所以教学中应尝试引导学生对勾股定理的理解，并适当的进行练习。然后思考在这样的背景下怎样将勾股定理同数轴同网格联系在一起，这有利于学生对数学模型的构建，以及对数与形关系的思考。

四、教学支持条件分析

借助《几何画板》软件动态的演示在数轴上无理数点的形成过程，使学生对这种表示方法有了一个初步的认识，在到第七届国际数学教育大会的会徽数学海螺形式的变化过程，启发学生考虑将这种数系表示方法的扩充延伸到生活中去。

五、教学过程设计

1、创设问题情境（3分钟）

引言

在初一上学期我们知道数轴上的点既可以表示有理数，也可以表示无理数，而任何一个有理数都可以用数轴上的点来表示，那么无理数呢？是否也可以用数轴上的点来表示呢？让我们一起进入今天的学习---利用勾股定理作图或计算。

师：请同学们齐读一下学习目标。

设计意图：利用已有的知识进行设疑，引起学生兴趣，齐读学习目标使学生明确学习任

务。

2、新课讲解（5分钟）

教师出示问题：你能在数轴上画出表示 13 的点吗？

教师指导学生寻找像长度为2，3，5，…这样的包含在直角三角形中的线段．

师：由于要在数轴上表示点到原点的距离为2，3，5，…，所以只需画出长为2，3，5，…的线段即可，我们不妨先来画出长为2，3，5，…的线段．

生：长为2的线段是直角边都为1的直角三角形的斜边，而长为5的线段是直角边为1和2的直角三角形的斜边．

师：长为13的线段能否是直角边为正整数的直角三角形的斜边呢？

生：设c＝13，两直角边长分别为a，b，根据勾股定理a2＋b2＝c2，即a2＋b2＝13.若a，b为正整数，则13必须分解为两个平方数的和，即13＝4＋9，a2＝4，b2＝9，则a＝2，b＝3，所以长为13的线段是直角边长分别为2，3的直角三角形的斜边．

师：下面就请同学们在数轴上画出表示13的点．

生：步骤如下：

1．在数轴上找到点A，使OA＝3. 2．作直线l垂直于OA，在l上取一点B，使AB＝2. 3．以原点O为圆心、以OB为半径作弧，弧与数轴交于点C，则点C即为表示13的点．

设计意图：快速建立直角三角形的边与无理数的联系，为生找准目标方向，使学生初步体会数形结合的思想。

教师出示问题：你能在数轴上画出表示17的点和15

的点吗？

教师巡视并作出适当的引导。

3、合作探究（10分钟）

师展示海螺的图片

师：数学中也有这样一幅美丽的“海螺型”图案，这就是第七届国际数学教育大会的会徽。并用直角三角形的组合方式表示出数学当中的‘海螺’。以及拓展了利用勾股定理可以做出像2、3、4...n这样的无理数。

设计意图：展示海螺的图案和第七届国际数学教育大会的会徽，将两者结合在一起充分体现了生活中的数学，和数学在生活中美的体现，提升了学生的感官认识，和对美的感悟，提升了学生对这节课的学习兴趣。

师出示问题：你能在数轴上表示出2的点吗？2呢?

设计意图：将之前在数周的正半轴的表示方式延伸到负半轴，充分体现了数系的扩充。

4、初步应用，巩固新知

1、已知:如图,等边△ABC的边长是 6 . (1)求高AD的长; (2)求S△ABC . 变式训练：已知:如图,等边△ABC的高AD是

3 . (1)求边长; (2)求S△ABC . 设计意图：通过变式题的出现让学生对勾股定理的逆向应用有了一定的认识，这对于以后学习勾股定理的逆定理大有助益。

5、拓展提升

（1）

如图，在2×2的方格中，小正方形的边长是1，点A、B、C 都在格点上，求AB边上的高。

ABDC

归纳：此类网格中求格点三角形的高的题，常用的方法是利用网格求面积，再用面积法求高. 设计意图：将在数轴上找无理数的方法应用到网格中，即复习了学生对于割补法的理解和应用也实现了勾股定理由特殊到一般的实际应用。

6、合作探究

如图为4×4的正方形网格,以格点与点A为端点,你能画出几条边

A长为

10的线段? 7、当堂训练

（1）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点BA、B都是格点，则线段AB的长度为（

）

A.5

B.6

C.7

D.25 设计意图：考察学生对网格中找无理数方法的理解并巩固应用。

（2）小明学了利用勾股定理在数轴上作一个无理数后，于是在数轴上的2个单位长度的位置找一个点D，然后点D做一条垂直于数轴的线段CD，CD为3个单位长度，以原点为圆心，以到点C的距离为半径作弧，交数轴于一点，则该点位置大致在数轴上（

）

A.2和3之间

B.3和4之间

C.4和5之间

D.5和6之间

设计意图：考察学生对在数轴上找无理数方法的理解并巩固应用。

（3）如图，网格中的小正方形边长均为1，△ABC的三个顶点均在格点上，则AB边上的高为_______. 设计意图：考察学生对网格中找无理数方法的理解并巩固应用。

（4）如图，折叠长方形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的F点处，若AB=8cm，BC=10cm，求EC的长.

（5）如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，将其沿MN折叠，使点B落在CD边上的B′处，点A的对应点为A′，且B′C＝3，求AM的长. 设计意图：考察学生对折叠问题的掌握，以及对勾股定理，本题属于综合类题目，有助于提升学生解题能力，和实际应用能力。

8、课堂小结

（1）对自己说我有哪些收获？

（2）对同学有哪些温馨提示？

（3）对老师说你还有哪些困惑？

设计意图：这样即复习了本节课的知识点，同时对同学们易错的地方再次纠正，起到了巩固新知的作用。

9、布置作业

教材53页练习题1、2 六、目标检测设计

1、飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩头顶正上方4800米处，过了10秒后，飞机距离这个男孩头顶5000米，飞机每小时飞行多少千米？

2、在平静的湖面上，有一棵水草，它高出水面3分米，一阵风吹来，水草被吹到一边，草尖齐至水面，已知水草移动的水平距离为6分米，问这里的水深是多少？

设计意图：使学生感受到生活中处处有数学，感受数学在生活中的意象美，加深对数学的学习兴趣和热情。

3、在数轴上作出表示17的点．

解：以17为长的边可看作两直角边分别为4和1的直角三角形的斜边，因此，在数轴上画出表示17的点，如下图：

师生行为：

由学生独立思考完成，教师巡视指导．

此活动中，教师应重点关注以下两个方面：

①学生能否积极主动地思考问题；

②能否找到斜边为17，另外两条直角边为整数的直角三角形．

教学反思：本节课的教学中，在培养逻辑推理的能力方面，做了认真的考虑和精心的设计，把推理证明作为学生观察、实验、探究得出结论的自然延续，注重数学与生活的联系，从学生的认知规律和接受水平出发，这些理念贯彻到课堂教学当中，很好地激发了学生学习数学的兴趣，培养了学生善于提出问题、敢于提出问题、解决问题的能力。