2.5.1矩形的性质优秀公开课教案

《矩形的性质》教案设计

一、教学目标：

1．掌握矩形的概念和性质，理解矩形与平行四边形的区别与联系．

2．会初步运用矩形的概念和性质来解决有关问题．

3．渗透运动联系、从量变到质变的观点．

二、重点、难点

1．重点：矩形的性质．

2．难点：矩形的性质的灵活应用．

3．难点的突破方法：

矩形是在平行四边形的前提下定义的．从定义出发，首先应该肯定，矩形是平行四边形，但它是特殊的平行四边形特殊之处就是有一个角是直角．因此在教学在我们采用运动方式探索矩形的概念及性质，如用多媒体或教具演示，从平行四边形到矩形的演变过程，得到矩形的概念，并理解矩形与平行四边形的关系．

通过教学还要使学生明确：（1）矩形是特殊的平行四边形，（2）矩形只比平行四边形多一个条件：“有一个角是直角”，不能用“四个角都是直角的行四边形是矩形”来定义矩形；（3）矩形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的一切性质（共性），还具有它自己特殊的性质（个性）．

从边、角、对角线方面（可继续演示教具），让学生观察或度量猜想矩形的特殊性质．

（1）边：对边与平行四边形性质相同，邻边互相垂直（与性质1等价）；

（2）角：四个角是直角（性质1）；

（3）对角钱：相等且互相平分（性质2）．

引导学生利用矩形与平行四边形的从属关系、矩形的概念以及全等三角形的知识，规范证明两条性质及推论．并指出：推论叙述了直角三角形中线段的倍分关系，是直角三角形很重要的一条性质，在求线段长或求线段倍分关系时，常用到这个结论．

矩形ABCD的两条对角线AC，BD把矩形分成四个等腰三角形，即△AOB，△BOC，△COD和△DOA．让学生证明后熟记这个结论，以便在复杂图形中尽快找到解题的思路．

三、例题的意图分析

例1是教材P104的例1，它是矩形性质的直接运用，它除了用以巩固所学的矩形性质外，对计算题的格式也起了一个示范作用．例2与例3都是补充的题目，其中通过例2的讲解是想让学生了解：（1）因为矩形四个角都是直角，

1

因此矩形中的计算经常要用到直角三角形的性质，而利用方程的思想，解决直角三角形中的计算，这是几何计算题中常用的方法；（2）“直角三角形斜边上的高”是一个基本图形，利用面积公式，可得到两直角边、斜边及斜边上的高的一个基本关系式．并能通过例2、例3的讲解使学生掌握解决有关矩形方面的一些计算题目与证明题的方法．

四、课堂引入

1．展示生活中一些平行四边形的实际应用图片（推拉门，活动衣架，篱笆、井架等），想一想：这里面应用了平行四边形的什么性质？

2．思考：拿一个活动的平行四边形教具，轻轻拉动一个点，观察不管怎么拉，它还是一个平行四边形吗？为什么？（动画演示拉动过程如图）

3．再次演示平行四边形的移动过程，当移动到一个角是直角时停止，让学生观察这是什么图形？（小学学过的长方形）引出本课题及矩形定义．

矩形定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形(通常也叫长方形)．

矩形是我们最常见的图形之一，例如书桌面、教科书的封面等都有矩形形象．

【探究】在一个平行四边形活动框架上，用两根橡皮筋分别套在相对的两个顶点上（作出对角线），拉动一对不相邻的顶点，改变平行四边形的形状．

①

随着∠α的变化，两条对角线的长度分别是怎样变化的？

②

当∠α是直角时，平行四边形变成矩形，此时它的其他内角是什么样的角？它的两条对角线的长度有什么关系？

操作，思考、交流、归纳后得到矩形的性质．

矩形性质1

矩形的四个角都是直角．

矩形性质2

矩形的对角线相等．

如图，在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，由性质2有AO=BO=CO=DO=1AC=1BD．因此可以得到直角三角形的一个性质：直角22三角形斜边上的中线等于斜边的一半．

2

五、例习题分析

例1

（教材P104例1）已知：如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOB=60°，AB=4cm，求矩形对角线的长．

分析：因为矩形是特殊的平行四边形，所以它具有对角线相等且互相平分的特殊性质，根据矩形的这个特性和已知，可得△OAB是等边三角形，因此对角线的长度可求．

解：∵

四边形ABCD是矩形，

∴

AC与BD相等且互相平分．

∴

OA=OB．

又

∠AOB=60°，

∴

△OAB是等边三角形．

∴

矩形的对角线长AC=BD = 2OA=2×4=8（cm）．

例2（补充）已知：如图

，矩形

ABCD，AB长8 cm ，对角线比AD边长4 cm．求AD的长及点A到BD的距离AE的长．

分析：（1）因为矩形四个角都是直角，因此矩形中的计算经常要用到直角三角形的性质，而此题利用方程的思想，解决直角三角形中的计算，这是几何计算题中常用的方法．

略解：设AD=xcm，则对角线长（x+4）cm，在Rt△ABD中，由勾股定理：x282(x4)2，解得x=6．

则

AD=6cm．

（2）“直角三角形斜边上的高”是一个基本图形，利用面积公式，可得到两直角边、斜边及斜边上的高的一个基本关系式：

AE×DB＝

AD×AB，解得

AE＝

4.8cm．

例3（补充）

已知：如图，矩形ABCD中，E是BC上一点，DF⊥AE于F，若AE=BC．

求证：CE＝EF．

分析：CE、EF分别是BC，AE等线段上的一部分，若AF＝BE，则问题解决，而证明AF＝BE，只要证明△ABE≌△DFA即可，在矩形中容易构造全等的直角三角形．

证明：∵

四边形ABCD是矩形，

∴

∠B=90°，且AD∥BC．

∴

∠1=∠2．

∵

DF⊥AE，

∴

∠AFD=90°．

∴

∠B=∠AFD．又

AD=AE，

∴

△ABE≌△DFA（AAS）．

3

∴

AF=BE．

∴

EF=EC．

此题还可以连接DE，证明△DEF≌△DEC，得到EF＝EC．

六、随堂练习

1．（填空）

（1）矩形的定义中有两个条件：一是

，二是

．

（2）已知矩形的一条对角线与一边的夹角为30°，则矩形两条对角线相交所得的四个角的度数分别为

、

、

、

．

（3）已知矩形的一条对角线长为10cm，两条对角线的一个交角为120°，则矩形的边长分别为

cm，

cm，

cm，

cm．

2．（选择）

（1）下列说法错误的是（

）．

（A）矩形的对角线互相平分

（B）矩形的对角线相等

（C）有一个角是直角的四边形是矩形

（D）有一个角是直角的平行四边形叫做矩形

（2）矩形的对角线把矩形分成的三角形中全等三角形一共有（

）．

（A）2对

（B）4对

（C）6对

（D）8对

3．已知：如图，O是矩形ABCD对角线的交点，AE平分∠BAD，∠AOD=120°，求∠AEO的度数．

七、课后练习

1．（选择）矩形的两条对角线的夹角为60°，对角线长为15cm，较短边的长为（

）．

(A)12cm

(B)10cm

(C)7.5cm

(D)5cm

2．在直角三角形ABC中，∠C=90°，AB=2AC，求∠A、∠B的度数．

3．已知：矩形ABCD中，BC=2AB，E是BC的中点，求证：EA⊥ED．

4．如图，矩形ABCD中，AB=2BC，且AB=AE，求证：∠CBE的度数．

《矩形》教学设计

4

数学系

王晓晶

E-mail：wangxj315@nenu.edu.cn

电话：13180805225

一、教材分析：

（一）

教材的地位和作用：

所用教材：九年义务教育三年制初中几何第二册§4.5 P147-148（两课时）

本课要研究的是矩形的概念及性质和判定，是在学生已经学过四边形、平行四边形的概念及性质和判定的基础上进行的，是这一章的重点内容之一。因为矩形是特殊的平行四边形，而后继课要学的正方形又是特殊的矩形，所以它既是前面所学知识的应用，又是后面学习正方形的基础，具有承上启下的作用。

另外，本节课的内容还渗透着转化、对比的数学思想，重在训练学生的逻辑思维能力和分析、归纳、总结的能力，因此，这节课无论在知识上，还是在对学生能力培养上都起着非常重要的作用。

（二）教学目标：

在学生已有的认知基础上，依据课程标准，结合本课在教材中的地位、作用，确定本节课的教学目标为：

1、知识目标：

（1）知道什么是矩形

（2）理解矩形与平行四边形的关系

（3）能说出矩形的性质及推论

（4）掌握矩形的判定方法

（5）能综合运用矩形的知识解决有关问题

2、能力目标：

（1）会运用矩形的性质及推论进行有关的论证和计算

（2）会运用矩形的判定定理解决有关问题

（2）会观察、会比较、会分析、会归纳

3、德育目标：初步具有把感性认识上升到理性认识的辩证唯物主义观点。

4、情感目标：养成有良好的学习习惯，有浓厚的学习兴趣。

（三）、教学重点、难点、关键及依据：

重点：矩形的概念、性质和判定定理

难点：矩形与平行四边形的关系

关键：加强概念教学是突破难点的关键

依据：本课在教材中的地位和作用及教学目标和学生的实际情况。

二、教学方法和手段：

（一）教学方法：根据本课的内容和初二学生的特点以及目标教学的要求，采用边启发、边分析、边推理，层层设疑，讲练结合的要求。通过演示平行四边形模型，激发学生的学习兴趣。教学时力求做到“三让”，即能让学生想的尽量让学生想，能让学生做的尽量让学生做，能让学生说的尽量说，使教师为主导，学生为主体，得到充分体现。学生通过“想、做、说”的一系列活动，在掌握知识的同时，使其动脑、动手、动口，积极思维，进行“探究式学习”使能力得到锻炼。

（二）教学手段：为提高课堂效率和质量，借助于多媒体信息技术进行教学。

（三）教具：三角板，平行四边形模型，多媒体教学设备。

三、教材处理：

（一）学生状况分析：

5

1、知识方面：学生已掌握了四边形及平行四边形的概念、性质等知识。

2、方法方面：学生已积累了学习特殊四边形性质的方法，即按“角、边、对角线”的思路进行学习。

3、思维方面：学生的思维还依赖于具体、形象、易模仿的特点，因此逻辑思维能力需要加强。

4、对策：

（1）注意问题情境的教学。

（2）使用启发诱导的方法。

（3）贯彻循序渐进的原则。

（二）教材处理：基本按照教材的意图讲授，适当补充练习

四、教学过程及设计：

第一课时

（一）用运动方式探索矩形的概念及性质

1．复***行四边形的有关概念及边、角、对角线方面的性质．

2．复***行四边形和四边形的关系．

3．用教具演示如图4-29中，从平行四边形到矩形的演变过程，得到矩形的概念，并理解矩形与平行四边形的关系．

分析：

（1）矩形的形成过程是平行四边形的一个角由量变到质变的变化过程．

（2）矩形只比平行四边形多一个条件：“有一个角是直角”，不能用“四个角都是直角的平行四边形是矩形”来定义矩形．

（3）矩形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的一切性质（共性），还具有它自己特殊的性质（个性）．

（4）从边、角、对角线方面，让学生观察或度量猜想矩形的特殊性质．

①边：对边与平行四边形性质相同，邻边互相垂直（与性质定理1等价）．

②角：四个角是直角（性质定理 1）．

③对角钱：相等且互相平分（性质定理2）．

4．证明矩形的两条性质定理及推论．

引导学生利用矩形与平行四边形的从属关系、矩形的概念以及全等三角形的知识，规范证明两条性质定理及推论．指出：推论叙述了直角三角形中线段的倍分关系，是直角三角形很重要的一条性质． （二）应用举例

例1已知：如图 4-30，矩形 ABCD，AB长8 cm ，对角线比 AD边长4 cm．求 AD的长及A到BD的距离AE的长．

分析：

（1）矩形四个角都是直角，因此矩形中的计算经常要用到直角三角形的性质，在此可以让学生作一个系统的复习，在直角三角形中，

斜边大于直角边

边： 勾股定理

6

斜边中线等于斜边的一半

角：两锐角互余. 边角关系：30°角所对的直角边等于斜边的一半。

（2）利用方程的思想，解决直角三角形中的计算。设AD=xcm, 则对角线长（x+4）cm, 由题意，x2+82=(x+4)2.解得x=6. （3）“直角三角形斜边上的高”是一个基本图形，利用面积公式，可得到两直角边、斜边及

斜边上的高的一个基本关系式： AE×DB＝ AD×AB，解得 AE＝ 4.8cm．

例 2如图 4－31（a），在矩形 ABCD中，两条对角线交于点

O,∠AOD＝

120°， AB＝ 4．求：（1）矩形对角线长；（2）BC边的长; （3）若过O垂直于BD的直线交AD于E，交BC于F（图4-31（b））．求证： EF＝BF， OF=CF；（4）如图4-31（c），若将矩形沿直线MN折叠，使顶点 B与D重合，M，N交AD于M，交BC于N．求折痕MN长．

分析：

（1）矩形ABCD的两条对角线AC，BD把矩形分成四个等腰三角形，即△AOB，△BOC，△COD和△DOA．让学生证明后熟记这个结论，以便在复杂图形中尽快找到解题的思路．

（2）由已知∠AOD＝ 120°及矩形的性质分解出基本图形“含30°角的直角三角形”，经过计算可解决（2），（3）题．

（3）第（4）题是用“折叠”方式叙述已知，利用轴对称的知识可以得到：折痕MN应为对角线BD的垂直平分钱，即为第（3）题中的EF.根据第（3）题结论：

MN＝BC＝2883

答：（1）对角线BD=8；（2） BC＝43；（3）MN＝3

2NC=BC=333例3已知：如图4-32（a），E是矩形ABCD边CB延长线上一点， CE＝ CA， F为AE中点．求证：BF⊥FD．

证法一：

7

如图4－32（a），由已知“CE=CA，F为AE中点”，联想到“等腰三角形三合一”的性质. 连结FC，证明∠1+∠2=90，问题转化为证明∠1=∠+3，这可通过△AFD≌△BFC（SAS）来实现. 证法二：

如图4-32（b），由求证“BF⊥FD”联想“等腰三角形三线合一”，构造以DF为底边上高的等腰三角形，分别延长BF，DA交于G，连结BD，转化为证明△BDG为等腰三角形以及F为GB中点，这可通过△AGF≌△EBF（ASA）及GD=EC=AC=BD来实现。

（三）师生共同小结

1、矩形与平行四边形的关系，如图4-33.指出由平行四边形得到矩形，只需要增加一个条件：一个角是直角.

2、矩形的概念及性质。

3、矩形中常利用直角三角形的性质进行计算和证明。

（四）作业

课本第149页2，4题，第160页第2，5题。

补充题：

1.如图4-34，E为矩形ABCD对角线AC上一点，DE⊥AC于E，∠ADE: ∠EDC=2:3,求：∠BDE的度数.(答：18°)

2.如图4-35，折叠矩形ABCD纸片，先折出折痕BD，再折叠使A落在对角线BD上A′位置上，折痕为DG。AB=2，BC=1。求：AG的长。（答5-12）

第二课时

（一）复习

1、复***行四边形及四边形的从属关系

8

2、复习矩形的定义，并指出由平行四边形得到矩形需添加一个独立条件，思考：由四边形得到矩形需要添加几个独立条件？

3、复习矩形的性质，并指出性质定理1可改为“矩形中三个角是直角”这样三个独立条件．

4、在复习提问的同时，逐步完成下图：

5、逆向探索矩形的判定方法．

（1）猜想矩形性质的逆命题成立。

①有三个角是直角的四边形是矩形；②对角线相等的平行四边形是矩形．

（2）证明猜想，得到两个判定定理．

（3）由矩形和平行四边形及四边形的从属关系将矩形的判定方法分为两类：

①从四边形出发增加三个特定的独立条件；

②从平行四边形出发增加一个特定的独立条件．

（二）应用举例

例1 下列各句判定矩形的说法是否正确？为什么？

（1）对角线相等的四边形是矩形；（

×）

（2）对角线互相平分且相等的四边形是矩形；（√）

（3）有一个角是直角的四边形是矩形；（×）

（4）有四个角是直角的四边形是矩形；（√）

（5）四个角都相等的四边形是矩形S；（√）

（6）对角线相等，且有一个角是直角的四边形是矩形；（×）

（7）一组邻边垂直，一组对边平行且相等的四边形是矩形；（√）

（8）对角线相等且互相垂直的四边形是矩形．（×）

说明：

（l）所给四边形添加的条件不满足三个的肯定不是矩形；

（2）所给四边形添加的条件是三个独立条件，但若与定理不同，则需要利用定义和判定定理证明或举反例，才能下结论．

例2已知ABCD的对角线AC和BD相交于点O，△AOB是等边三角形，AB＝ 4 cm．

求这个平行四边形的面积．

分析：首先根据△AOB是等边三角形及平行四边形对角线互相平分的性质判定出ABCD是矩形（如图个4-37），再利用勾股定理计算边长，从而得到面积为

163cm

2

9

例3 已知：如图4-38在ABCD中，M为BC中点，∠MAD=∠MDA.求证：四边形 ABCD是矩形．

分析：根据定义去证明一个角是直角，由△ABM≌DCM(SSS)即可实现。

例4 已知：如图4-39（a），ABCD的四个内角平分线相交于点E，F，G，H．求证：EG＝FH．

分析：要证的EG，FH为四边形EFGH的对角线，因此只需证明四边形EFGH为矩形，而题目可分解出基本图形：如图4-39（b），因此，可选用“三个角是直角的四边形是矩形”来证明．

练习

已知：如图 4－40，在△ABC中，∠C＝ 90°， CD为中线，延长CD到点E，使得 DE＝CD．连结AE，BE，则四边形ACBE为矩形．

（三）师生共同小结

矩形的判定方法分两类：从四边形来判定和从平行四边形来判定．

常用的判定方法有三种：定义和两个判定定理．遇到具体题目，可根据条

件灵活选用恰当的方法．

（四）作业

课本第160页第3 4题，第192页第8题．

五、板书设计意图

整个板面分三部分：

左边上部展示‘平行四边形’在一定条件下转化‘矩形’的直观模型；下部书写定义、定理、推论，使本课知识清晰、完整地展现在学生面前，一目了然。

中间部分：留给学生板演，充分发挥学生的主体作用

右边部分：教师板演例题，力求证题格式严谨，培

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