1.3 直角三角形全等的判定优秀教学设计

1．3

直角三角形全等的判定

1．熟练掌握“斜边、直角边定理”，以及熟练地利用这个定理和判定一般三角形全等的方法判定两个直角三角形全等；(重点) 2．熟练使用“分析综合法”探求解题思路．(难点)

一、情境导入

前面我们学习了判定两个三角形全等的四种方法——SAS、ASA、AAS、SSS.当然这些方法也适用于判定两个直角三角形全等，那么直角三角形的全等的判定还有其他的方法吗？

二、合作探究

探究点一：运用“HL”判定直角三角形全等

如图所示，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD交CE于点F，AD＝EC.求证：FA＝FC. 探究点二：直角三角形判定方法的灵活应用

【类型一】

解决线段相等问题

已知如图AC⊥BC，AD⊥BD，AD＝BC，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别为E、F.求证：CE＝DF.

解析：根据已知条件证明现有的Rt△ABC与Rt△BAD全等，得出线段和角相等，再证Rt△ACE和Rt△BDF全等，从而解决问题．

证明：∵AC⊥BC，BD⊥AD，∴∠ACB＝∠ADB＝90°，在Rt△ABC和Rt△BADAB＝BA，中，∴Rt△ABC≌Rt△BAD(HL)，BC＝AD，∴AC＝BD，∠CAB＝∠DBA，∵CE⊥AB，DF⊥AB，∴∠CEA＝∠DFB＝90°，在△CAE和△DBF中，∠CEA＝∠DFB＝90°，∠CAE＝∠DBF，∴△CAE≌△AC＝BD，DBF(AAS)，∴CE＝DF. 方法总结：一般三角形全等的判定方法仍然适用于直角三角形，因此判定直角三角形全等的方法有五种，不要只限于“HL”．

【类型二】

灵活选用判定方法解决线段和差问题

已知，如图所示，AB＝AC，∠BAC＝90°，AE是过A点的一条直线，且B、C在DE的异侧，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，求证：BD＝DE＋CE.

解析：要利用“等角对等边”证明FA＝FC，需先证∠FAC＝∠FCA，此结论可由三角形全等得到．

证明：∵AD⊥BC，CE⊥AB，∴∠AEC＝∠ADC＝90°.∴在Rt△AEC和Rt△CDAEC＝AD，中∴Rt△AEC≌Rt△CDA(HL)，CA＝AC，∴∠FAC＝∠FCA，∴FA＝FC. 方法总结：在运用HL判定两个直角三角形全等时，要紧紧抓住直角边和斜边这两个要点．

使用“HL”定理时，必须先得出两个直角三角形，然后证明斜边和一直角边对应相等．这在课堂教学中要反复强调，这是与前面四种方法的区别，是学生很容易犯的错误，同时学生利用尺规作直角三角形还不熟练，要注重培养他们的动手操作能力. 解析：先证△ABD≌△ACE，再根据等量代换得出结论．

证明：∵BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，∴∠ADB＝∠AEC＝90°，又∵∠BAC＝90°，∴∠ABD＋∠BAD＝∠CAE＋∠BAD，∴∠ABD＝∠CAE，又∵AB＝CA，∴△ABD≌△CAE，∴BD＝AE，AD＝CE，∵AE＝AD＋DE，∴BD＝CE＋DE. 方法总结：当看到题目中要证线段和差关系时，而且这三边分别在两个全等三角形中时，可先判定两三角形全等，再证明线段关系．在证明全等时可灵活选用判定方法．

探究点三：利用尺规作直角三角形

已知：线段a，如图．

3求作：Rt△ABC，使BC＝a，AB＝a，2∠C＝90°. 解析：已知直角三角形的斜边和一条直角边，先考虑作出直角，然后截取直角边，再作出斜边即可．

解：作法：如图所示，(1)作l2⊥l1于点C；

(2)在l1上截取CB＝a；

3(3)以点B为圆心，以a的长为半径画2弧，交l2于点A；

(4)连接AB，Rt△ABC即为所求．

方法总结：尺规作图时，应养成先画草图的习惯，再根据草图分析作图的先后顺序．

三、板书设计

1．斜边、直角边定理

斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等(简称“HL”) 2．直角三角形判定方法的灵活应用