1.2 直角三角形的性质和判定（Ⅱ）教学实录与评析

1．2

直角三角形的性质和判定(Ⅱ) 第1课时

勾股定理

教学目标

1、使学生掌握勾股定理，培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力. 2．了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理. 3．介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就，激发学生的爱国热情，促其勤奋学习. 教学重点：勾股定理的内容及证明. 教学难点：勾股定理的证明. 教学过程

一、创设情境，导入新课

如图所示的图形像一棵枝叶茂盛、姿态优美的树，这就是著名的毕达哥拉斯树，它由若干个图形组成，而每个图形的基本元素是三个正方形和一个直角三角形．各组图形大小不一，但形状一致，结构奇巧．你能说说其中的奥秘吗？

二、合作交流，探究新知

1、做一做

(1)、如图、以这个直角三角形的三边为边作三个正方形，探究这三个正方形的面积之间有什么关系. 正方形

面积

思考：

问题1：这三个正方形的面积分别

为多少？你是怎么求的？

问题2：这三个正方形的面积之间满足一个

什么等式？

问题3：正方形的面积等于边长的平方，那么它们的面积用边长代入得到一个什么等式？

问题4：在直角三角形中，我们把较短的直角边叫勾，较长的直角边叫股，斜边叫弦，那么勾股弦之间满足一个什么等式？

P 9 Q 6 R 25

P R Q

(2)、再画一个两直角边为5和12的直角△ABC，用刻度尺量AB的长.这个三角形的三边也满足勾2+股2=弦2吗？

2、议一议

对于任意的直角三角形也有这个性质吗？

3、猜一猜

直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方.即在△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边为a、b、c，有

a2＋b2=c2

【过渡语】

猜想的结论是否正确须经过严格论证.证明该结论很难，许多数学家经过艰辛的努力，已想出很多种巧妙的证法，下面让大家体验一下其中的一种证法：我国三国时期的数学家赵爽创造的一种证法. 4、探一探(小组活动) ⑴、请同学们拿出准备好的4个全等的直角三角形模型，最好是有颜色的卡纸，三边分别标好a，b，c，拼出一个边长为c的正方形，利用面积相等进行证明(赵爽弦图，如图).

【小组合作探究】，思考：

问题1：你拼的四边形是正方形吗？为什么？

问题2：图中分别有几个正方形？几个直角三角形？

问题3：大正方形由哪几个图形构成？

问题4：它们的面积之间满足什么样的关系？

问题5：分别怎么来表示它们的面积？

⑵、证明：如图(赵爽弦图)所示，其等量关系为：

4S△+S小正=S大正即

4×ab＋(b－a)2=c2，

5、归纳总结

勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.即在△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边为a、b、c，有

a2＋b2=c2. AbcaDCB

我国称这个结论为“勾股定理”，西方称它为“毕达哥拉斯定理”

问题1：勾股定理对所有的三角形都适用吗？为什么？

问题2：勾股定理的条件是什么？结论是什么？

结论：勾股定理揭示了在直角三角形中已知任意二边可以求第三边. 三、运用新知，深化理解

1、例题分析：

如课本第11页图1-15，在等腰三角形ABC中，已知AB=AC=13cm，BC=10cm，AD⊥BC于点D，你能算出BC边上的高AD的长吗？

方法小结：利用勾股定理建立方程. 2、已知树高6米，在树梢上有一猫头鹰，猫头鹰从树梢斜飞落地抓老鼠，落点与树根相距8米，那么猫头鹰至少飞过多少米？

3、在△ABC中，AB＝15，AC＝13，BC边上的高AD＝12，试求△ABC的周长．

【分析】本题应分△ABC为锐角三角形和钝角三角形两种情况进行讨论．

解：此题应分两种情况：

图①

图②

(1)当△ABC为锐角三角形时，如图①所示，在Rt△ABD中，BD＝AB－AD＝15－122222＝9，在Rt△ACD中，CD＝AC－AD＝13－12＝5，∴BC＝5＋9＝14，∴△ABC的周长为15＋13＋14＝42；

2222222(2)当△ABC为钝角三角形时，如图②所示，在Rt△ABD中，BD＝AB－AD＝15－122222＝9，在Rt△ACD中，CD＝AC－AD＝13－12＝5，∴BC＝9－5＝4，∴△ABC的周长为：15＋13＋4＝32，∴△ABC的周长为32或42. 【方法总结】解题时要考虑全面，对于存在的可能情况，可作出相应的图形，判断是否符合题意．

四、课堂练习，巩固提高

教材P11练习．

五、反思小结，梳理新知

1．勾股定理．

222如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a＋b＝c. 2．勾股定理的应用．

3．勾股定理与图形的面积．

六、布置作业

教材P16习题1.2第1，4，7题．

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