习题主要内容及教案内容

(复习)圆周运动解题技巧：水平及临界问题

预习：

1.圆周运动是

；匀速圆周运动

。

2．匀速圆周运动的线速度大小

。方向

。

3．匀速圆周运动的角速度：

。匀速圆周运动是角速度：

。

4．线速度、角速度、周期的关系为：

。

学习：

一、匀速圆周运动

1．圆周运动：物体的运动轨迹是圆的运动。

2．匀速圆周运动：在相等时间内通过的圆弧长度相等的圆周运动。

二、描述圆周运动的物理量

1．线速度

(1)定义：质点做圆周运动通过的弧长与所用时间的比值。

(2)大小：v＝Δs，单位：m/s。

Δt(3)方向：质点在圆周上某点的线速度方向是沿圆周上该点的切线方向。

(4)物理意义：描述质点沿圆周运动的快慢。

2．角速度

(1)定义：连接质点和圆心的半径所转过的角度Δφ跟所用时间Δt的比值。

(2)大小：ω＝Δφ，单位：弧度每秒，符号rad/s。

Δt(3)物理意义：描述质点绕圆心转动的快慢。

(4)匀速圆周运动是角速度不变的圆周运动。

3．周期和转速

(1)周期：做匀速圆周运动的物体运动一周所用的时间，用符号T表示，单位为秒。

(2)转速：做圆周运动的物体在单位时间内所转过的圈数。用n表示，单位为转每秒(r/s)，或转每分(r/min)。

三、线速度、角速度和周期之间的关系

2πr1．线速度与周期的关系：v＝T。

2π2．角速度与周期的关系：ω＝T。

3．线速度与角速度的关系：v＝ωr。

4．角速度与转速的关系：ω＝2πn。

例1、如图所示，在水平面内，圆环以直径AB为轴匀速转动。已知其半径为0.5 m，周期为4 s，求环上P点和Q点的角速度和线速度。

[思路点拨]

整个圆环以AB为轴匀速转动，环上各点的角速度相同。

2π[解析]

P点和Q点的角速度ω＝T＝1.57 rad/s 求线速度则需要找出P点和Q点做圆周运动的半径。

P点和Q点绕AB做圆周运动，其轨迹的圆心不同。P点和Q点的圆周运动的半径分别为

13rP＝R·sin30°＝R，rQ＝R·sin60°＝R

22故其线速度分别为vP＝ωrP＝0.39 m/s，

vQ＝ωrQ＝0.68 m/s。

[答案]

P点和Q点的角速度都为1.57 rad/s，P点的线速度为0.39 m/s，Q点的线速度为0.68 m/s。

提示;解决此类题目首先要确定质点做圆周运动的轨迹所在的平面，以及圆周运动圆心的位置，从而确定半径，然后由v、ω的定义式及v、ω、R的关系式来计算。

例2、如图所示，小球A在半径为R的光滑圆形槽内做匀速圆周运动，当它运动到图中的a点时，在圆形槽中心O点正上方h处，有一小球B沿Oa方向以某一初速度水平抛出，结果恰好在a点与A球相碰，求：

(1)B球抛出时的水平速度多大？

(2)A球运动的线速度最小值为多大？

[思路点拨]

(1)从小球A运动到a点开始计时，到在a点恰好与小球B相碰，两球运动时间相等。

(2)在小球B平抛到a点的时间内，小球A可能运动多个周期。

[解析]

(1)小球B做平抛运动，其在水平方向上做匀速直线运动，设小球B的水平速度为v0，

则R＝v0t①

在竖直方向上做自由落体运动，则

1h＝gt2②

2R由①②得v0＝＝Rtg。

2h(2)A球的线速度取最小值时，A球刚好转过一圈，B球落到a点与A球相碰，则A球做圆周运动的周期正好等于B球的飞行时间，即T＝[答案]

(1)Rg

(2)2πR2hg

2h2h2πR，所以vA＝gT＝2πRg。

2h匀速圆周运动的多解问题处理方法

1．分析多解原因

匀速圆周运动具有周期性，使得前一个周期中发生的事件在后一个周期中同样可能发生，这就要求我们在确定做匀速圆周运动物体的运动时间时，必须把各种可能都考虑进去。

2．确定处理方法

(1)抓住联系点：明确两个物体参与运动的性质和求解的问题，两个物体参与的两个运动虽然独立进行，但一定有联系点，其联系点一般是时间或位移等，抓住两运动的联系点是解题关键。

(2)先特殊后一般：分析问题时可暂时不考虑周期性，表示出一个周期的情况，再根据运动的周期性，在转过的角度θ上再加上2nπ，具体n的取值应视情况而定。

例3、如图所示是一种粒子测速器，圆柱形容器半径为R，器壁有一槽口A，沿直径方向与A正对的位置是B，P是喷射高速粒子流的喷口，其喷射方向沿着直径，使容器以角速度ω旋转，则喷射流可以从A槽口进入容器，最后落在B′上，测得BB′的弧长为x，求喷射流的速度。

解析：对粒子流有2R＝v0t

x2kπ＋(k＝0,1,2，…) 对容器有ωt＝(2kπ＋φ)＝R2R2ω故联立可得v0＝(k＝0,1,2，…) 2kRπ＋x2R2ω答案：(k＝0,1,2，…) 2kRπ＋x例4、如图所示，一绳系一小球在光滑的桌面上做匀速圆周运动，绳长L＝0.1 m，当角速度为ω＝20 rad/s时，绳断开，试分析绳断开后：

(1)小球在桌面上运动的速度；

(2)若桌子高1.00 m，小球离开桌面时速度方向与桌子边缘垂直。求小球离开桌子后运动的时间和落点与桌子边缘的水平距离。

解析：(1)v＝ωr＝20×0.1 m/s＝2 m/s。

(2)小球离开桌面后做平抛运动，

1竖直方向：h＝gt2，

2所以：t＝2hg＝

2×1

s＝0.45 s，

10水平方向：x＝vt＝2×0.45 m＝0.9 m。

答案：(1)2 m/s

(2)0.45 s

0.9 m 例5、如图2-2-9所示，水平转盘上放有质量为m的物块，当物块到转轴的距离为r时，连接物块和转轴的绳刚好被拉直(绳中张力为零)。已知物块与转盘间最大静摩擦力是其重力的k倍，当绳中张力达到8kmg时，绳子将被拉断。求：

(1)转盘的角速度为ω1＝

(2)转盘的角速度为ω2＝

kg时，绳中的张力T1；

2r3kg时，绳中的张力T2；

2r(3)要将绳拉断，转盘的最小转速ωmin。

[思路点拨]

(1)当转速较小时，

由静摩擦力提供物块做圆周运动的向心力。

(2)当转速较大时，由最大静摩擦力和绳上的拉力共同提供物块做圆周运动的向心力。

[解析]

设角速度为ω0时绳刚好被拉直且绳中张力为零，则由题意有：kmg＝mω02r

解得：ω0＝

kg。

rkg时，因为ω1<ω0，物块所受静摩擦力足以提供物块随2r(1)当转盘的角速度为ω1＝

转盘做圆周运动所需向心力，绳子张力为零，即：T1＝0。

(2)当转盘的角速度为ω2＝

3kg时，因为ω2>ω0，物块所受最大静摩擦力不足以提供2r物块随转盘做圆周运动所需向心力，则绳子有张力。

则有：kmg＋T2＝mω22r

1解得：T2＝kmg。

2(3)要将绳拉断，静摩擦力和绳子的张力都要达到最大值，则有：

kmg＋8kmg＝mωmin2r

解得：ωmin＝3kg。

rkg

r1[答案]

(1)0

(2)kmg

(3)32例6、如图7所示，倒置的光滑圆锥面内侧，有质量相同的两个小玻璃球A、B，沿锥面在水平面内做匀速圆周运动，关于A、B两球的角速度、线速度和向心加速度正确的说法是(

) A．它们的角速度相等ωA＝ωB

B．它们的线速度vA

C．它们的向心加速度相等

D．A球的向心加速度大于B球的向心加速度

解析：选C

对A、B两球分别受力分析，如图所示。

由图可知

F合＝F合′＝mgtan θ

根据向心力公式有

v2mgtan θ＝ma＝mωR＝m

R2解得

a＝gtan θ

v＝gRtan θ

ω＝

gtan θR

由于A球转动半径较大，故A球的线速度较大，角速度较小；两球的向心加速度一样大，故选C。

课后练习：

1．如图所示，一个匀速转动的半径为r的水平圆盘上放着两个小1木块M和N，木块M放在圆盘的边缘处，木块N放在离圆心r的地3方，它们都随圆盘一起运动．比较两木块的线速度和角速度，下列说法中正确的是

(

) A．两木块的线速度相等

B．两木块的角速度相等

C．M的线速度是N的线速度的两倍

D．M的角速度是N的角速度的两倍

2．在世界一级方程式锦标赛中，赛车在水平路面上转弯时，常常在弯道上冲出跑道，则以下说法正确的是

(

) A．是由于赛车行驶到弯道时，运动员未能及时转动方向盘才造成赛车冲出跑道的

B．是由于赛车行驶到弯道时，运动员没有及时加速才造成赛车冲出跑道的

C．是由于赛车行驶到弯道时，运动员没有及时减速才造成赛车冲出跑道的

D．由公式F＝mω2r可知，弯道半径越大，越容易冲出跑道

3．在高速公路的拐弯处，通常路面都是外高内低．如图所示，在某路段汽车向左拐弯，司机左侧的路面比右侧的路面低一些．汽车的运动可看作是做半径为R的圆周运动．设内外路面高度差为h，路基的水平宽度为d，路面的宽度为L.已知重力加速度为g.要使车轮与路面之间的横向摩擦力(即垂直于前进方向)等于零，则汽车转弯时的车速应等于

(

)

gRhgRhgRLgRd

A.

B.

C.

D.

Ldhh

4．如图所示，OO′为竖直轴，MN为固定在OO′上的水平光滑杆，有两个质量相同的金属球A、B套在水平杆上，AC和BC为抗拉能力相同的两根细线，C端固定在转轴OO′上．当绳拉直时，A、B两球转动半径之比恒为，当转轴的角速度逐渐增大时 (

) A．AC先断

B．BC先断

C．两线同时断

D．不能确定哪段线先断

5．用一根细绳，一端系住一个质量为m的小球，另一端悬在光滑水平桌面上方h处，绳长l大于h，使小球在桌面上做如图所示的匀速圆周运动．若使小球不离开桌面，其转轴的转速最大值是

(

)

1gA.

B．π gh

2πh1glC.

D．2π

2πlg

6．如图所示，天车下吊着两个质量都是m的工件A和B，系A的吊绳较短，系B的吊绳较长．若天车运动到P处突然停止，则两吊绳所受的拉力FA和FB的大小关系是

(

) A．FA>FB

B．FA

C．FA＝FB＝mg

D．FA＝FB>mg

7．有一种杂技表演叫“飞车走壁”，由杂技演员驾驶摩托车沿光滑圆台形表演台的侧壁高速行驶，做匀速圆周运动．如图所示，图中粗线圆表示摩托车的行驶轨迹，轨迹离地面的高度为h.下列说法中正确的是

(

) A．h越高，摩托车做圆周运动的周期将越大

B．h越高，摩托车做圆周运动的向心力将越大

C．h越高，摩托车对侧壁的压力将越大

D．h越高，摩托车做圆周运动的线速度将越大

8．甲、乙两名溜冰运动员，面对面拉着弹簧测力计做圆周运动的溜冰表演，如图所示．已知m甲＝80kg，m乙＝40kg，两人相距0.9m，弹簧测力计的示数为96N，下列判断中正确的是

(

)

A．两人的线速度相同，约为40m/s B．两人的角速度相同，为2rad/s C．两人的运动半径相同，都是0.45m D．两人的运动半径不同，甲为0.3m，乙为0.6m

9．如图所示，质量不计的轻质弹性杆P插入桌面上的小孔中，杆的

另一端套有一个质量为m的小球，今使小球在水平面内做半径为R的匀速圆周运动，且角速度为ω，则杆的上端受到球对其作用力的大小为(

) A．mω2R

B．mg2－ω4R2

C．mg2＋ω4R2 D．不能确定

10．测定气体分子速率的部分装置如图所示，放在高真空容器中，A、B是两个圆盘，绕一根共同轴以相同的转速n＝25r/s匀速转动．两盘相距L＝20cm，盘上各开一很窄的细缝，两盘细缝之间成6°的夹角，已知气体分子恰能垂直通过两个圆盘的细缝，求气体分子的最大速率．

11．如图所示，一个竖直放置的圆锥筒可绕其中心轴OO′转动，筒内壁粗糙，筒口半径和筒高分别为R和H，筒内壁A点的高度为筒高的一半，内壁上有一质量为m的小物块．求：(1)当筒不转动时，物块静止在筒壁A点受到的摩擦力和支持力的大小；(2) 当物块在A点随筒做匀速转动，且其所受到的摩擦力为零时，筒转动的角速度．

1、B。2、C。3、B。4、A。5、A。6、A。7、AD。8、BD。9、C。