复习参考题教案设计范例

高考中的三角函数与平面向量问题

【考点自测】

π1．(2016·全国Ⅱ)若将函数y＝2sin 2x的图象向左平移个单位长度，则平移后图象的对称12轴为(

) kππA．x＝－(k∈Z)

26kππC．x＝－(k∈Z)

212答案

B π解析

由题意将函数y＝2sin 2x的图象向左平移个单位长度后得到函数的解析式为y＝12πππkππ2x＋，由2x＋＝kπ＋(k∈Z)得函数的对称轴为x＝＋(k∈Z)，故选B. 2sin66226π12．(2016·全国Ⅲ)在△ABC中，B＝，BC边上的高等于BC，则cos A等于(

) 433101010310A.

B.

C．－

D．－

10101010答案

C π12解析

设BC边上的高AD交BC于点D，由题意B＝，可知BD＝BC，DC＝BC，tan∠BAD4331＋210＝1，tan∠CAD＝2，tan A＝tan(∠BAD＋∠CAD)＝＝－3，所以cos A＝－. 101－1×2PA2＋PB23．在直角三角形ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则等PC2于(

) A．2

B．4

C．5

D．10 答案

D 解析

将△ABC的各边均赋予向量，

→→→→→→PA2＋PB2PA2＋PB2PC＋CA2＋PC＋CB2则＝＝

PC2→→2PC2PC→→→→→→2→22PC2＋2PC·CA＋2PC·CB＋CA＋CB＝

→2PC→→→→→2|PC|2＋2PC·CA＋CB＋|AB|2＝

→2|PC|kππB．x＝＋(k∈Z) 26kππD．x＝＋(k∈Z) 212

→→→→2|PC|2－8|PC|2＋|AB|2|AB|2＝＝－6 →2→2|PC||PC|＝42－6＝10. 454．(2016·全国Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos A＝，cos C＝，513a＝1，则b＝________. 答案

21

1345312解析

在△ABC中，由cos A＝，cos C＝，可得sin A＝，sin C＝，sin B＝sin(A＋C)51351363asin B21＝sin Acos C＋cos A·sin C＝，由正弦定理得b＝＝. 65sin A13πA>0，ω>0，|φ|<在一个周期内的图象如图所示，M，N分别是这5.若函数y＝Asin(ωx＋φ)2→→段图象的最高点和最低点，且OM·ON＝0(O为坐标原点)，则A＝________.

答案

7π

12π7π，A，N，－A，

解析

由题意知M12127→→π7π又∵OM·ON＝×－A2＝0，∴A＝π.

121212例题讲解

题型一

三角函数的图象和性质

例1 (2016·山东)设f(x)＝23sin(π－x)sin x－(sin x－cos x)2. (1)求f(x)的单调递增区间；

(2)把y＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的图象向左ππ平移个单位长度，得到函数y＝g(x)的图象，求g6的值．

3解

(1)由f(x)＝23sin(π－x)sin x－(sin x－cos x)2

＝23sin2x－(1－2sin xcos x) ＝3(1－cos 2x)＋sin 2x－1 ＝sin 2x－3cos 2x＋3－1 π2x－＋3－1. ＝2sin3

πππ由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，

232π5π得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)．

1212π5ππ5πkπ－，kπ＋(k∈Z)或kπ－，kπ＋k∈Z. 所以f(x)的单调递增区间是12121212π2x－＋3－1，

(2)由(1)知f(x)＝2sin3把y＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，

πx－＋3－1的图象，

得到y＝2sin3π再把得到的图象向左平移个单位长度，

3得到y＝2sin x＋3－1的图象，

即g(x)＝2sin x＋3－1. ππ所以g＝2sin ＋3－1＝3. 66思维升华

三角函数的图象与性质是高考考查的重点，通常先将三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，然后将t＝ωx＋φ视为一个整体，结合y＝sin t的图象求解．

5跟踪训练1 已知函数f(x)＝5sin xcos x－53cos2x＋3(其中x∈R)，求：

2(1)函数f(x)的最小正周期；

(2)函数f(x)的单调区间；

(3)函数f(x)图象的对称轴和对称中心．

55353解

(1)因为f(x)＝sin 2x－(1＋cos 2x)＋

222π132x－，

＝5sin 2x－cos 2x＝5sin322所以函数的最小正周期T＝2π＝π.

2πππ(2)由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，

232π5π得kπ－≤x≤kπ＋

(k∈Z)，

1212π5πkπ－，kπ＋(k∈Z)．

所以函数f(x)的单调递增区间为1212ππ3π由2kπ＋≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，

2325π11π得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)，

1212

5π11πkπ＋，kπ＋(k∈Z)．

所以函数f(x)的单调递减区间为1212ππkπ5π(3)由2x－＝kπ＋(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)，

32212kπ5π所以函数f(x)的对称轴方程为x＝＋(k∈Z)．

212πkππ由2x－＝kπ(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)，

326kππ所以函数f(x)的对称中心为2＋6，0(k∈Z)．

题型二

解三角形

B例2 (2017·全国Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin(A＋C)＝8sin2. 2(1)求cos B；

(2)若a＋c＝6，△ABC的面积为2，求b. B解

(1)由题设及A＋B＋C＝π，得sin B＝8sin2，

2故sin B＝4(1－cos B)．

上式两边平方，整理得17cos2B－32cos B＋15＝0，

1515解得cos B＝1(舍去)或cos B＝.故cos B＝. 1717158(2)由cos B＝，得sin B＝，

171714故S△ABC＝acsin B＝ac. 21717又S△ABC＝2，则ac＝. 2由余弦定理及a＋c＝6，

得b2＝a2＋c2－2accos B＝(a＋c)2－2ac(1＋cos B) 15171＋＝4. ＝36－2××217所以b＝2. 思维升华

根据三角形中的已知条件，选择正弦定理或余弦定理求解；在解决有关角的范围问题时，要注意挖掘题目中隐含的条件，对结果进行正确的取舍．

3跟踪训练2 (2017·北京)在△ABC中，∠A＝60°，c＝a. 7(1)求sin C的值；

(2)若a＝7，求△ABC的面积．

3解

(1)在△ABC中，因为∠A＝60°，c＝a，

7

所以由正弦定理得

csin A3333sin C＝＝×＝. a72143(2)因为a＝7，所以c＝×7＝3. 7由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，得

172＝b2＋32－2b×3×，

2解得b＝8或b＝－5(舍去)．

113所以△ABC的面积S＝bcsin A＝×8×3×＝63. 222题型三

三角函数和平面向量的综合应用

3sin x，，b＝(cos x，－1)．

例3 已知向量a＝4(1)当a∥b时，求cos2x－sin 2x的值；

(2)设函数f(x)＝2(a＋b)·b，已知在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝3，b＝2，sin B＝ππ62A＋x∈0，的取值范围．

，求f(x)＋4cos6333解

(1)因为a∥b，所以cos x＋sin x＝0，

43所以tan x＝－. 4cos2x－2sin xcos x1－2tan x8cosx－sin 2x＝＝＝. sin2x＋cos2x1＋tan2x52(2)f(x)＝2(a＋b)·b

1sin x＋cos x，－·＝24(cos x，－1) π332x＋＋. ＝sin 2x＋cos 2x＋＝2sin422ab由正弦定理＝，得

sin Asin Basin Bsin A＝＝b3×632＝，

22π3π所以A＝或A＝. 44π因为b＞a，所以A＝. 4ππ12A＋＝2sin2x＋－，

所以f(x)＋4cos642

πππ11π0，，所以2x＋∈，，

因为x∈34412所以π312A＋≤2－. －1≤f(x)＋4cos622ππ312A＋x∈0，的取值范围是－1，2－. 所以f(x)＋4cos6322思维升华

(1)向量是一种解决问题的工具，是一个载体，通常是用向量的数量积运算或性质转化成三角函数问题．

(2)三角形中的三角函数要结合正弦定理、余弦定理进行转化，注意角的范围对变形过程的影响．

跟踪训练3 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知向量m＝(cos A－2cos C,2c－a)，n＝(cos B，b)平行．

sin C(1)求的值；

sin A(2)若bcos C＋ccos B＝1，△ABC的周长为5，求b的长．

解

(1)由已知得b(cos A－2cos C)＝(2c－a)cos B，

abc由正弦定理，可设＝＝＝k≠0，

sin Asin Bsin C则(cos A－2cos C)ksin B＝(2ksin C－ksin A)cos B，

即(cos A－2cos C)sin B＝(2sin C－sin A)cos B，

化简可得sin(A＋B)＝2sin(B＋C)，

又A＋B＋C＝π，

sin C所以sin C＝2sin A，因此＝2. sin A(2)由余弦定理可知，

a2＋b2－c2a2＋c2－b2bcos C＋ccos B＝b·＋c·

2ab2ac2a2＝＝a＝1，

2acsin C由(1)知＝＝2，则c＝2，

asin A由周长a＋b＋c＝5，得b＝2.