2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示国家获奖教案

2.3.1 平面向量基本定理

2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示

教材分析

本节内容是数学必修4 第二章

第三节的第一课，平面向量基本定理揭示了平面向量的基本关系和基本结构，是进一步研究向量问题的基础；是进行向量运算的基本工具，是解决向量或利用向量解决问题的基本手段. 掌握了平面向量基本定理及坐标表示，可以使向量的运算完全代数化，将数与形紧密地结合起来，这样许多几何问题就转化为学生熟知的数量运算，这也是中学数学课中学习向量的目的之一，所以我认为对平面向量基本定理的应用是本节课的重点.另外对向量基本定理的理解这一点对于初学者来说有一定难度，所以是本节的难点. 课时分配

本节内容用1课时的时间完成，主要讲解平面向量基本定理、向量的坐标表示．

教学目标

1.

了解平面向量的基本定理及其意义，理解掌握平面向量的的正交分解及其坐标表示. 2.

经历平面向量基本定理的形成探究过程，掌握正交分解下向量的坐标表示，认识平面向量基本定理是实现向量由几何形式过渡到代数形式的桥梁. 3.

通过本节课的学习，了解先关数学知识的来龙去脉，认识其作用和价值，培养学生的探索研究能力. 重点: 正交分解下向量的坐标表示. 难点：平面向量的基本定理，正交分解下向量的坐标表示. 知识点：平面向量的基本定理，正交分解下向量的坐标表示的理解. 能力点：转化思想的理解与应用. 教育点：通过介绍平面向量的基本定理，正交分解下向量的坐标表示.，给学生渗透转化思想的应用.几何问题代数化的理解与应用. 自主探究点：平面向量基本定理的理解与广泛应用. 考试点：

向量的运算代数化，将数与形紧密地结合起来，这样几何问题就转化为学生熟知的数量运算. 拓展点：转化思想的应用理解．

教具准备 多媒体课件和三角板

课堂模式 学案导学

一、复习引入

1．实数与向量的积：实数与向量的积是一个向量，记作：a （1）|a |=|||a |；（2）0时a与a方向相同；0时a与a方向相反；0时a =0 2．运算定律

结合律：( a)=() a

；分配律：(+) a=a+a，  (a+ b)=a+b 3. 向量共线定理 向量b与非零向量a共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b =a.

问题1：向量与数量有什么联系和区别？

向量有哪几种表示？

问题2：什么叫向量的模？零向量、单位向量、平行向量分别是什么概念？ 4.

如图，光滑斜面上一个木块受到的重力为G，下滑力为F1，木块对斜面的压力为F2，这三个力的方向分别如何？三者有何相互关系？

F1

F2

G

1

5.在物理中，力是一个向量，力的合成就是向量的加法运算.力也可以分解，任何一个大小不为零的力，都可以分解成两个不同方向的分力之和.将这种力的分解拓展到向量中来，就会形成一个新的数学理论.

【设计意图】复习回顾，设置物理情境，便于学习新知．

【设计说明】学生探究回答．

二、探究新知

探究一：平面向量基本定理 思考1：给定平面内任意两个向量e1，e2，如何求作向量3e1＋2e2和e1－2e2？ 【设计意图】使学生在已有知识的基础上，探索新知，引出本课题．

【设计说明】教师引导大家回答演示．

思考2：如图，设OA，OB，OC为三条共点射线，P为OC上一点，能否在OA、OB上分别找一点M、N，使四边形OMPN为平行四边形？

B

C

N

P

O

M A

思考3：在下列两图中，向量OA,OB,OC不共线，能否在直线OA、OB上分别找一点M、N，使

uuuruuuruuurOM+ON=OC？

B B N N C C

O A M

A M O

【设计意图】从两个角度让学生感知体会任意向量可以在给定的方向上分解．

【设计说明】教师引导同学回答并演示．

思考4：若上述向量e1，e2，a都为定向量，且e1，e2不共线，则实数λ1，λ2是否存在？是否唯一？

思考5：若向量a与e1或e2共线，a还能用λ1e1＋λ2e2表示吗？

e1

a=λ1e1+0e2

a

e

a=0e+λe

12122

a

2

【设计意图】体会感知唯一性及普遍性．

【设计说明】师生互动探究，由浅入深，逐步引出主题．

思考6：根据上述分析，平面内任一向量a都可以由这个平面内两个不共线的向量e1，e2表示出来，从而可形成一个定理.你能完整地描述这个定理的内容吗？

若e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，则对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2. 【设计意图】培养学生归纳总结规律与特点，并能做到言简意赅．

【设计说明】教师引导，大家各抒己见，找同学发言．

思考7：上述定理称为平面向量基本定理，不共线向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. 那么同一平面内可以作基底的向量有多少组？不同基底对应向量a的表示式是否相同？

【设计意图】进一步探究几个关键点：

(1) 我们把不共线向量e1 ,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；

(2) 基底不惟一，关键是不共线；

(3) 由定理可将任一向量a在给出基底e1 ,e2的条件下进行分解；

(4) 基底给定时，分解形式惟一. 1 ,2是被a ,e1 ,e2唯一确定的数量．

．

【设计说明】注意引导鼓励大家去发现，大家可能探究不是很全面，可以小组讨论．

探究(二):平面向量的正交分解及坐标表示 思考1：不共线的向量有不同的方向，对于两个非零向量a和b，作 a， b，如图.为了反映这两个向量的位置关系，称∠AOB为向量a与b的夹角.你认为向量的夹角的取值范围应如何约定为宜？

思考2：如果向量a与b的夹角是90°，则称向量a与b垂直，记作a⊥b.

互相垂直的两个向量能否作为平面内所有向量的一组基底？

思考3：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.如图，向量i、j是两个互相垂直的单位向量，向量a与i的夹角是30°，且|a|=4，以向量i、j为基底，向量a如何表示？

B

P

a

j

i

O A

a=23i+2j

3

【设计意图】通过思考，逐步引导大家体会平面向量基本定理的应用．在不共线的两个向量中，垂直是一种重要的特殊情形，体会这样给问题研究带来的方便．

【设计说明】引导大家自主探究．

思考4：在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底，对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y，使得

a＝xi＋yj.我们把有序数对（x，y）叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y).其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，上式叫做向量a的坐标表示.那么x、y的几何意义如何？

y

y

j

O x x a

思考5：相等向量的坐标必然相等，作向量OAa，则OA (x，y)，此时点A是坐标是什么？

【设计意图】通过思考，体会平面内的向量与坐标建立一一对应，从而实现向量的“量化”，使我们在使用向量工具时得以实现“有效能算”的思想．

【设计说明】充分运用图形之间的几何关系，求向量的坐标.．

三、理解新知

平面向量基本定理几个关键点：

(1) 我们把不共线向量e1 ,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；

(2) 基底不惟一，关键是不共线；

(3) 由定理可将任一向量a在给出基底e1 ,e2的条件下进行分解；

(4) 基底给定时，分解形式惟一. 1 ,2是被a ,e1 ,e2唯一确定的数量．

平面向量坐标表示给解决问题带来的一些方便，几何问题代数化，注意体会其中的思想与方法．

【设计意图】进一步理解平面向量基本定理及其坐标表示．

【设计说明】组织学生进行思考、交流，得到结论．

四、运用新知

例1 ：如图，已知向量e1、e2，求作向量－2.5e1＋3e2.

A

C

B e2

O e1

4

【设计意图】让学生巩固对平面向量基本定理的理解．

【设计说明】培养学生分析问题、解决问题的能力和良好的解题习惯．

例2 ：如图2.3-9，分别用基底i、j表示向量a，b，c，d 并求出它们的坐标. uuuruuuur解：由图可知a=AA1+AA2=2i+3j

所以a=（2，3）. 同理，b=-2i+3j=（-2，3）; c=-2i-3j=（-2，-3）; d=2i-3j=（2，-3）. 【设计意图】设置提问：引导学生看图分析，让学生能够通过这些问题，弄清向量的坐标表示及应用．

【设计说明】师生共同分析，抓住关键，提问学生看图回答．

五、课堂小结 1.平面向量基本定理是建立在向量加法和数乘运算基础上的向量分解原理，同时又是向量坐标表示的理论依据，是一个承前起后的重要知识点. 2.向量的夹角是反映两个向量相对位置关系的一个几何量，平行向量的夹角是0°或180°，垂直向量的夹角是90°. 3.向量的坐标表示是一种向量与坐标的对应关系，它使得向量具有代数意义.将向量的起点平移到坐标原点，则平移后向量的终点坐标就是向量的坐标. 教师总结:

平面向量基本定理既是本节的重点又是本节的难点，告诉我们同一平面内任意向量都可以表示成两个不共线的向量的线性组合，注意理解体会．体会平面向量坐标表示给问题解决带来的方便，体会其中转化的思想。提醒学生：在学习新知时，也要经常复习前面学过的内容,“温故而知新”．在应用中增强对知识的理解，及时查缺补漏，从而更好地运用知识，解题要有目的性，加强对数学知识、思想方法的认识与自觉运用．

【设计意图】进行适时小结，让学生对这次课的学习有个系统的认识，加深学习印象．

六、布置作业 1．书面作业 必做题：P102习题2.3A组：3，4, 5, 6

选做题：P102习题2.3B组：3，4. 2．课外思考

如图，在平行四边形ABCD中，

ABa，ADb，E、M分别是AD、DC的中点，点F在BC上，且BC=3BF，以a，b为基底分别表示向量AM和EF .

A F D M C B E 5

【设计意图】设计书面作业必做题，是引导学生先复习，再作业，培养学生良好的学习习惯．书面作业的布置，是为了巩固学习效果；选做题是鼓励学有余力的同学进一步加深本节内容的理解；课外思考的安排，是让学生进一步理解向量的有关概念，起到让学生课下探索发现、预习新课的作用． 七、教后反思

1.本教案的亮点是用心设置思考题，在学生已有的知识基础上得到要学习的问题，水到渠成．自主探究讲练结合，学生在独立或小组讨论中解决问题，很好的调动学生的积极性与主动性，提高了学生的解题能力．

2.建议教师在使用本教案时灵活掌握，但必须以学生为主体，加强互动探究．

3.本节课的弱项是如果课堂驾驭不好的化，时间上会有些紧张，学生在讨论的时候思维较宽泛，注意引导．

八、板书设计

2.3.1 平面向量基本定理

2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示

一、知识点

1.平面向量基本定理

若e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，则对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.

几个关键点：

(1) 我们把不共线向量e1 ,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；

(2) 基底不惟一，关键是不共线；

(3) 由定理可将任一向量a在给出基底e1

,e2的条件下进行分解；

(4) 基底给定时，分解形式惟一. 1 ,a ,e1 ,e2唯一确定的数量．

2例1：如图，已知向量e1、e2，求作向量－2.5e1＋3e2.

例2：如图2.3-9，分别用基底i、j表示向量a，b，c，d 并求出它们的坐标.

课外思考 如图，在平行四边形ABCD中，

ABa，ADb，E、M分别是AD、DC的中点，点F在BC上，且BC=3BF，以a，b为基底分别表示向量AM和EF.

课堂小结：教师带领大家复述本节课重点.

作业

必做题：P102习题2.3A组：3，4, 5, 6

选做题：P102习题2.3B组：3，4.

是被2.平面向量的正交分解及坐标表示

在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底，对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y，使得

a＝xi＋yj.我们把有序数对（x，y）叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y).其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，上式叫做向量a的坐标表示.

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