阅读与思考 向量及向量符号的由来课件配套优秀获奖教案

第一节平面向量的概念与线性运算（第一课时）



考纲解读

高考指数:★★

知识要求

内

容

考

纲

平面向量的相关概念

点

击

平面向量的线性运算及其几何意义

平面向量的线性运算的性质及其几何意义

了解（A) 理解(B)

√

√

掌握C)

√



考情分析

1.平面向量的线性运算及共线向量定理是高考考查的重点，也是热点，难度中等偏下。

2.题型以客观题为主，与解析几何、三角交汇命题则以解答题为主。



学习目标

1.理解平面向量的相关概念。

2．会用“三角形法则”，“平行四边形法则”进行向量的和与差的运算。 3．理解向量共线的充要条件。

4．运用向量的线性运算转化处理平面几何问题。

5．体会转化、化归的数学思想在平面向量中的应用。



重点与难点

重点：平面向量的概念与线性运算

难点：转化、化归的数学思想在平面向量中的应用

一、知识点整合：（学生课内自主学习）

（1）平面向量是如何定义及表示的？它的主要特征是什么？

（2）有几个特殊向量？如何理解零向量与共线向量？

（3）平面向量是如何进行线性运算的？它表示的几何意义是什么？

1．向量的有关概念及表示

名

称

向量

定 义

在平面中，既有 又有 的量

表 示

→用a，b，c，…或→AB，BC，…表示

向量a的 ，也就是表示向量a的向量的模

或 →有向线段AB的 (或称模)

1

2．几个特殊的向量

零向量

长度为 的向量

用 表示

用e表示，|e|＝ a∥b

a＝b

向量a的相反向量是 单位向量

长度等于 个单位的向量

平行向量

方向 或 的非零向量

相等向量

长度 且方向 的向量

相反向量

相等，方向 的向量

说明：零向量的方向是_ 、 。规定：零向量与任一向量

。

2．向量的线性运算

向

量

定义

法则(或几何意义) 运算律

运

算

加法

求两个向量的

的运算

法则

（1）加法交换律：

a＋b＝ （2）加法结合律：

(a＋b)＋c＝

法则

减法

减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量

a－b＝

法则

向量

运算

定

义

法则(或几何意义) 运算律

(1)对向量加法的分配律：

λ(a＋b)＝ (2)对实数加法的分配律：

(λ1＋λ2)a＝ (1)|λa|＝ 实数λ与向量a的积(2)当λ＞0时，λa与a的方是一个 ，这种运向 ；

数乘

算叫作向量的 ，

当λ＜0时，λa与a的方向记作 _ ；

当λ＝0时，λa＝

2

二、教材链接 →＋→→＋→1．

向量式 (ABMB)＋(BOBC)＋→OM化简后等于 。

2．设a，b为不共线向量，AB＝a＋2b，BC＝－4a－b，CD＝－5a－3b，则下列关系式中正确的是

( ) A．AD＝BC

B．AD＝2BC C．AD＝－BC D．AD＝－2BC

3． M是BC边上的中点，→AB＝a，→AC＝b，则→AM＝ ．

4．a表示向东走1 km，b表示向南走1 km，则a＋b表示向 方向走______ km.

三、考点突破

考点一：平面向量的有关概念 例1：判断下列命题的真假

(1)若a∥b，b∥c，则a∥c. （ ）

1(2)设a与b是两个不共线向量，且向量a＋λb与2a－b共线，则λ＝－.( ) 2ab(3)设a，b都是非零向量，使＝成立的充分条件是a＝2b .( ) |a||b|

【训练1】设a，b是两个非零向量 （ ）

A．若|a＋b|＝|a|－|b|，则a⊥b

B．若a⊥b，则|a＋b|＝|a|－|b| C．若|a＋b|＝|a|－|b|，则存在实数λ，使得b＝λa

D．若存在实数λ，使得b＝λa，则|a＋b|＝|a|－|b| 思考：设a，b是两个非零向量

（1）|它的几何意义是什么？

（2）|a|－|b|、|a＋b|、|a|+|b|三向量间的关系如何？

考点二：向量的线性运算

1例2：在△ABC中，已知D是AB边上一点，若AD＝2DB，CD＝CA＋λCB，则λ等于

3

【变式一】若(2)中的条件作如下改变：若点D是AB边延长线上一点且|BD |＝|BA |，若CD＝λ

CB＋μCA，则λ－μ的值为________．

【变式二】若(例2)中的条件作如下改变：若点D在△ABC内是三角形的重心，若CD＝λ＋μCA，则λ－μ的值为________．

3 CB

【变式三】若(例2)中的条件作如下改变：若点D是AB边上的一点且是△ABC的外心，若CD＝λCB＋μCA，则λ－μ的值为________．

【训练2】（一题多解）(2012·全国)△ABC中，AB边的高为CD，若CB＝a，CA＝b，

a·b＝0，|a|＝1，|b|＝2，则AD＝( )．

11223344

A.a－b B.a－b C.a－b

D.a－b

33335555

四、考题研析（课后练习）

1、[2013湖北重点高中模拟] 在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，→AC＝λ→AE＋μ→AF，其中λ，μ∈R，则λ＋μ＝

2、【创新探究】以向量为背景的新定义问题 (2011·山东高考)设A1、A2、A3、A4是平面直角A1A3A1A2坐标系中两两不同的四点，若 (λ∈R)，A

1A4A1A21(μ∈R)，且1 则称A3、A4调和分割点A1、A2，已知平面上的点C，D调和分割点A，2,B则下面说法正确的是( ) (A)C可能是线段AB的中点

(B)D可能是线段AB的中点

(C)C，D可能同时在线段AB上

(D)C，D不可能同时在线段AB的延长线上

→→→→3.【试一试】

在△OAB中，OA＝a，OB＝b，OD是AB边上的高，若AD＝λAB，则实数λ＝

( ) a·(a－b)a·(b－a)a·a－bA.

B. C.

|a－b||a－b||a－b|2五、布置作业： a·b－a

D.

|a－b|21.

巩固题：完成考题研析（课后练习）、《课时作业》的《平面向量的线性运算》A组

2.自学题：自主复***面向量基本定理》，完成知识梳理和基础自测

3.探究展示题：《平面向量基本定理》例1、例3 六、课堂小结：

4