探究与发现 利用单位圆中的三角函数线研究正弦函数、余弦函数的性质主要内容及教案内容

1.2 任意角的三角函数（二）

——三角函数线

教材：人教A版高中《数学》必修4第一章第二节

授课教师：成都树德协进中学 聂

娟

教学背景：

1．教材地位分析：三角函数是中学数学的重要内容之一，而三角函数线的概念及其应用不仅体现了数形结合的数学思想，又贯穿整个三角函数的教学。借助三角函数线可以推出三角函数公式，求解三角函数不等式，探索三角函数的图像和性质，可以说,三角函数线是研究三角函数有力的工具。

2．学生学情分析：学习本节前,学生已经掌握任意角三角函数的定义，三角函数值在各象限的符号，以及诱导公式一，为三角函数线的寻找做好了知识准备。本班女生30人，男生7人，以培养教学班学生数学基本素养为教学目的，激发学习兴趣，增强数学学习的信心，于是分解教学目标，分层设问，以期更好地达成本节课数学理性思维的培养目标，为三角函数后续学习奠定坚实的基础。

教学目标：

1．知识目标：使学生掌握如何利用单位圆中的有向线段分别表示任意角的正弦、余弦、正切函数值，并能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题。

2．能力目标：借助几何画板让学生经历概念的形成，辨识，理解，巩固，提高学生观察、发现、类比、猜想和实验探索的能力；课后总结和拓展，让学生借助所学知识自己去发现新问题，并加以解决，提高学生抽象概括、分析归纳、数学表述等基本数学思维能力。

3．情感目标：激发学生对数学研究的热情，培养学生勇于发现、勇于探索、勇于创新的精神；通过学生之间、师生之间的交流合作，实现共同探究、教学相长的教学情境。

教学重点难点：

1．重点：三角函数线的作法及其简单应用。

2．难点：利用与单位圆有关的有向线段，将任意角的正弦、余弦、正切函数值分别用它们的几何形式表示出来。

教学方法与教学手段：

1．教法选择：“设置问题，探索辨析，归纳应用，延伸拓展”——科研式教学。

2．学法指导：类比、联想，产生知识迁移；观察、实验，体验知识的形成过程；猜想、求证，达到知识的延展。

3．教学手段：多媒体教室，电脑课件，几何画板。

教学过程：

一、引入课题,探索辨析

1

教学环节

教学过程

设计意图

设

置

疑

问,点明主题

概

念

学

习,分

散

难

点

前面我们学习了角的弧度制，角弧度数的绝对值既可以引出单位l圆，又可以使学生通，其中l是以角作为圆心角时所对弧的长，r过类比联想主动、快r速的探索出三角函数是圆的半径.特别地, 当r =1时，l,此时的圆称为值的几何形式.

单位圆，这样就可以用单位圆中弧的长度表示所对圆心角弧度数的绝对值。

思考：在单位圆中，如何定义任意角的三角函数？

类比单位圆中弧的长度表示所对圆心角弧度数的绝对值，那么能否用几何图形来表示任意角的正弦、余弦、正切函数值呢？探究：用“形”来表示三角函数值。

有向线段：带有方向的线段. 相关概念的学习（1）方向：按书写顺序，前者为起点，后者为终分散了教学难点,使学点，由起点指向终点。

生能够更多的围绕重如：有向线段OM，O为起点，M为终点，由O点点展开探索和研究.

指向M点。

（动态演示）

O M (2) 数值：（只考虑在坐标轴上或与坐标轴平行的有向线段）

绝对值等于线段的长度，若方向与坐标轴同向，取正值；与坐标轴反向，取负值。如：

y

N -1 1

2O P M A 1 x 实1. 知识探究一：设的终边与单位圆的交点为P（x，y），

验由定义可知siny；cosx. 探

（索, 思考1（：1

）

y

的含义

2

）

y

与

MP

的关系

辨

（3）x的含义x与OM的关系析

研思考2：为了去掉等式中的绝对值符号，能否给线段讨

MP规定一个适当的方向使它的取值与点P的坐标一致？

规定方向与y轴同向，有正值；反之，负值。

MPysin

这条与单位圆有关的有向线段MP叫做角的正弦线.

思考3：类比正弦线，能否找到一条有向线段表示角的

2 一所大学有句名言:“我听见了,就忘记了;我看见了,就记住了;我做过了,就理解了.”要想让学生深刻理解三角函数线的概念，就应该让学生主动去探索，大胆去实践，亲身体验知识的发生和发展过程。

余弦值呢？

规定方向与x轴同向，有正值；反之，负值。

OMxcos这条与单位圆有关的有向线段OM叫做角的余弦线。

作法总结：当角的终边分别落在第一、二、三、四象限时，叙述正弦线和余弦线的作法和特征。

y2.知识探究二：tan如何用有向线段表示？

x讨论焦点：

若令x=1, 则y α的终边

tany=AT，但是第二、三象限角的终边上没有横坐标为1的点，若此时取x=-1的点T‘，tan=-y=TA,有向线‘‘α的终边

A‘

T ‘

’P T A 1 -1 O M x (T) 段的表示方法又不能统一. 引导观察：

当角的终边互为反向延长线时，它们的正切值有什么关系？

统一认识：

方案1：在象限角的终边或其反向延长线上取x=1的点T，则tan=y=AT；

方案2：借助正弦线、余弦线以及相似三角形知识得到yMPATtanAT. =xOMOA这条与单位圆有关的有向线段AT叫做角的正切线.根据上述分析，你能描述正切线的几何特征吗？

y 3.知识探究三：

P 结合几何画板演示，思考当

角α的终边落在坐标轴上时，

角α的正弦线、余弦线、正切线P x O 的数量值是什么？有何含义？

教学已经不再是把教师或学生看成孤立的个体，而是把他们的教和学看成是相互影响的辩证发展过程.在和谐的氛围中，教师和学生都处在自由状态，可以不受框框的束缚，充分表达各自的意见，在自己积极思维的同时又能感受他人不同的思维方式，从而打破自己的封闭状态，进入更加广阔的领域.

学生活动

二、作法总结,变式演练

教学

教学过程

3 设计意图

环节

作法总结

变式11演（1）sin； （2）cos；

22练,1提变式：在图中指出使sin成立的角的终边的取值范围。2高请学生分析（2） 57能与例2：（1）作出题中所给的两个角的正弦线，余弦线力

46和正切线。（2）利用三角函数线比较下列三角函数值的大小。

5757sinsincos，cos

464657tantan

46变式1：若,则下列各式正确的是（ ）

42正弦线、余弦线、正切线统称为三角函数线. 请大家总结这三种三角函数线的作法。

第一步：作出角的终边，与单位圆交于点P；

第二步：过点P作x轴的垂线，设垂足为M，得正弦线MP、余弦线OM；

第三步：过点A(1,0)作单位圆的切线，它与角的终边或其反向延长线的交点设为T，得角的正切线AT. 特别注意：三角函数线是有向线段，在用字母表示这些线段时，要注意它们的方向，分清起点和终点，书写顺序不能颠倒.余弦线以原点为起点，正弦线和正切线以此线段与坐标轴的公共点为起点，其中点A为定点（1，0）. 巩固练习：在单位圆中作出下列各角的正弦线、余弦线、正切2线。

（1）; （2）.

33例1在单位圆中画出适合下列条件的角的终边：

及时归纳总结，加深知识的理解和记忆.

巩固练习,准确掌握三角函数线的作法

AsincostanCtansincosBcostansinDsintancos

变式2：(1)使式子sincos成立的条件是 (2)使sincos成立的的取值范围是 . (3)使sincos成立的的取值范围是 .

逆向思维,灵活运用三角函数线,并为利用三角函数线求解三角函数不等式(组)作铺垫.

数形结合思想表现在由数到形和由形到数两方面.将任意角的正弦、余弦、正切值分别用有向线段表示出来体现了由数到形的转化；借助三角函数线求解三角函数方程和不等式又发挥了由形到数的巨大作用. 三、归纳反思,思维拓展。

4

教学环节

教学过程

1.有向线段表示三角函数值。

2.回顾三角函数线作法. 3.三角函数线是利用数形结合思想解决有关问题的重要工具，自从著名数学家欧拉提出三角函数与三角函数线的对应关系，使得对三角函数的研究大为简化，现在仍然是我们解三角不等式、比较大小、以及今后研究三角函数图像与性质的基础. 4.通过几何画板演示，观察角的终边在各位置的情形,结合三角函数线和已学知识，你能发现什么规律,得出哪些结论？请说明你的观点和理由。学生得出的结论有以下几种：(1) sin2 + cos2 = 1;(2)│sin│ + │cos │≥1;(3) -1≤sin≤1, -1≤cos≤1, tan∈R;(4) 若两角终边互为反向延长线，则两角的正切值相等,正弦、余弦值互为相反数;

(5) 当角的终边在第一象限逆时针旋转时，正弦、正切值逐渐增大，余弦值逐渐减小;(6) 当角终边在直线yx右下方时, sin＜cos ;当角终边在直线yx的左上方时, sin＞cos ; 设计意图

回顾三角函数线作法,再次加深理解和记忆.点明三角函数线的应用,以及数形结合思想,便于学生在后续学习中更深入的思考,更广泛的研究. 给学生建设一个开放的、有活力、有个性的数学学习环境.反思交流既能巩固所学，展示个人才华,又能照顾到各个层次的学生.来自他人的信息为自己所吸收，自己的既有知识又被他人的视点唤起，产生新的思想.建立学习数学的新境界。

归

纳

反思

思维拓展,反思交流

四、巩固创新,课堂延展。

设计意图

巩

既保3固

1.

使sin证全成立的α的取值范围是 . 2作体，业，又兼2.已知点P（sincos,tan）在第一象限，则在[0,2]内的取值范围是创

顾学355新

有余（

）A.(,)(,) B.(,)(,)

拓

力的2444243533展

学C.(,)(,) D.(,)(,)

生，

2442424课堂3.

证明：当0时，总有sintan

内向2外的等，那么的值（ ）

4. 已知（02）的正弦线和余弦线相延35757展。

A.或 B.或 C.或 D.或

44444444教学环节

教学过程

5. 若A是ABC内角，且满足sinAcosA0,则A .

5