2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示特级教师教学实录

2.3.2平面向量正交分解及坐标表示

教学目标：

（1）理解平面向量的坐标的概念；

（2）掌握平面向量的坐标运算；

（3）会根据向量的坐标，判断向量是否共线.

教学重点：平面向量的坐标运算

教学难点：向量的坐标表示的理解及运算的准确性. 教学过程：

一、复习旧知：

平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2使a=λ1e1+λ2e2；

(1)我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；

(2)基底不惟一，关键是不共线；

(3)由定理可将任一向量a在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解；

(4)基底给定时，分解形式惟一. λ1，λ二、新课引入：

（1）平面向量的正交分解

1.提出问题①我们知道平面内建立了直角坐标系,点A就可以用坐标表示. ②在直角坐标系中，平面向量是否也有类似的坐标表示呢? 2.引导学生探究以下两个问题：

探究一：以O为起点， P（3，2）为终点的向量能否用坐标表示？如何表示？

探究二：在平面直角坐标系内，起点不在坐标原点O的向量如何用坐标来表示? 3.平面向量的坐标表示

如图，在直角坐标系内，我们分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底.任作一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y，使得

1

axiyj…………○我们把(x,y)叫做向量的a（直角）坐标，记作

2是被a，e1，e2唯一确定的数量



2

a(x,y)…………○2式叫做向量的坐标表示.与其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标,○．a相等的向量的坐标也为．．．．．．．．．．(x,y). 特别地，i(1,0)，j(0,1)，0(0,0). 如图，在直角坐标平面内，以原点O为起点作OAa，则点A的位置由a唯一确定. 设OAxiyj，则向量OA的坐标(x,y)就是点A的坐标；反过来，点A的坐标(x,y)也就是向量OA的坐标.因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示. 例1.如图，分别用基底

i

，j

，

表示向量

a

、

、d

，并求出它们的坐标。

b

、c

问题1：根据下图写出向量

a

、b

、c

、d

的坐标，其中每个小正方形边长是1.

（2）平面向量的坐标运算

（1）

若a(x1,y1)，b(x2,y2)，则ab(x1x2,y1y2)，ab

(x1x2,y1y2)

两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差. 设基底为i、j，则ab(x1iy1j)(x2iy2j)(x1x2)i(y1y2)j

即ab(x1x2,y1y2)，同理可得ab(x1x2,y1y2)

（2）若a(x,y)和实数，则a(x,y). 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标. 设基底为i、j，则a(xiyj)xiyj，即a(x,y)

（3）

若A(x1,y1)，B(x2,y2)，则ABx2x1,y2y1

一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标. AB=OBOA=( x2，

y2) 

(x1，y1)= (x2 x1，

y2 y1) (1)a=(2,1),b=(-3,4)，则a+b=(2)a=(4,3),b=(-3,8)，则a-b=(3)a=(2,3),b=(-2,-3)，则3a+4b=(4)A(3,5)，B(6,9) ，则AB= BA=(5)B(0,0) ，AB=(-2,1) ，则 A (6)A(-1,5)，AB=(1,3) ，则B

例2：已知平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别为（-2，1）、（-1，3）、（3，4），求顶点D的坐标。

三、小结（略）

四、课后作业（略）

五、板书设计（略）