阅读与思考 向量及向量符号的由来教学目标设计

个性化教学辅导教案

课

题

教学目标

必修4第二章平面向量的概念以及线性运算

（1）平面向量的概念

（2）平面向量的线性运算

（3）共线定理的应用

1、

本章网络结构

1．向量的有关概念

名称

向量

零向量

单位向量

平行向量

共线向量

相等向量

相反向量

2.向量的线性运算

向量运算

定义

法则(或几何意义) 运算律

(1)交换律：

a＋b＝b＋a.

(2)结合律：

(a＋b)＋c ＝a＋(b＋c)．

减法

求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差

a－b＝a＋(－b)

(1)|λa|＝|λ||a|；

(2)当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0 (1)λ(μa)＝(λμ)a；

(2)(λ＋μ)a＝λa＋μa；

(3)λ(a＋b)＝λa＋λb

定义

既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模)

长度为0的向量；其方向是任意的

长度等于1个单位的向量

方向相同或相反的非零向量

方向相同或相反的非零向量又叫做共线向量

长度相等且方向相同的向量

长度相等且方向相反的向量

0与任一向量平行或共线

两向量只有相等或不等，不能比较大小

0的相反向量为0 备注

平面向量是自由向量

记作0 a非零向量a的单位向量为±

|a|加法

求两个向量和的运算

数乘

求实数λ与向量a的积的运算

3.共线向量定理

1．向量的数乘

(1)长度：|λa|＝|λ||a|.

1

(2)方向

当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；

当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；

当λ＝0时，λa＝0，其方向是任意的．

2．向量的数乘的运算律

设λ，μ为实数，则①λ(μ a)＝(λμ)a；②(λ＋μ)a＝λa＋μa；③λ(a＋b)＝λa＋λb. 3．向量共线定理

向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得b＝λa. a4．若a为非零向量，a0为其单位向量，则有a＝|a|·a0或a0＝. |a|[必会结论] →1．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即A1A2＋→→→A2A3＋A3A4＋…＋An－1An＝A1An.特别地，一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量．

12．若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则OP＝(OA＋OB)．

2→→→3．若A、B、C是平面内不共线的三点，则PA＋PB＋PC＝0⇔P为△ABC的重心．

→→→题型分类

题型一

平面向量的概念

【例1】有下列几个命题：

1互为相反向量的两个向量模相等；

○2

若两个向量相等,则它们的起点和终点分别重合

○

，

∥

3

∥

则

∥

○

，

=

4

=

则

=

○5模相等的两个平行向量是相等向量

○6若向量○7若|○与是共线的向量，则点A，B，C，D必在同一条直线上；

|=||，则=或=﹣；

8共线向量一定在同一条直线上；

○9若四边形ABCD是平行四边形,则ABCD,BCDA

○10若a与b平行，则ab|a||b|

○11零向量没有方向,单位向量都相等

○其中正确结论个数是（

）

2

【变1-1】设a0为单位向量，①若a为平面内的某个向量，则a＝|a|a0；②若a与a0平行，则a＝|a|a0；③若a与a0平行且|a|＝1，则a＝a0.上述命题中，假命题的个数是(

) A．0

B．1 C．2

D．3 答案

D 解析

向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a与a0平行，则a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a＝－|a|a0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3. 题型二

平面向量的线性运算

【例2】

化简以下各式：

【变2-1】化简

【例3】

3

，则△ABC的形状为 【变3-1】若O是△ABC所在平面内一点，且满足

题型三

共线定理的应用

知识点：三点共线常见的表现形式主要有两种：

形式1：对于同一平面内不同三点

A，B，C ，

A，B，C 三点共线，其中

；

如果 形式2：已知

O，A，B，C 为平面内不同的四点，

（ ，

）

且

，

A，B，C 三点共线

且

【例4】设两个非零向量a与b不共线，

→→→(1)若AB＝a＋b，BC＝2a＋8b，CD＝3(a－b)，求证：A、B、D三点共线；

(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．

→→→(1)证明

∵AB＝a＋b，BC＝2a＋8b，CD＝3(a－b)，

→→→∴BD＝BC＋CD＝2a＋8b＋3(a－b) →＝2a＋8b＋3a－3b＝5(a＋b)＝5AB. →→∴AB、BD共线，又∵它们有公共点B，

∴A、B、D三点共线．

(2)解

∵ka＋b和a＋kb共线，

∴存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，

即ka＋b＝λa＋λkb.∴(k－λ)a＝(λk－1)b. ∵a、b是两个不共线的非零向量，

∴k－λ＝λk－1＝0，∴k2－1＝0.∴k＝±1. 思维升华

(1)证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系．当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．

(2)向量a、b共线是指存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a＋λ2b＝0成立，若λ1a＋λ2b＝0，当且仅当λ1＝λ2＝0时成立，则向量a、b不共线．

【变

4-1】已知两个不共线向量

，

，且

,

,

= 2

，若A,B,D三点共线，求 的值为

.

4

【变4-2】设两个不共线向量

，

，

,

,

= 2

(1)求证：A、

、D三点共线；

(2)若

，且B、D、F三点共线，求

的值．

→(1)若m＋n＝1，求证：A，P，B三点共线；

(2)若A，P，B三点共线，求证：m＋n＝1. →→→→→【例5】已知O，A，B是不共线的三点，且OP＝mOA＋nOB(m，n∈R)．

→→→证明

(1)若m＋n＝1，则OP＝mOA＋(1－m)OB＝OB＋m(OA－OB)，

→→→→→→→→→→∴OP－OB＝m(OA－OB)，即BP＝mBA，∴BP与BA共线．又∵BP与BA有公共点B，∴A，P，B三点共线．

→→→→→→(2)若A，P，B三点共线，存在实数λ，使BP＝λBA，∴OP－OB＝λ(OA－OB)．

→→→→→→→→→又OP＝mOA＋nOB.故有mOA＋(n－1)OB＝λOA－λOB，即(m－λ)OA＋(n＋λ－1)OB＝0. m－λ＝0，∵O，A，B不共线，∴OA，OB不共线，∴∴m＋n＝1. n＋λ－1＝0，→→

，则

= ___________ 【变5-1】（1）在△ABC 中，已知D是AB 边上一点，若

,且

，则

. （2）在△ABC 中，已知M是AB 边上一点，若

BCe1e2, CD2e1e2，则下列关系一定成立的是（

）

【变5-2】已知：AB3(e1e2), A、A，B，C三点共线

B、A，B，D三点共线

C、C，A，D三点共线

D、B，C，D三点共线

,.若点D满足

表示)

=

=

，则

【变5-3】在△ABC中，

，

= __________(用

，

5

12→→→【变5-4】设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC.若DE＝λ1AB＋λ2AC

23(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．

1→2→→→→1→2→1→2→→解析：DE＝DB＋BE＝AB＋BC＝AB＋(AC－AB)＝－AB＋AC，

232363121→→→∵DE＝λ1AB＋λ2AC，∴λ1＝－，λ2＝，故λ1＋λ2＝. 632

专题三：向量在平面图形中的应用

知识点：

一、用基底表示向量(向量的分解)：

1、三角形法(多边形)法：

，试用

表示

，

比如：ABCD为梯形，BC=2AD，

，

，

2、比例法：

主要是利用相似条件找到目标向量和与之共线的向量的模长比例关系；

，试用

表示

比如：已知平行四边形ABCD中E为AD中点,CE,BD 相交于点F,设

，

，

，因为无法直接得到

的关系，所以我们寻找与

共线向量

。

，

，

3、交叉法(定比分点)：

在进行向量分解时，若目标向量的起点与基底起点相同，终点和基底向量终点三点共线

时，可以用如下方法进行分解目标向量；

B、C、D 三点共线，当D在线段BC之间时，先求出

，从而有

，

交叉分配系数，即

+

最后给

用

交叉系数表示，再反求

当D点在线段BC外时，先将 平面向量基底化步骤：

第一步：统一起点，如果目标向量跟基底起点不同，则将目标向量写成以基底起点为起

6

点的两个向量之差；

第二步：利用交叉法(定比分点)或者待定系数法将统一起点后的向量用基底表示；

第三步：整理结果. 二、三角形的四心问题

1、重心

（∆A 中，G为垂心，如图）

（1）定义：三条中线的交点

（2）G是AD的三等分点:即AG:GD=2:1

（3）

2、

垂心

（∆A 中，H为垂心，如图）

（1）

定义：三条高的交点

（2） =

3、外心

（∆A 中，O为外心，如图）

（1）定义：三条中垂线的交点，是外接圆的圆心

=

（2）

4、内心

（∆A 中，I为内心，如图）

（1）定义：三条角平分线的交点，是内切圆的圆心

（2）

（

）

所在直线过△ABC的内心（∠BAC的角平分线所在直线）

【例6】（1）如图，在ΔABC中，D、E为边AB的两个三等分点，CA3a，CB2b，求CD，CE．

A D E B

7 C

，则

,

,若 等于

. （2）如图所示，在△ABC中，

，

为边作

【变6-1】如图，以向量

，

表示

,

, 试用

OADB，用

，

【变6-2】如图，一直线EF与平行四边形ABCD的两边AB，AD分别交于E，F两点，且交对角线AC于→2→→1→→→K，其中，AE＝AB，AF＝AD，AK＝λAC，则λ的值为(

) 522222A.

B.

C.

D.

9753答案

A →2→→1→→5→→→解析

∵AE＝AB，AF＝AD，∴AB＝AE，AD＝2AF. 522由向量加法的平行四边形法则可知，

5→5→→→→→→→→→→AE＋2AF＝λAE＋2λAF，

AC＝AB＋AD，∴AK＝λAC＝λ(AB＋AD)＝λ222由E，F，K三点共线，可得λ＝，故选A. 9【变6-3】在ABC所在的平面上有一点P，满足PAPBPCAB，则PBC与ABC的面积之比是(

) 1123A．3

B．2

C．3

D．4

8

A

P C

→→→【例7】设G为△ABC的重心，且sin A·GA＋sin B·GB＋sin C·GC＝0，则B的大小为(

)

A．45°

B．60°

C．30°

D．15°

B

→→→→→→→→解析

∵G是△ABC的重心，∴GA＋GB＋GC＝0，GA＝－(GB＋GC)，将其代入sin A·GA＋sin B·GB＋sin →→→→→C·GC＝0，得(sin B－sin A)GB＋(sin C－sin A)GC＝0.又GB，GC不共线，

∴sin B－sin A＝0，sin C－sin A＝0，

则sin B＝sin A＝sin C．根据正弦定理知b＝a＝c，

∴△ABC是等边三角形，则角B＝60°.故选B. →→→→【变7-1】如图，经过△OAB的重心G的直线与OA，OB分别交于点P，Q，设OP＝mOA，OQ＝nOB，m，11n∈R，则＋的值为________．

nm

答案

3 →→→21→→1→→→→→→解析

设OA＝a，OB＝b，由题意知OG＝×(OA＋OB)＝(a＋b)，PQ＝OQ－OP＝nb－ma，PG＝OG－OP3231111→→－ma＋b，由P，G，Q三点共线得，存在实数λ，使得PQ＝λPG，即nb－ma＝λ－ma＋λb，

＝3333从而1n＝3λ，

1－m＝λ3－m，

11消去λ得＋＝3. nm

→→1．如图所示，D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，则AF－DB等于(

)

→→→→→→→→→A.FD

B.FC

C.FE

D.BE

→→→→答案

D由题图，知DB＝AD，则AF－DB＝AF－AD＝DF.由三角形中位线定理，知DF＝BE.故选D. →→2．[2017·嘉兴模拟]已知向量a与b不共线，且AB＝λa＋b，AC＝a＋μb，则点A，B，C三点共线应满足

(

)

9

A．λ＋μ＝2

B．λ－μ＝1

C．λμ＝－1

→→D．λμ＝1 答案

D若A，B，C三点共线，则AB＝kAC，即λa＋b＝k(a＋μb)，所以λa＋b＝ka＋μkb，所以λ＝k,1＝μk，故λμ＝1. →→→→→→21D.OA＝－AB－BC

33→3．已知A、B、C三点不共线，且点O满足OA＋OB＋OC＝0，则下列结论正确的是(

) →→→→→→→→122112A.OA＝AB＋BC

B.OA＝AB＋BC

C.OA＝AB－BC

333333答案

D →→→→→→2111解析

∵OA＋OB＋OC＝0，∴O为△ABC的重心，∴OA＝－×(AB＋AC)＝－(AB＋AC)＝－(AB＋AB＋3233121BC)＝－(2AB＋BC)＝－AB－BC. 333→1241A．b－a

B．b－a

C．b－a

D．b＋a

3333答案

C →→→→→→224解析

因为BE＝AE－AB＝AD＋DE－AB，所以BE＝BC＋AB－AB＝AC－AB＋AB－AB＝b－a

333→→→→→→→

5．如图，在△ABC中，|BA|＝|BC|，延长CB到D，使AC⊥AD，若AD＝λAB＋μAC，则λ－μ的值是(

) →→→→→→→→→→→→4．[2017·安徽六校联考]在平行四边形ABCD中，AB＝a，AC＝b，DE＝2EC，则BE＝(

) →→→→→→→→→

A．1

B．2

C．3

D．4 →→→→→1由题意可知，B是DC的中点，故AB＝(AC＋AD)，即AD＝2AB－AC，所以λ＝2，μ＝－1，则λ－μ＝3. 216．在△ABC中，D为边AB上一点，若AD＝2DB，CD＝CA＋λCB，则λ＝________. 3→→→→→→→→→222解析

因为AD＝2DB，所以AD＝AB＝(CB－CA)．在△ACD中，因为CD＝CA＋AD＝CA＋(CB－CA)333

10 →→→→→→→→→

→→122＝CA＋CB，所以λ＝. 333→→→→→→→7．

(2015·北京)在△ABC中，点M，N满足AM＝2MC，BN＝NC.若MN＝xAB＋yAC，则x＝________；y＝________. 11答案

－

26→→→1→1→1→1→→1→1→解析

MN＝MC＋CN＝AC＋CB＝AC＋(AB－AC)＝AB－AC，

32322611∴x＝，y＝－. 26→D三点共线，则λ的值为________．

→→→→解析

∵CB＝2e1＋e2，CD＝3e1－e2，

→→→→→→→8．[2017·泉州四校联考]设e1，e2是不共线的向量，若AB＝e1－λe2，CB＝2e1＋e2，CD＝3e1－e2，且A，B，∴BD＝CD－CB＝(3e1－e2)－(2e1＋e2)＝e1－2e2，若A，B，D三点共线，则AB与BD共线，存在μ∈R使1＝μ，得AB＝μBD，即e1－λe2＝μ(e1－2e2)，由e1，e2是不共线的向量，得解得λ＝2. －λ＝－2μ，

9．[2017·合肥模拟]已知向量a，b不共线，且c＝λa＋b，d＝a＋(2λ－1)b，若c与d反向共线，求实数λ的值．

解

由于c与d反向共线，则存在实数k使c＝kd(k<0)，

于是λa＋b＝k[a＋(2λ－1)b]，

整理得λa＋b＝ka＋(2λk－k)b. λ＝k，由于a，b不共线，所以有

2λk－k＝1，

1整理得2λ2－λ－1＝0，解得λ＝1或λ＝－. 21又因为k<0，所以λ<0, 故λ＝－. 2→m∈R)，求的值．

n→解

如图所示，因为OB⊥OA，设|OC|＝2，过点C作CD⊥OA于点D，CE⊥OB于点E，所以四边形ODCE是矩形，

→→→→10．已知|OA|＝1，|OB|＝3，∠AOB＝90°，点C在∠AOB内，且∠AOC＝30°.设OC＝mOA＋nOB(m，n

11

→→→→→→→→→→OC＝OD＋DC＝OD＋OE. →→→因为|OC|＝2，∠COD＝30°，所以|DC|＝1，|OD|＝3. →3又因为|OB|＝3，|OA|＝1，所以OD＝3OA，OE＝OB，

3→33m3OC＝3OA＋OB，此时m＝3，n＝，所以＝＝3. 33n33[B级

知能提升](时间：20分钟) 11．如图所示，在平行四边形ABCD中，O是对角线AC，BD的交点，N是线段OD的中点，AN的延长线与CD交于点E，则下列说法错误的是(

) →→

→→→→→115A.AC＝AB＋AD

B.BD＝AD－AB

C.AO＝AB＋AD

D.AE＝AB＋AD

223答案

D DEDN解析

由向量的加法和减法，知道A、B正确；由中点公式知道C正确，而△DNE∽△BNA，所以＝BANB→→→→→11＝，所以AE＝AD＋DE＝AD＋AB，故D错误．

3312．[2014·福建高考]设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一→→→→点，则OA＋OB＋OC＋OD等于(

) →→→→A.OM

B．2OM

C．3OM

D．4OM

答案

D

12 →→→→→→→

→→→→→→→→→→→→解析

OA＋OB＋OC＋OD＝(OA＋OC)＋(OB＋OD)＝2OM＋2OM＝4OM.故选D. →→→→→→→13. 如图，平面内有三个向量OA，OB，OC，其中OA与OB的夹角为120°，OA与OC的夹角为30°，且|OA|→→→→→＝|OB|＝1，|OC|＝23.若OC＝λOA＋μOB(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值为________．

答案

6 →→→|OC|＝4. cos30°解析

以OC为对角线，OA，OB的方向为边的方向作平行四边形ODCE(图略)．

→→由已知，得∠COD＝

30°，∠COE＝∠OCD＝90°.在Rt△OCD中，|OC|＝23，|OD|＝→→→→→→在Rt△OCE中，|OE|＝|OC|tan30°＝2.OD＝4OA

，OE＝2OB. →→→→→因为OC＝OD＋OE＝4OA

＋2OB，所以λ＝4，μ＝2.所以λ＋μ＝6. →→→14．设点O在△ABC内部，且有4OA＋OB＋OC＝0，求△ABC与△OBC的面积之比．

→→→解

取BC的中点D，连接OD，则OB＋OC＝2OD，

→→→1∵4OA＋OB＋OC＝0，∴4OA＝－(OB＋OC)＝－2OD，∴OA＝－OD.∴O、A、D三点共线，且|OD|＝2|OA

2∴O是中线AD上靠近A点的一个三等分点，∴S△ABC∶S△OBC＝3∶2. →→→→→→→→

13