2.用转化的策略求简单数列的和教学设计与反思

第七单元第2课时：解决问题的策略(2) 教学内容：苏教版义务教育教科书《数学》五年级下册第107～108页例2和“练一练”’，第109 - 110页练习十六第4～7题。

教学目标：

1．学生进一步感受和认识转化的策略，能根据一些算式的特点，采用转化策略用简便的方法计算得数；能发现一些计算的规律，并能应用规律简便计算。

2．学生经历采用转化策略使计算简单的体悟过程，进一步感受转化的思想方法，积累数学活动的基本经验，发展思维的灵活性和敏捷性。

3．学生在获得策略体验的过程中，感受转化策略的价值，增强策略意识；在应用转化中感受计算规律，产生学习数学的兴趣；受到事物可以互相转化观点的熏陶。

教学重点：用转化策略解决相关计算。

教学难点：理解算式转化的依据和方法。

教学过程：

一、复习谈话，引入新课

1、昨天，我们学习了一种新的解决问题的策略，是什么策略？（板书：转化）

我们一起来看这一题。

2、出示：用分数表示图中的涂色部分（教科书第109页第2题的第3幅图）

谁来说说解决这个问题可以怎样思考的？

预设（1）：通过平移、旋转得到

（2）：看空白部分……

小结：好的，运用转化的策略，可以帮助我们快速准确地解决这个问题。今天这节课，我们继续学习解决问题的策略，主要研究一些计算问题的转化策略，发现一些转化的具体方法，获得一些计算的规律，使一些计算比较简便。

二、组织研学，探究策略

1、了解特点，计算结果。

1

1111出示例2：

＋

＋

＋ 24816仔细观察这道算式，你有什么发现？

预设（1）：4个分数连加，每个分数的分子都是1。

（2）：分母是有规律排列的，依次是2,2×2,2×2×2,2×2×2×2。

相邻两个分数之间有什么关系？

（如果学生没有发现，教师引导观察）为了看得更清楚，可以用画图来表示。1把正方形看作单位“1”，那

怎么表示？（出示）

21好的，这里的涂色部分是

，那空白部分呢？

2111那

怎么表示呢？

呢？

呢？

481611111通过画图，我们很清楚地看出

是

的——（一半），

是

的——（一半），

4284161是

的——（一半）。

82、独立计算，尝试转化

你会计算这些分数连加的和吗？（学生独立尝试计算）

交流：你是怎样计算的？（板书算式和计算过程）

1111预设（1）：

＋

＋

＋ 248168421＝

＋

＋

＋ 1616161615 ＝ 16

2

是这样计算的同学举手。

好的。同学们都是先通分再计算的。先通分，实际上用了什么策略？

是的。先通分再计算，实际上是把异分母分数加法转化成了同分母分数加法，使算式可以直接计算得数。这也是一种转化。

1111115有不同的计算方法吗？预设（2）：

＋

＋

＋

＝1－

＝ 248161616明明是一道加法算式，怎么会变成一道减法算式的？谁来指着图再解释一遍？

这些分数的和是这幅图中的什么？

1111对啊，从1里减去空白部分，就是这幅图中的涂色部分。因此，

＋

＋

＋

24816的和就等于1－115

，等于

。

1616预设（2）：没有其他方法

那这个算式能不能转化成更简单的，使计算变得更方便呢？我们一起来看刚才这幅图。

思考：我们把正方形看作单位“1”，空白部分占大正方形的几分之几？把算式和图形联系起来想一想，原来的算式可以怎样转化？先独立思考，再在小组里交流。

谁先说说你的想法？

预设（1）：空白部分占大正方形的1

。

161（2）涂色部分是大正方形的（1－

）这样，原来的算式可以转化成——（116－1

）。请大家用转化后的算式算一算，看看与原来的计算结果是否相同。

163、回顾反思，体会转化。

3

111115回顾解决问题的过程，我们用两种方法都计算出

＋

＋

＋

等于

。比2481616较这两种方法，有什么共同的地方？（都运用了转化的方法）

第二种方法，转化以后的计算和原来比，有什么不同的感觉？（板书：复杂的算式

简单

的算式）

我们是通过什么来找到转化的方法的？

1111小结：

＋

＋

＋

这个连加算式的加数是有特点和规律的，我们根据加数24816的特点，通过画图，数形结合，快速找到了转化的方法。（板书：画图 数形结合）

三、巩固练习，内化提升

1、“练一练”第1题。

按照这个连加算式中数据的特点，再加一个数。

11111出示：

＋

＋

＋

＋ 2481632这个算式的结果是多少？你怎么想到的？（结合学生回答出示相应的图）

是这样想的举手。

好的，那再加一个数呢？

111111出示：

＋

＋

＋

＋

＋ 248163264这个算式的结果又是多少？你怎么想到的？（结合学生回答出示相应的图）

和他一样想的同学举手。

那如果再加一个数，你觉得这次要加几了？

1111111出示：

＋

＋

＋

＋

＋

＋ 248163264128这个算式的结果又是多少？你怎么想到的？

4

也就是说你脑子中有一幅图，是吧？（PPT出示图，再次理解）

像这样的连加算式，可以怎样转化？你发现什么规律了吗？

1小结：像这样从

起，依次加上前一个分数一半的数，都可以转化成1减最后2一个加数的减法来计算。

那为什么不选择通分转化成同分母分数再计算？

是的，有些问题，换个角度思考更为简单。

2、“练一练”第2题。

(1)15＋16＋17＋18＋19＋20＋21＋22＋23＋24 这些数据有什么特点？（连续自然数相加）

10个连续自然数相加，按原来的运算顺序应该怎样计算？

（2）能不能转化成其他式子呢？（学生独立尝试）

（3）汇报交流：你是怎样想的？又是怎样计算的？

预设（1）：15＋16＋17＋18＋19＋20＋21＋22＋23＋24 ＝（15＋24）＋（16＋23）＋（17＋22）＋（18＋21）＋（19＋20）

＝39×5 ＝195 还有不同的计算方法吗？

预设（2）：15＋16＋17＋18＋19＋20＋21＋22＋23＋24 ＝（15＋24）×10÷2 能说说这个算式的意思吗？

引导学生理解：（PPT出示）我们可以用图来表示。

我们用一个圆表示1。

15 ○○○○○○○○○○○○○○○

16 ○○○○○○○○○○○○○○○○

17 ○○○○○○○○○○○○○○○○○

18 ○○○○○○○○○○○○○○○○○○

5

19 ○○○○○○○○○○○○○○○○○○○

20 ○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○

21 ○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○

22 ○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○

23 ○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○

24 ○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○

看到这里，你想到什么？（梯形）

我们把下面的五行倒过来放在右边，这时，每一行就是39，有这样的5行。

（PPT出示：

引导学生理解：5个39）

（4）提问：几个连续自然数相加，转化成怎样的式子计算比较简便？

小结：几个连续自然数相加，可以按梯形面积的计算公式，把首尾两个数相加的和，乘自然数的个数几，再除以2，就可以得到这几个自然数相加的和。这样转化成的式子计算起来比较万便。

3、练习十六第5题

（1）出示：75＋76＋77＋78＋79＋80＋81＋82＋83 有什么特点？

也是连续自然数的和，与刚才那个算式有什么不同？（偶数个 奇数个）

数一数，发现9个。

（2）那能不能也用转化的策略来计算它们的和？（学生独立尝试计算）

（3）组织交流：你是怎样想的？又是怎样计算的？

预设（1）：75＋76＋77＋78＋79＋80＋81＋82＋83 ＝（75＋83）×4＋79 有没有疑问？对不对？

预设（2）：75＋76＋77＋78＋79＋80＋81＋82＋83 ＝（75＋83）×9÷2

6

＝ 711 （结合学生回答，出示梯形图，引导学生再次理解）

（4）这9个数的平均数是多少？算一算。

组织交流：怎样算的？（板书算式，平均数）

启发：观察算式，想想怎样可以快速找到这9个数的平均数？（引导学生观察：连续自然数从两端起，每两个一组地把两个数相加，得数都是相等的，所以首尾两个数的平均数，就是这些连续自然数的平均数。）

请你用这样的方法算出这9个数的平均数，和上面求出的比比，看是不是一样的。

追问：这里的平均数是这组数里的哪个数？为什么它就是最中间的79？（了解从首尾起每两个一组地加，剩下的就是最中间的这个79，它是一组数里两个数的平均数）

如果这里连续自然数的个数是偶数，那平均数是什么数？

指出：像这样的几个连续自然数，把首尾两个数相加除以2所得的商，就是这组自然数的平均数；如果自然数的个数是奇数，那平均数就是这组自然数最中间的那个数。

那知道了这组数的平均数，你还能想到其他的简便算法吗？（再求这9个数的和，只要怎样？）（79×9）

小结：联系平均数的知识，这道计算题也可以直接转化成79×9来计算。

4、练习十六第7题。

(1)（出示）1＋3＋5＋7＋9＋11 仔细观察，这个算式中的加数有什么特点？

从几开始的连续奇数？

（2)这几个连续奇数的和，你准备怎么做？（学生独立尝试计算）

交流：你是怎样计算的？

预设（1）：（1＋11）×6÷2 追问：想到什么？（梯形的面积）

预设（2）：（1＋11）＋（3＋9）＋（5＋7）

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反馈：分组的方法，可以吗？

(3)估计学生想不到平方数这一计算方法，教师引导：1＋3等于？（4），4＋5等于？（9），9＋7等于？（16）。4、9、16，想到什么？（平方数）

平方数，有的同学理解起来有的困难，我们一起请出图形。

PPT依次出示： 一个正方形

1＋3＝4＝2×2

1＋3＋5＝9＝3×( )

1＋3＋5＋7＝( )＝( )×( )

平方数,分别是几的平方? 引导再次观察: ①几个连续奇数相加?几的平方? ②也就是说，从1起的几个连续奇数相加，和是几的平方，只要看什么？

小结：是的，从1起的几个连续奇数相加，可以转化成几乘几的积计算得数。也就是说，从l起的几个连续奇数相加的和，等于几的平方数。这个几的平方数，只要看连续奇数的个数。

所以这道题就可以转化成什么？（PPT：＝6×6＝36）为什么？

(2)根据上面的规律用简便方法计算。

8 1＝1×1

1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17＋19 指名回答，说想法。

5、练习十六第6题。

（1）学生了解题意。

什么叫“单场淘汰制”呢？谁来解释一下？

PPT出示：如果有4支球队，○ ○ ○ ○

○ ○

○

引导理解两个球队比赛一场，赢的球队再比赛，最后剩一支球队就是冠军。

（2）8支足球队参加比赛，PPT出示图。

○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○

○ ○ ○ ○

○ ○

○

通过画图，正面思考，发现要决出冠军，一共要比赛7场。

还可以怎样思考？

8-1=7（场），为什么？说说你的想法。

小结：当从正面思考数量关系比较复杂时，不妨从反面思考，把计算转化成求淘汰了多少支球队，就可以方便地解决的问题。

那如果有16支球队比赛，用淘汰制比赛，产生冠军要进行多少场比赛？32支球队呢？

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四、总结全课

今天在转化策略里主要学习的什么内容？你有哪些收获？

你还发现了哪些数学规律？和同学互相说一说。

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