3.1.2 概率的意义教案和学案内容

3.1.2 概率的意义

●三维目标

1．知识与技能

(1)理解概率的含义并能通过大量重复试验确定概率．

(2)能用概率知识正确理解和解释现实生活中与概率相关的问题．

2．过程与方法

(1)经历用试验的方法获得概率的过程培养学生的合作交流意识和动手能力．

(2)在由“试验形成概率的定义”的过程中培养学生分析问题能力和抽象思维能力．

3．情感、态度与价值观

(1)利用生活素材和数学史上著名例子，激发学生学习数学的热情和兴趣．

(2)结合随机试验的随机性和规律性，让学生了解偶然性寓于必然性之中的辩证唯物主义思想．

●重点难点

重点：理解概率的意义．

难点：用概率的知识解释现实生活中的具体问题．

教学时要抓知识选择的切入点，从学生原有的认知水平和所需的知识特点入手，引导学生结合初中学习过的概率知识，不断地观察、比较、分析身边的具体实例总结出概率的实际意义从而强化了重点．

在课堂上，对于教师或学生提出的数学问题，通过学生与学生或学生与教师之间相互讨论、相互学习，在问题解决过程中发现规律、建立概念，通过例题与练习让学生在应用概率解决问题的过程中更深入地理解概率在现实生活中的作用从而化解了难点．

●教学建议

本节课建议主要采用实验探究式的教学方法，引导学生对身边的事件加以注意、分析，指导学生做简单易行的实验．为了达到好的教学效果，以启发为主，分层次设置问题，加入适量的情景设置，运用实验探究展开课堂，对问题采用多种展示手法，以学生为主，让学生分组讨论，合作学习，探究学习．课堂是个不断变化的过程，要因时因事而变，灵活把握，因材施教．

逐步完善学生对数据处理的认知结构．让学生动口说、动脑想、自主探究、合作交流，初步形成用数据进行推断的思考方式，养成尊重事实、用数据说话的态度，能明智地应付变化和不确定性，自信而理智地面对充满信息和变化的世界．

●教学流程

创设情境引入新课：明天下雨的可能性为95%，明天一定下雨吗？怎样理解这句话

⇒引导学生结合初中所学的概率知识分析、思考概率的意义⇒通过引导学生回答所提问题给出概率的意义⇒通过例1及其变式训练学生能初步掌握现实生活中的一些概率问题的合理解释

⇒通过例2及变式训练使学生掌握现实生活中的公平性的判断方法⇒通过例3及变式训练，进一步巩固了概率与频率的关系掌握了求概率的基本方法⇒归纳整理，进行小结，使学生从整体上把握本节知识完成当堂双基达标，巩固所学知识，并进行反馈矫正

课标解读

【问题导思】

有人说，既然抛掷一枚硬币出现正面的概率为0.5，那么连续两次掷一枚质地均匀的硬币一定是一次正面朝上，一次反面朝上．你认为这种想法正确吗？

【提示】

这种想法是错误的．概率是大量试验得出的一种规律性结果，对具体的几次试验不一定体现出这种规律．

随机事件在一次试验中发生与否是随机的，但随机性中含有规律性，认识了这种随机性中的规律性，就能比较准确地预测随机事件发生的可能性.

【问题导思】

甲、乙两人做游戏，从装有3个白球1个黑球的袋子中任取1球，如果是白球，甲胜；否则乙胜．试问这个游戏对两个人来说公平吗？

【提示】

不公平．甲获胜机会大．

1．裁判员用抽签器决定谁先发球，不管哪一名运动员先猜，猜中并取得发球的概率均为0.5，所以这个规则是公平的．

2．在设计某种游戏规则时，一定要考虑这种规则对每个人都是公平的这一重要原则.

【问题导思】

“昨天没有下雨，而天气预报说昨天降水的概率为90%.这说明预报是错误的”这种说天气预报的概率解释

游戏的公平性

对概率的正确理解

1.通过实例进一步理解概率的意义．(重点) 2.能用概率的意义解释生活中的事例．(难点) 3.了解概率在其他领域中的统计规律. ⇒

法科学吗？

【提示】

不科学．

天气预报的“降水”是一个随机事件，“概率为90%”指明了“降水”这个随机事件发生的概率为90%.在一次试验中，概率为90%的事件也可能不出现，因此，“昨天没有下雨”并不能说明“昨天的降水概率为90%”的天气预报是错误的. 决策中的概率思想

如果我们面临的是从多个可选答案中挑选正确答案的决策任务，那么“使得样本出现的可能性最大”可以作为决策的准则，这种判断问题的方法称为极大似然法，极大似然法是统计中重要的统计思想方法之一.

正确理解概率的意义

某种病治愈的概率是0.3，那么前7个人没有治愈，后3个人一定能治愈吗？如何理解治愈的概率是0.3? 【思路探究】

正确理解随机事件概率的意义，纠正日常生活中出现的一些错误认识是解决本题的关键．

【自主解答】

如果把治疗一个病人作为一次试验，“治愈的概率是0.3”指随着试验次数的增加，即治疗人数的增加，大约有30%的人能够治愈，对于一次试验来说，其结果是随机的，因此前7个病人没有治愈是可能的，对后3个人来说，其结果仍然是随机的，有可能治愈，也可能没有治愈．

治愈的概率是0.3，指如果患病的人有1 000人，那么我们根据治愈的频率应在治愈的概率附近摆动这一前提，就可以认为这1 000个人中大约有300人能治愈．

随机事件在一次试验中发生与否是随机的，但随机中含有规律性，而概率恰是其规律性在数量上的反映，概率是客观存在的，它与试验次数、哪一个具体的试验都没有关系．

某射手击中靶心的概率是0.9，是不是说明他射击10次就一定能击中9次靶心了？

【解】

概率是经过大量的重复试验得出的一个统计值，但作为单独的一次或多次试验而言，很有可能该事件不发生或发生的可能性与大量试验的值相差很大．从概率统计的定义出发，击中靶心的概率是0.9，并不意味着射击10次就一定能击中9次，只有进行大量射击

99试验时，击中靶心的次数约为n(其中n为射击次数)且n越大，击中的次数就越接近n. 1010

游戏公平性的判断

如图3－1－1所示，有两个可以自由转动的均匀转盘A、B.转盘A被平均分成3等份，分别标上1,2,3三个数字；转盘B被平均分成4等份，分别标上3,4,5,6四个数字．有人为甲、乙两人设计了一个游戏规则：自由转动转盘A与B，转盘停止后，指针各指向一个数字，将指针所指的两个数字相加，如果和是6，那么甲获胜；否则乙获胜．你认为这样的游戏规则公平吗？如果公平，请说明理由；如果不公平，怎样修改规则才能使游戏对双方公平？

图3－1－1 【思路探究】

因为只有甲、乙二人参加游戏，所以要判断规则是否公平，只需看两转1盘数字和为6的概率是否为，若是，则公平；若不是，则不公平．

2

【自主解答】

列表如下：

A B 1

2

3

3

4

5

6

4

5

6

7

5

6

7

8

6 7 8 9 由表可知，等可能的结果有12种，和为6的结果只有3种．

31因为P(和为6)＝＝，即甲、乙获胜的概率不相等，所以这种游戏规则不公平．

124如果将规则改为“和是6或7，则甲胜，否则乙胜”，那么游戏规则就是公平的．

1．由题意列出表格，各种结果在表中一目了然，使得本题的解答更简易、方便．

2．利用概率的意义可以判定游戏规则，在各类游戏中，如果每个人获胜的概率相等，那么游戏就是公平的．这就是说，要保证所制定的游戏规则是公平的，需保证每人获胜的概率相等．

元旦就要到了，某校将举行庆祝活动，每班派1人主持节目．高一(2)班的小明、小华和小利实力相当，又都争着要去，班主任决定用抽签的方式决定，机灵的小强给小华出主意，要小华先抽，说先抽的机会大，你是怎样认为的？说说看．

【解】

其实抽签不必分先后，先抽后抽，中签的机会是一样的．我们取三张卡片，上面标上1,2,3，抽到1就表示中签，设抽签的次序为甲、乙、丙，则可以把情况填入下表：

情况人名

甲

乙

丙

一

1

2

3

二

1

3

2

三

2

1

3

四

2

3

1

五

3

1

2

六

3 2 1 从上表可以看出：甲、乙、丙依次抽签，一共有六种情况，第一、二两种情况，甲中签；第三、五两种情况，乙中签；第四、六两种情况，丙中签．甲、乙、丙中签的可能性都是相同的，即甲、乙、丙的机会是一样的，先抽后抽，机会是均等的，不必争先后.

概率的应用

为了估计水库中鱼的尾数，使用以下的方法：先从水库中捕出2 000尾鱼，给每尾鱼做上记号，不影响其存活，然后放回水库．经过适当的时间，让其和水库中的其他鱼充分混合，再从水库中捕出500尾，查看其中有记号的鱼，有40尾，试根据上述数据，估计水库中鱼的尾数．

【思路探究】

这实际上是概率问题，即2 000尾鱼在水库中占所有鱼的百分比．捕出40的500尾鱼中带记号的鱼有40尾，就说明水库所有的鱼中，带记号的鱼的概率约为，问500题可解．

【自主解答】

设水库中鱼的尾数是n(n∈N*)，每尾鱼被捕到的可能性相等，给2 0002 000尾鱼做上记号后，从水库中任捕一尾鱼，带记号的概率为.又从水库中捕500尾鱼，有n402 0004040尾带记号，于是带记号的频率为.则有≈，解得n≈25 000.所以估计水库中有500n500

25 000尾鱼．

此类题主要考查概率与频率的关系及由样本数据估计总体的能力，解题的关键是假定每个样本被抽取的可能性是相等的，可用样本的频率近似估计总体的概率，或由此列出方程，求出总体．

某家具厂为某运动中心生产观众座椅．质检人员对该厂所产2 500套座椅进行抽检，共抽检了100套，发现有5套次品，试问该厂所产2 500座椅中大约有多少套次品？

【解】

设有n套次品，由概率的统计定义可知，

n5＝，解得n＝125. 2 500100故该厂所产2 500套座椅中大约有125套次品.

不理解概率的意义致误

已知某厂的产品合格率为90%，现抽出10件产品检查，则下列说法正确的是(

) A．合格产品少于9件

B．合格产品多于9件

C．合格产品正好是9件

D．合格产品可能是9件

【错解】

产品的合格率是90%，是指产品中有90%的产品是合格的，故抽出的10件产品中，合格产品正好为9件，故应选C. 【答案】

C 【错因分析】

因不理解概率的意义而错选C. 【防范措施】

一个事件的概率是通过大量的重复试验得到的，其反映了该随机事件发生的可能性大小，因此在本题中“抽出10件产品”相当于做了10次试验，而每次试验结果可能是正品，也可能是次品．故只有D正确．

【正解】

合格产品可能为90%×10＝9，故选D. 【答案】

D

1．概率是描述随机事件发生的可能性大小的一个数量，即使是大概率事件，也不能肯定事件一定会发生，只能认为事件发生的可能性大．

2．孟德尔通过试验、观察、猜想、论证，从豌豆实验中发现遗传规律是一种统计规律，这是一种科学的研究方法，我们应认真体会和借鉴．

3．利用概率思想正确处理和解释实际问题，是一种科学的理性思维，在实践中要不断巩固和应用，提升自己的数学素养.