小结多媒体教学设计及其点评

《空间向量与立体几何小结》第二课时

辉县市第二高级中学 闫寿强

一、学习目标：

1.熟练掌握空间向量的四种运算（包括坐标形式）

2.能灵活选择向量法、坐标法解决立体几何问题。

二、学习重难点：

重点：

利用向量解决立体几何问题 难点：

法向量的确定，角的转化

三、学习过程：

第一部分

阅读导学

知识梳理：

1.

利用空间向量求空间角

(1)．求两条异面直线所成的角

设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则

范围

l1与l2所成的角θ

π0<θ≤

2cos θ＝|cos〈a，b〉|＝关系

|a·b|

|a||b|a与b的夹角〈a，b〉

0〈a，b〉π

a·bcos〈a，b〉＝

|a||b|

(2).求直线与平面所成的角

设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为θ，则

sin θ＝|cos〈a，n〉|＝(3)．求二面角的大小

①若AB、CD分别是二面角α-l-β的两个面内与棱l垂直的异面直线，则二面角的大小就是→→向量AB与CD的夹角①)．

②设n1，n2分别是二面角α-l-β的两个面α，β的法向量，则向量n1与n2的夹角(或其补角)的大小就是二面角的平面角的大小(如图②③)．

1 |a·n|. |a||n|

2．运用空间向量求空间距离

（1）点与面距离的求解步骤是：

①求出该平面的一个法向量；

②求出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量；

③求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即得要求的点面距离．

①点到平面的距离h:如图，设n是平面的法向量，

AP是平面的一条斜线，其中A，

则点P到平面的距离hPhOn|APn||n|

A（2）线面距离、面面距离都是求一点到平面的距离；

（3）异面直线的距离：求出与二直线都垂直的法向量n

和连接两异面直线上两点的向量NM，再代上面距离公式. 第二部分

自学检测

1．在空间直角坐标系中，已知点P（x，y，z），下列叙述中正确的个数是

（ ）

①点P关于x轴对称点的坐标是P1（x，－y，z） ②点P关于yOz平面对称点的坐标是P2（x，－y，－z） ③点P关于y轴对称点的坐标是P3（x，－y，z） ④点P关于原点对称的点的坐标是P4（－x，－y，－z）

A.3 B.2 C.1 D.0 2．

直三棱柱A1B1C1—ABC，∠BCA=90°，D1、F1分别是A1B1、A1C1的中点，BC=CA=CC1，则BD1与AF1所成角的余弦值是 （

）

1A．30 B. C．30 D．15

21010153．已知向量a=（1，1，0），b=（－1，0，2），且ka＋b与2a－b互相垂直，则k=

___ 4． 已知A（3，2，1）、B（1，0，4），则线段AB的中点坐标和长度分别是 ， . 5.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是棱CD,CC1的中点,则异面直线A1M与DN所成的角的大小是

.

2

第三部分

合作探究

1.已知正方形ABCD的边长为1，PD平面ABCD，且PD=1，

E、F分别为AB、BC的中点。

①

求证：PEAF；

②

求点D到平面PEF的距离；

③

求直线AC到平面PEF的距离；

④

求直线PA与EF所成的角；

⑤

求PA与平面PEF所成角的正弦值；

P ⑥

求二面角A-PE-F的余弦值。

D C F A E B 3

2、如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，

CACBCDBD2,ABAD2.

⑴求证：AO平面BCD；

⑵求异面直线AB与CD所成角余弦的大小；

⑶求点E到平面ACD的距离．

四、课堂总结

1.求线线角、线面角、二面角的方法：

2．求点面距离，线面距离、面面距离及异面直线的距离的方法：

3.用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”。

五、当堂检测 1.给出下列命题：

→→①若AB＝CD，则必有A与C重合，B与D重合，AB与CD为同一线段；

②若a·b<0，〈a，b〉是钝角； ③若a是直线l的方向向量，则λa(λ∈R)也是l的方向向量；

④非零向量a，b，c满足a与b，b与c，c与a都是共面向量，则a，b，c必共面．

其中错误命题的个数是

(

)

A．1

B．2

C．3

D．4

2:已知ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，PD=AD=2. ⑴求PC与平面PBD所成的角；⑵求点D到平面PAC的距离；

⑶在线段PB上是否存在一点E，使PC⊥平面ADE？若存在，

确定E点的位置，若不存在，说明理由.

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