1.2.2 条件语句教案教学设计

专题四

数列

第一讲

等差数列与等比数列

一、非标准

1.如果在等比数列{an}中,a3·a4·a5·a6·a7=4

,那么a5等于(

) A.2

B.

C.±2

D.±

解析:由题意得

,a5=

,故选B.

答案:B 2.在等差数列{an}中,若a3+a5+a7+a9+a11=100,则3a9-a13的值为(

) A.20

B.30

C.40

D.50 解析:设数列{an}的公差为d.

∵a3+a5+a7+a9+a11=100, ∴5a7=100.∴a7=20.

∴3a9-a13=3(a7+2d)-(a7+6d)=2a7=40.

故选C.

答案:C 3.(2013江西南昌一模,3)在数列{an}中,若a1=-2,且对任意的n∈N*有2an+1=1+2an,则数列{an}前10项的和为(

) A.5

B.10

解析:由2an+1=1+2an,得an+1-an=

, 所以S10=10×(-2)+答案:C

-

C.

D.

所以数列{an}是首项为-2,公差为

的等差数列.

.选C.

4.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且

,则

等于(

) A.

B.

C.

D.

解析:设a1+a2+a3+a4=A1,a5+a6+a7+a8=A2, a9+a10+a11+a12=A3,a13+a14+a15+a16=A4.

∵{an}为等差数列, ∴A1,A2,A3,A4也成等差数列.

∵

,

不妨设A1=1,则A2=2,A3=3,A4=4,

,故选D.

答案:D

5.(2013广东惠州第三次调研,6)设{an}是公差为正数的等差数列,若a1+a2+a3=15,且a1a2a3=80,则a11+a12+a13等于(

) A.120

B.105

C.90

D.75 解析:设数列{an}的公差为d(d>0), 由a1+a2+a3=15,得a2=5.

由a1a2a3=80,得a1a3=(5-d)(5+d)=16, 即25-d2=16,d=3.

所以a1=2.a11+a12+a13=3a1+33d=6+99=105.

故选B.

1

答案:B 6.(2013课标全国Ⅱ高考,理3)等比数列{an}的前n项和为Sn.已知S3=a2+10a1,a5=9,则a1=(

) A.

B.-

C.

D.-

解析:设数列{an}的公比为q,若q=1,则由a5=9,得a1=9,此时S3=27,而a2+10a1=99,不满足题意,因此q≠1.

∵q≠1时,S3=∴

-

-

-

-

=a1·q+10a1, =q+10,整理得q2=9.

∵a5=a1·q4=9,即81a1=9,∴a1=

.

答案:C 7.已知等差数列{an}满足a2=3,a5=9,若数列{bn}满足b1=3,bn+1=

,则数列{bn}的通项公式bn等于(

) A.2n-1

B.2n+1 C.2n+1-1

D.2n-1+2 解析:设等差数列{an}的公差为d,则有d=所以an=a2+(n-2)d=2n-1.

又因为bn+1=

,所以有bn+1=2bn-1.

bn+1-1=2(bn-1),而b1-1=2≠0, 因此数列{bn-1}是首项为2,公比为2的等比数列, 于是有bn-1=2×2n-1=2n,bn=2n+1,选B.

答案:B 8.(2013北京高考,理10)若等比数列{an}满足a2+a4=20,a3+a5=40,则公比q=

;前n项和Sn=

.

解析:根据等比数列的性质知a3+a5=q(a2+a4), ∴q=2,又a2+a4=a1q+a1q3,故求得a1=2, ∴Sn=

-

-

-

-

=2.

=2n+1-2.

答案:2

2-2 9.等比数列{an}的前n项和为Sn,公比不为1.若a1=1,且对任意的n∈N*都有an+2+an+1-2an=0,则S5=

.

解析:设等比数列{an}的公比为q, 则an+2+an+1-2an=a1·qn+1+a1·qn-2a1·qn-1=0, 即q2+q-2=0,解得q=-2,q=1(舍去),所以q=-2.

故S5=

-

-

-

-

n+1=11.

答案:11 10.已知等比数列{an}为递增数列.若a1>0,且2(an+an+2)=5an+1,则数列{an}的公比q=

.

解析:∵等比数列{an}为递增数列,且a1>0,∴公比q>1.

又∵2(an+an+2)=5an+1,∴2an+2anq2=5anq.

∵an≠0,∴2q2-5q+2=0.

∴q=2或q=

(舍去).∴q=2.

答案:2 11.已知数列{an}的前n项和Sn=-n2+24n(n∈N*).

(1)求{an}的通项公式;

2

(2)当n为何值时,Sn达到最大?最大值是多少? 解:(1)n=1时,a1=S1=23.

n≥2时,an=Sn-Sn-1=-n2+24n+(n-1)2-24(n-1)=-2n+25.

经验证,a1=23符合an=-2n+25, ∴an=-2n+25(n∈N*).

(2)方法一:∵Sn=-n2+24n, ∴n=12时,Sn最大且最大值为144.

方法二:∵an=-2n+25,若要Sn达到最大,则需

an=-2n+25>0,即n<

.

∴a12>0,a13<0.

故S12最大,最大值为144.

12.已知{an}是等比数列,a1=2,且a1,a3+1,a4成等差数列.

(1)求数列{an}的通项公式; (2)若bn=log2an,求数列{bn}的前n项和Sn.

解:(1)设数列{an}的公比为q, 则a3=a1·q2=2q2,a4=a1·q3=2q3.

∵a1,a3+1,a4成等差数列, ∴a1+a4=2(a3+1),即2+2q3=2(2q2+1), 整理得q2(q-2)=0.

∵q≠0,∴q=2.∴an=2×2n-1=2n(n∈N*).

(2)∵bn=log2an=log22n=n, ∴Sn=b1+b2+…+bn=1+2+…+n=

.

13.已知等差数列{an}前三项的和为-3,前三项的积为8.

(1)求等差数列{an}的通项公式; (2)若a2,a3,a1成等比数列,求数列{|an|}的前n项和.

解:(1)设等差数列{an}的公差为d, 则a2=a1+d,a3=a1+2d, 由题意得

-

解得

-

或

-

所以由等差数列通项公式可得

an=2-3(n-1)=-3n+5,或an=-4+3(n-1)=3n-7.

故an=-3n+5或an=3n-7.

(2)当an=-3n+5时,a2,a3,a1分别为-1,-4,2,不成等比数列,不满足条件; 当an=3n-7时,a2,a3,a1分别为-1,2,-4,成等比数列,满足条件.

故|a-

n|=|3n-7|=

-

记数列{|an|}的前n项和为Sn.

当n=1时,S1=|a1|=4; 当n=2时,S2=|a1|+|a2|=5; 当n≥3时,

3

Sn=S2+|a3|+|a4|+…+|an|=5+(3×3-7)+(3×4-7)+…+(3n-7)=5+满足此式.

综上,Sn=

-

-

-

n2-n+10,当n=2时,

4