二次根式的混合运算教学设计方案

学习目标

1．了解二次根式的混合运算顺序；

2．会进行二次根式的混合运算．(重点、难点)

教学过程

一、情境导入

如果梯形的上、下底边长分别为2 cm，4cm，高为 cm，那么它的面积是多少？

毛毛是这样算的：

梯形的面积：(2 ＋4 )×

＝( ＋2 )×

＝×＋2 ×＝＋2 ＝2 ＋6 (cm2)．

他的做法正确的吗？

二、合作探究

探究点一：二次根式的混合运算

【类型一】

二次根式的混合运算

计算：

(1) ÷

－ ×

＋

；

(2) ÷ ×

－ .

解析：(1)先算乘除，再算加减；(2)先计算第一部分，把除法转化为乘法，再化简．

解：(1)原式＝

－

＋

＝4－

＋2 ＝4＋

；

(2)原式＝ ×

－5 ＝ ×

－5 ＝ ×

－5 ＝

－5 ＝－ .

方法总结：二次根式的混合运算与实数的混合运算一样，先算乘方，再算乘除，最后算加减，如果有括号就先算括号里面的．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第8题

【类型二】

运用乘法公式进行二次根式的混合运算

计算：

(1)( ＋ )( － )；

(2)(3 －2 )2－(3 ＋2 )2.

解析：(1)用平方差公式计算；(2)逆用平方差公式计算．

解：(1)( ＋ )( － )＝( )2－( )2＝5－3＝2；

(2)(3 －2 )2－(3 ＋2 )2＝(3 －2 ＋3 ＋2 )(3 －2 －3 －2 )＝－24.

方法总结：多项式的乘法公式在二次根式的混合运算中仍然适用，计算时应先观察式子的特点，能用乘法公式的用乘法公式计算．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第7题

【类型三】

二次根式的化简求值

先化简，再求值：＋ (x>0，y>0)，其中x＝

＋1，y＝－1.

解析：首先根据约分的方法和二次根式的性质进行化简，然后再代值计算．

解：原式＝＋＝＋＝ .

x＝＋1，y＝－1，∴x＋y＝2 ，xy＝3－1＝2，∴原式＝＝ .

方法总结：在解答此类代值计算题时，通常要先化简再代值，如果不化简，直接代入，虽然能求出结果，但往往导致烦琐的运算．化简求值时注意整体思想的运用．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第8题

【类型四】

二次根式混合运算的应用

一个三角形的底为6 ＋2 ，这条边上的高为3 －

，求这个三角形的面积．

解析：根据三角形的面积公式进行计算．

解：这个三角形的面积为 (6 ＋2 )(3 － )＝ ×2×(3 ＋ )(3 － )＝(3 )2－( )2＝27－2＝25.

方法总结：根据题意列出关系式，计算时注意观察式子的特点，选取合适的方法求解，能应用公式的尽量用公式计算．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第10题

探究点二：二次根式的分母有理化

【类型一】

分母有理化

计算：

(1)；

(2)＋ .

解析：(1)把分子、分母同乘以

，再约分计算；(2)把

的分子、分母同乘以

－

，把

的分子、分母同乘以

＋

，再运用公式计算．

解：(1) ＝

＝

＝

＋

；

(2)＋＝

＋

＝

＋

＝5－2 ＋5＋2 ＝10.

方法总结：把分母中的根号化去就是分母有理化，分母有理化时，分子、分母应同乘以一个适当的式子，如果分母只有一个二次根式，则乘以这个二次根式，使得分母能写成

·

的形式；如果分母有两项，分子、分母乘以一个二项式，使得能运用平方差公式计算．如分母是

＋，则分子、分母同乘以

－.

【类型二】

分母有理化的逆用

比较－

与

－

的大小

解析：把

－

的分母看作“1”，分子、分母同乘以

＋

；把

－

的分母看作“1”，分子、分母同乘以

＋

，再根据“分子相同的两个正分数比较大小，分母大的反而小”，得到它们的大小关系．

解：

－

＝＝

，

－

＝＝ . ＋

＞

＋

＞0，

∴

＜

即

－

＜

－ .

方法总结：把分母为“1”的式子化为分子为“1”的式子，根据分母大的反而小可以比较两个数的大小．