二次根式的混合运算教学设计及课堂实录

第十六章

二次根式

16．1 二次根式

第1课时

二次根式的概念

教学目标

1．理解二次根式的概念．

2．理解并掌握二次根式有意义的条件．

预习反馈

阅读教材P2～3，完成下列的问题．

知识探究

平方根的性质：

正数有2个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．

思考：用带有根号的式子填空，看看写出的结果有什么特点：

(1)面积为S的正方形的边长为____________；

2(2)要修建一个面积为6.28 m的圆形喷水池，它的半径约为____________m；

(3)一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t(单位：s)与开始落下时离地面的高度h(单位：m)满足关2系h＝5t.如果用含有h的式子表示t，那么t＝____________．

在上面的问题中，结果分别是S，2，h，它们都表示一些正数的算术平方根．

5一般地，我们把形如a(a≥0)的式子叫做二次根式，“

”称为二次根号．

【点拨】

开平方时，被开方数a的取值范围是a≥0．(为什么？) 自学反馈

1．下列式子，哪些是二次根式？哪些不是二次根式？

11342，3，，x(x>0)，0，2，－2，，x＋y(x≥0，y≥0)．

xx＋y是二次根式的有：2，x(x>0)，0，－2，x＋y(x≥0，y≥0)；

1413不是二次根式的有：3，，2，．

xx＋y【点拨】

判断二次根式的依据是一个形式一个条件(被开方数为非负数)，二者缺一不可．

2．当a是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？

3a－1 a≥1 2a＋3 a≥－

23－a a≤3 5a a≥0 2－a a≤0 a

任意实数

－12

a>3 （a－1）

任意实数

3－aa＋1 任意实数

【点拨】

二次根式中求字母的取值范围的依据是：被开方数大于等于零．

名校讲坛

例

(1)(教材P2例1)当x是怎样的实数时，x－2在实数范围内有意义？

1(2)当x是怎样的实数时，2x＋3＋在实数范围内有意义？

x＋1【解答】

(1)x≥2. 3(2)x≥－且x≠－1. 2www.sjhzhb.com

第

1 页

共

9 页

2

【点拨】有二次根式的要考虑二次根式的被开方数大于等于零，有分母的要考虑分母不为零．

【跟踪训练】(《名校课堂》16.1第1课时习题)若2x－1＋1－2x＋1在实数范围内有意义，则x满足的条件是(C) 1A．x≥

21B．x≤ 2

1C．x＝

21D．x≠

2【点拨】当被开方数互为相反数时被开方数只能为零．

巩固训练

1．下列式子中，不属于二次根式的是(C) A.5

B.a 2

C.－7

D.1

22．已知a是二次根式，则a的值可以是(C) A．－2

B．－1

C．2

D．－7 3．已知一个正方形的面积是6，那么它的边长为6．

14．使式子有意义的x的取值范围是x＞2．

x－25．当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？

(1)1－x； (2)2x－3； (3)1＋x； (4)1－x. 3解：(1)x≤1.(2)x≥.(3)任意实数．(4)－1≤x≤1. 26．已知x，y都是实数，且y＝x－2＋2－x＋3，求x的值．

解：根据二次根式的定义：x－2≥0，2－x≥0，

y3所以x＝2，y＝3.则x＝2＝8. y22小结

1．二次根式的概念．

2．二次根式的判断方法．

3．怎样求二次根式的被开方数中字母的取值范围？

第2课时

二次根式的性质

教学目标

1．理解a(a≥0)是一个非负数．

222．理解二次根式的两个性质(a)＝a(a≥0)和a＝a(a≥0)．

3．会运用二次根式的性质进行有关计算和化简．

预习反馈

阅读教材P3～4，完成下列的问题．

知识探究

1．当a>0时，a表示a的算术平方根，因此a>0；

当a＝0时，a表示0的算术平方根，因此a＝0. 概括：一般地，a(a≥0)是一个非负数．

2．根据算术平方根的意义填空：

(1)(4)＝4；(2)＝2；(2221212)＝；(0)＝0．

332222（）＝；0＝0．

33概括：一般地，(a)＝a(a≥0)．

(2)2＝2；0.01＝0.01；222概括：一般地，a＝a(a≥0)．

22【点拨】二次根式的三个性质：(1)a(a≥0)是一个非负数；(2)(a)＝a(a≥0)；(3)a＝a(a≥0)．

自学反馈

1．计算：

www.sjhzhb.com

第

2 页

共

9 页

(1)(322)；(2)(35)；(3)(25272)；(4)(). 62357解：(1).(2)45.(3).(4). 264

2．化简：

(1)9；(2)（－4）；(3)25；(4)（－3）. 解：(1)3.(2)4.(3)5.(4)3. 3．代数式的概念：用基本运算符号(基本运算符号包括加、减、乘、除、乘方和开方)把数或表示数的字母连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式．

名校讲坛

例1

(教材P3例2)计算：(1)(1.5)；(2)(25). 【解答】

(1)1.5.(2)20. 例2

(教材P4例3)化简：(1)16；(2)（－5）. 【解答】

(1)4.(2)5. 【点拨】

一个非负数的算术平方根的平方等于它本身．一个负数的平方的算术平方根等于这个负数的相反数．

【跟踪训练】

说出下列各式的值：

(1)(5)；(2)2222221222（－）；(3)－（－π）；(4)(－0.2). 71解：(1)5.(2).(3)－π.(4)0.2. 7例3

(《名校课堂》16.1第2课时习题)下列式子不是代数式的是(C) A．3x 3B.

xC．x＞3

D．x－3 巩固训练

1．下列式子中，计算正确的是(C) A.－5＝－5

B．－3.6＝－0.6 22C.（－13）＝13

D．(－6)＝36 2．已知8n是整数，正整数n的最小值是(B)

A．4

B．2

C．3

2D．0

3．若实数a，b，c在数轴上的位置如图，则化简：a－|b－c|＝－a＋b－c．

4．若（x－3）＝3－x，则x的取值范围是x≤3．

5．已知一个圆柱体的体积为V，高为h，求它的底面半径r(用含有V和h的代数式表示)；求当V＝80π，h＝5时，底面半径r的值．

解：圆柱体的体积V＝πrh，所以r＝把V＝80π，h＝5代入上式，得r＝4. 课堂小结

二次根式的性质：

a(a≥0)是一个非负数；(a)＝a(a≥0)；a＝a(a≥0)．

16．2

二次根式的乘除

第1课时

二次根式的乘法

www.sjhzhb.com

第

3 页

共

9 页

2222V. πh

教学目标

1．理解a·b＝ab(a≥0，b≥0)并运用它进行计算．

2．利用逆向思维，得出ab＝a·b(a≥0，b≥0)并运用它进行解题和化简．

预习反馈

阅读教材P6～7，并完成预习内容．

知识探究

1．请同学们完成填空：

(1)4×9＝6，4×9＝6；

(2)16×25＝20，16×25＝20；

(3)100×36＝60，100×36＝60．

参考上面的结果，用“>”“<”或“＝”填空．

4×9＝4×9，16×25＝16×25，100×36＝100×36. 归纳：一般地，二次根式的乘法法则是a·b＝ab(a≥0，b≥0)，反过来：ab＝a·b(a≥0，b≥0)．

2．计算：

(1)5×7；(2)1×9；(3)9×27. 3解：(1)35.(2)3.(3)93. 3．化简：

(1)9×16；(2)18；(3)9xy；(4)54. 解：(1)12.(2)32.(3)3|xy|.(4)36. 名校讲坛

例1(教材P6例1)计算：

(1)3×5；(2)1×27. 322【解答】

(1)15.(2)3. 【点拨】

这里要用到公式：a·b＝ab(a≥0，b≥0)．

例2(教材P7例2)化简：

(1)16×81；(2)4ab. 【解答】

(1)36.(2)2|ab|b. 【点拨】

(1)这里要用到逆公式：ab＝a·b(a≥0，b≥0)；

(2)开方后可以移到根号外的因数或因式叫开得尽方的因数或因式．

例3(教材P7例3)计算：

(1)14×7；(2)35×210；(3)3x·1xy. 323【解答】(1)72.(2)302.(3)xy. 【点拨】计算二次根式的乘法时要遵循先用二次根式的乘法法则重新组合，能约分的先约分，不能约分的先化简，再用a＝|a|化简，注意带分数的整数部分和分数部分是相加的关系，而不是相乘的关系．

【跟踪训练1】

(《名校课堂》16.2第1课时习题)下列二次根式中，与2的积为无理数的是(B) A.1

2

B.12

C.18

D.32 22【跟踪训练2】

(《名校课堂》16.2第1课时习题)化简（－2）×8×3的结果是(D) A．224

B．－224

C．－46

D．46 巩固训练

1．下列各等式成立的是(D) A．45×25＝85

C．43×32＝75

2．计算：

B．53×42＝205 D．53×42＝206 1. x第

4 页

共

9 页

(1)2×5；(2)3×12；(3)2xy·www.sjhzhb.com

23

解：(1)10.(2)6.(3)2y. 3．化简：

(1)49×121；(2)225；(3)4y；(4)16abc. 解：(1)77.(2)15.(3)2y.(4)4|bc|ac. 24．一个长方形的长和宽分别是10 cm和22 cm，则这个长方形的面积为45cm. 课堂小结

掌握二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质：

a·b＝ab(a≥0，b≥0)，ab＝a·b(a≥0，b≥0)．

第2课时

二次根式的除法

教学目标

1．理解ab＝a(a≥0，b>0)和baa＝(a≥0，b>0)，并能利用它们进行计算和化简．

bb2．利用具体数据，发现规律，归纳出二次根式的除法法则，并用逆向思维写出逆向等式，能利用它们进行计算和化简．

预习反馈

阅读教材P8～10，并完成预习内容．

知识探究

1．请同学们完成填空：

916＝916；＝1636164；＝3616436；＝168136. 812．二次根式的除法法则：两个二次根式相除，根指数不变，被开方数相除．

即a＝ba(a≥0，b>0)．

b1231÷41. 163．计算：(1)；(2)解：(1)2.(2)2. 把a＝ba(a≥0，b＞0)反过来，得到baa＝(a≥0，b>0)．

bb4．最简二次根式的两个特点：

(1)被开方数不含分母；

(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．

写出一个最简二次根式：3(答案不唯一)．

名校讲坛

例1(教材P8例4)计算：(1)【解答】(1)22.(2)33. 例2(教材P8例5)化简：(1)【解答】(1)3；(2)10075. 27243；(2)3÷21. 1835.(2). 103例3(教材P9例6)计算：(可以用两种方法计算) www.sjhzhb.com

第

5 页

共

9 页

(1)3328；(2)；(3). 5272a

1562a.(2).(3). 53a【跟踪训练】(《名校课堂》16.2第2课时习题)计算：

【解答】

(1)(1)151； 49

(2)25a2(b>0)．

9b4解：(1)原式＝25a4648＝. 4972(2)原式＝5a＝. 23b9b【点拨】

被开方数是带分数的要化成假分数．

例4 设长方形的面积为S，相邻两边长分别为a，b.已知S＝23，b＝10，求a. S2323×1030【解答】

因为S＝ab，所以a＝＝＝＝. b51010×10【点拨】

在二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最简，且结果的分母中不含二次根式．

巩固训练

1．计算10÷2的结果为(A) 510

D.

222．下列根式中，不是最简二次根式的是(B) A.5

B．5

C.A.10

3．若a＝15B.8

5，则(D) 5

B．a，b互为倒数

D．a＝b C.6

D.5 ，b＝A．a，b互为相反数

C．ab＝5

4．把12ab化简后得2b．

3a5．若二次根式3a＋5是最简二次根式，则正整数a的最小值为2．

6．长方形的面积是24，其中一边长为23，则另一边长是43．

7．计算：

(1)27÷18×2；

(2)1÷(－12)×324. 2解：(1)原式＝3. (2)原式＝－3. 课堂小结

1．二次根式的除法法则．

2．逆用法则．

3．最简二次根式的概念. 16.3 二次根式的加减

第1课时

二次根式的加减

教学目标

1．知道怎样将根式化为最简二次根式．

www.sjhzhb.com

第

6 页

共

9 页

2．通过合并被开方数相同的二次根式，会进行二次根式的加法与减法运算．

预习反馈

阅读教材P12～13的部分，完成以下问题．

知识探究

1．合并同类项：

222(1)2x＋3x；(2)2x－3x＋5x. 2解：(1)5x.(2)4x. 这几道题你是运用什么知识做的？加减法则．

2．化简：(1)解：(1)53；(2)48；(3)72m. 315.(2)43.(3)6m2m. 33．如何进行二次根式的加减计算？先化简，再合并．

4．计算：

(1)22＋32；(2)28－38＋58；

(3)7＋27＋39×7. 解：(1)52.(2)82.(3)127. 名校讲坛

例1

(教材P13例1)计算：

(1)80－45；(2)9a＋25a. 【解答】

(1)5.(2)8a. 【点拨】

二次根式的加减与整式的加减运算类似，二次根式化简之后的合并相当于合并同类项．

例2 (教材P13例2)计算：

(1)212－61＋348；

3(2)(12＋20)＋(3－5)．

【解答】

(1)143.(2)33＋5. 【点拨】

二次根式加减运算的步骤：①化简：将二次根式化成最简二次根式；②判别：找出被开方数相同的二次根式；③合并：类似于合并同类项，将被开方数相同的二次根式合并．

【跟踪训练】

(《名校课堂》16.3第1课时习题)计算：

(1)16x＋64x；

解：原式＝4x＋8x ＝(4＋8)x ＝12x. (2)125－25＋45. 解：原式＝55－25＋35 ＝65. 巩固训练

1．计算32＋2的值是(C) A．5

B．6

C．42 2．下列根式中可以与5合并的是(B) A.10

B.20

C.15

3．下列计算正确的是(C)

D．22 D.25 A．53－43＝1

B.2＋3＝5 C.8－2＝2

D．3＋22＝52 4．三角形的三边长分别为20 cm，40 cm，45 cm，则这个三角形的周长为(55＋210)cm. 5．计算：

(1)58－227＋18； www.sjhzhb.com

第

7 页

共

9 页

1(2)218－50＋45；

3

解：(1)原式＝132－63. (2)原式＝2＋5. 课堂小结

怎样进行二次根式的加减计算？

第2课时

二次根式的混合运算

教学目标

1．含有二次根式的式子进行乘除运算和含有二次根式的多项式乘法公式的应用．

2．复习整式运算知识并将该知识运用于含有二次根式的式子的乘除、乘方等运算．

预习反馈

阅读教材P14的部分，完成以下问题．

知识探究

1．计算：(1)(2x＋y)·zx；

22(2)(2xy＋3xy)÷xy；

(3)(2x＋3y)(2x－3y)．

222解：(1)2xz＋xyz.(2)2x＋3y.(3)4x－9y. 2．思考：如果把上面的x，y，z改写成二次根式呢？以上的运算规律是否仍成立呢？仍成立．

【点拨】

整式运算中的x，y，z是一种字母，它的意义十分广泛，可以代表所有一切，当然也可以代表二次根式，所以整式中的运算规律也适用于二次根式．

3．计算：

(1)(8－53)×6；

27(2)(5＋6)(52－23)；

(3)(23＋32)(23－32)；

2(4)(4＋35). 4解：(1)－152.(2)192.(3)－6.(4)61＋245. 3名校讲坛

例1

(教材P14例3)计算：

(1)(8＋3)×6；

(2)(42－36)÷22. 【解答】

(1)43＋32.(2)2－33. 2【点拨】

二次根式的混合运算，一般先将各二次根式化为最简二次根式，再类比多项式的乘除法法则展开计算，最后将结果中的每一项化为最简二次根式或整式，能合并的要合并．

例2 (教材P14例4)计算：

(1)(2＋3)(2－5)；

(2)(5＋3)(5－3)．

【解答】

(1)－13－22.(2)2. 【点拨】

在二次根式的运算中，多项式乘法法则和乘法公式仍然适用．

【跟踪训练1】(《名校课堂》16.3第2课时习题)已知a＝5＋2，b＝2－5，则aA.5＋2

B．－5－2 C．1

D．－1 【跟踪训练2】(《名校课堂》16.3第2课时习题)计算：

(3－7)(3＋7)＋2(2－2)．

解：原式＝9－7＋22－2 ＝22. www.sjhzhb.com

第

8 页

共

9 页

2 0182 017b的值为(B)

巩固训练

1．计算2(3－12)的结果为(B) A.6

B．－6

C.6－6

2．计算(3＋5)(3－5)的值等于(B) A．2

B．－2

C.3

23．计算：(2＋3)－24＝5．

4．计算：

(1)12÷3－6×23；

(2)48÷(－3)－1×12＋24. 2D．6－6 D.5 解：(1)原式＝2－62. (2)原式＝6－4. 5．已知x＝3＋1，y＝3－1，求下列各式的值：

2222(1)x＋2xy＋y；(2)x－y. 解：(1)12.(2)43. 【点拨】

这类计算的简便方法是先变形，再代入求值．

课堂小结

1．如何进行二次根式的混合运算？

2．计算结果中的二次根式必须是最简二次根式．

www.sjhzhb.com

第

9 页

共

9 页