习题训练教案范文

期末复习(二)

勾股定理

各个击破

命题点1

勾股定理的证明

【例1】

(1)以图1中的直角三角形为基础，可以构造出以a，b为底，以a＋b为高的直角梯形(如图2)，请你利用图2，验证勾股定理；

a＋b(2)利用图2中的直角梯形，证明<2.

c[

图1

图2 【思路点拨】

(1)利用梯形面积的两种算法列出等式证明；(2)利用直角梯形中斜腰大于直角腰证明．

【方法归纳】

勾股定理的证明方法是用面积法证明恒等式的方法，通过不同的方式表示同一个图形的面积．

1．如图是用硬纸板做成的四个全等的直角三角形(两直角边长分别是a，b，斜边长为c)和一个边长为c的正方形，请你将它们拼成一个能证明勾股定理的图形．

(1)画出拼成图形的示意图；

(2)证明勾股定理．

命题点2

勾股定理及其逆定理

【例2】

如图，每个小正方形的边长为1. (1)求四边形ABCD的周长；

(2)求证：∠BCD＝90°.

【思路点拨】

(1)利用勾股定理求出四边形的各边长；(2)求出△BCD的三边长，利用勾股定理的逆定理证明．

【方法归纳】

正方形格中的两个格点之间的距离可以用勾股定理求出．勾股定理的逆定理是证明一个角等于90°的一种思路．本题的第(2)问还可以通过两个三角形全等来证明．

2．如图，已知：在正方形ABCD中，点E是BC中点，点F在AB上，且AF∶FB＝3∶1. (1)请你判断EF与DE的位置关系，与同学交流，并说明理由；

(2)若此正方形的面积为16，求DF的长．

命题点3

勾股定理在实际问题中的应用

【例3】

如图，高速公路的同侧有A，B两个村庄，它们到高速公路所在直线MN的距离分别为AA1＝2 km，BB1＝4 km，A1B1＝8 km.现要在高速公路上A1B1之间设一个出口P，使A，B两个村庄到P的距离之和最短，则这个最短距离是多少千米？

【思路点拨】

运用“两点之间线段最短”先确定出P点在A1B1上的位置，再利用勾股定理求出AP＋BP的长．

【方法归纳】

解这类题关键在于运用几何知识正确找到适合条件的P点的位置，会构造Rt△AB′E求之，勾股定理把三角形中有一个直角的“形”的特征，转化为三边“数”的关系，因此它是数形结合的一个典范．

命题点4

图形的折叠与勾股定理

【例4】

如图，把矩形纸片OABC放入平面直角坐标系中，使OA，OC分别落在x轴，y轴上，顶点O与原点O重合，连接AC，将矩形纸片OABC沿AC折叠，使点B落在点D的位置，若B(1，2)，则点D的横坐标是____________．

【思路点拨】

求点D的横坐标即先要求点D到y轴的距离，然后根据点D在第二象限，确定点D的横坐标．

【方法归纳】

解决有关折叠的问题时，通常利用勾股定理这个等量关系建立方程．

4．(安徽中考)如图，Rt△ABC中，AB＝9，BC＝6，∠B＝90°，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为(

)

55A.

B.

C．4

D．5 32

整合集训

一、选择题(每小题3分，共30分) 1．在Rt△ABC中，已知两直角边长分别为1和3，则斜边的长为(

) A．1

B．2.4

C．22

D.10 2．小新将铁丝剪成九段，分成三个组：①2 cm，3 cm，4 cm；②3 cm，4 cm，5 cm；③9 cm，40 cm，41 cm.分别以每组铁丝围成三角形，能构成直角三角形的有(

) A．②

B．①②

C．①③

D．②③

3．下列各命题的逆命题成立的是(

) A．全等三角形的对应角相等

B．如果两个数相等，那么它们的绝对值相等

C．两直线平行，同位角相等

D．如果两个角都是45°，那么这两个角相等

4．下列选项中，不能用来证明勾股定理的是(

)

5．如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，则△ABC是(

)

A．直角三角形

B．锐角三角形

C．钝角三角形

D．以上答案都不对

6．在直角三角形中，如果有一个角是30°，那么下列各比值中，是这个直角三角形的三边之比的是(

) A．1∶2∶3

B．2∶3∶4 C．1∶4∶9

D．1∶3∶2 7．如图，△ABC和△DCE都是边长为4的等边三角形，点B，C，E在同一条直线上，连接BD，则BD的长为(

)

A.3

B．23

C．33

D．43 8．设a，b是直角三角形的两条直角边，若该三角形的周长为6，斜边长为2.5，则ab的值是(

) A．1.5

B．2

C．2.5

D．3 9．如图是一张探宝图，根据图中的尺寸，起点A与起点B的距离是(

) A.113

B．8

C．9

D．10

10．如图，在四边形ABCD中，∠A＝60°，∠B＝∠D＝90°，BC＝2，CD＝3，则AB＝(

) 83A．4

B．5

C．23

D.

3

二、填空题(每小题3分，共18分) 11．如果三角形的三边分别为2，6，2，那么这个三角形的最大角的度数为____________．

12．(无锡中考)如图，△ABC中，CD⊥AB于点D，E是AC的中点，若AD＝6，DE＝5，则CD的长等于____________．

13．已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足关系c2－a2－b2＋|a－b|＝0，则△ABC的形状为____________．

14．如图是“赵爽弦图”，△ABH，△CDF，△DAE和△BCG是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形，如果AH＝6，EF＝2，那么AB等于____________．

15．(滨州中考)如图，在平面直角坐标系中，将长方形AOCD沿直线AE折叠(点E在边DC上)，

折叠后顶点D恰好落在边OC上的点F处，若点D的坐标为(10，8)，则点E的坐标为____________．

16．课间，小聪拿着老师的等腰直角三角板玩，不小心掉到两墙之间(如图)，∠ACB＝90°，AC＝BC，从三角板的刻度可知AB＝20 cm，小聪很快就知道了砌墙砖块的厚度(每块砖的厚度相等)为______ cm. 三、解答题(共52分) 17．(8分)如图，已知某山的高度AC为800米，在山上A处与山下B处各建一个索道口，且BC＝1 500米，欢欢从山下索道口坐缆车到山顶，已知缆车每分钟走50米，那么大约多少分钟后，欢欢才能达到山顶？

18．(10分)在△ABC中，a＝m2－n2，b＝2mn，c＝m2＋n2，其中m，n是正整数，且m＞n，试判断△ABC是否是直角三角形．

19．(10分)一个零件的形状如图1所示，按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角．工人师傅量得这个零件各边尺寸如图2所示．

图1

图2 (1)你认为这个零件符合要求吗？为什么？

(2)求这个零件的面积．

20．(12分)如图，一根长度为50 cm的木棒的两端系着一根长度为70 cm的绳子，现准备在绳子上找一点，然后将绳子拉直，使拉直后的绳子与木棒构成一个直角三角形，这个点将绳子分成的两段各有多长？

21．(12分)在△ABC中，AB＝25，AC＝4，BC＝2，以AB为边向△ABC外作△ABD，使△ABD为等腰直角三角形，求线段CD的长．