习题训练课堂实录【1】

解决折叠问题

一、

内容和内容解析

1、内容

利用勾股定理求解折叠问题中的线段长度

2、内容解析

勾股定理是第十七章的内容，它指出了直角三角形三边之间的数量关系，这就搭建起了几何图形和数量关系之间的一座桥梁，从而发挥了重要的作用。

课程标准（2011年版）指出，要想培养学生的空间观念，关键是要让学生会描述图形的运动和变化。图形的运动有平移、旋转、折叠等。其中图形的翻折问题是指将某一几何图形沿着某直线对折后得到新的几何图形，然后求解新图形中几何元素之问的数量关系的问题.由于折叠问题题型多样，变化灵活，在解决有关的折叠问题时可以充分运用轴对称的思想和轴对称的性质、考查学生的空问想象能力和动手操作能力，所以是近几年中考试题的热点题型。这对于识别和理解几何图形的能力、空间思维能力和综合解决问题的能力都突出了比以往更高的要求。折叠问题的实质是图形的轴对称变换，在初中数学中，折叠问题主要是求几何图形中的角度;求图形中线段的长;求图形的面积;求图形点的坐标等。角度问题，我们在八年级上册的三角形已经涉及。而求图形的面积和图形的点坐标又可以转化为求解线段长度. 我们已经在第四章线段加减、第5章利用平移的性质、第7章点坐标、第12、13章角平分线、线段的垂直平分线、轴对称的性质、等章节求过线段的长度。学生对于本节课求线段长度并不陌生. 基于以上分析，确定本节课的教学重点：利用勾股定理求解折叠问题中的线段长度

二、目标和目标解析

1、目标

（1）学生更深入地理解勾股定理

（2）学生能够正确地利用勾股定理建立方程求解线段长度；

三、教学问题诊断分析

方程思想就是从分析问题的数量关系入手，适当选设未知数，运用定义、公式、性质、定理和已知条件、隐含条件，把所研究或解决的数学问题中已知量和未知量之间的数量关系，转化为方程或方程组等数学模型，从而使问题得到解决的一种数学思想。在解决与等量有关的数学问题时，运用方程思想显得十分简捷、有效。在本章的前几节课，我们已经利用勾股定理求解一些简单的线段长度。渗透过利用勾股定理求解线段长度的步骤。对于利用勾股定理求解线段长度的问题，学生也不陌生。而第8章三角形、第13章轴对称，学生接触过几何问题方程化的方法。与现在相隔时间长，可能这种方程思想是学生的难点。

基于以上分析，本节课的教学难点为：学生能够熟练运用勾股定理建立方程模型。

一、教学目标

（1）学生更深入地理解勾股定理

（2）学生能够正确地利用勾股定理建立方程求解线段长度和简单面积问题；

二、教学难点:学生能够熟练运用勾股定理建立方程模型。

三、教学过程

师：同学们都玩过折纸游戏，通过折叠，得出很多有趣的图形，几何里面有一类

问题也是通过折叠得到新的图形，在新图形中求边求角求面积等等，我们今天就来研究折叠问题中求线段长度。首先请同学们看看例题1 例题1：如图，Rt⊿ABC中，∠C=90°，将⊿ABC沿DE折叠，

使点B与点A重合，AC=3，BC=4，求CE的长

C E A DfB E 师：（1）这是个什么问题？（直角三角形中的折叠问题）

（2）既然是折叠问题，折痕是那条直线？(直线DE)，折叠还让你想到什么？（折叠产生全等）图形里面有全等图形吗？（是的这两个三角形关于折痕全等）？全等可以得到哪些很有用的结论（对应角，对应边等）

（3）题目要求CE这条线段的长度，CE的长直接求是求不出来的，我们不妨把图中的已知和可求的线段标一标AC=3，BC=5由勾股定理AB=5，因为折叠AD=BD可以直接求出,=5/2，既然CE直接求不出，我们可以想想把CE设成x,找关于x的等量关系，列方程求出来。怎么找关于x的等量关系。

因为在Rt⊿ACE中用勾股定理求CE最为直接。（Rt⊿ACE三边表示出来：AC=3,CE＝ｘ，AE=BE22x3＝4-x，x+3=(4-x)也有同学会将AE表示成，这个时候再用勾股定理列方程，发现222,解不了，因为你用了Rt⊿ACE勾股定理表达AE，再用其列方程是不行的，那发现由于折叠22产生全等，进而对应边相等，AE=BE=4-x,出来方程x3=4-x,也有可能是等面积法。）

老师把解这道题的思路简单写了，帮助你回顾一下！（思维导图出来）

找全等,找相等边AE=BE含CE，

标已知，标可知，确定Rt三边都简洁地表示出来,一般全等

⊿ACE,AC＝３，BC＝4，的那两个不找，折痕繁琐)AC=3

EB=BC-CE

变式（1）如图，Rt⊿ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，E为BC上

一点，将AC沿AE折叠，使点C落在AB上，求CE的长

同学说

怎么折叠？确定用哪个直角三角形？三边如何表示？

同学口答（通过标已知知道DB=2,EB=4-x，通过全等知CE=DE=x, 在Rt⊿EDC中，用勾股定理）

标已知，标可知,确定Rt⊿EDC，AC＝3，

BC＝４,AB=5, 找全等，找对应边注意直角要标出来，CE=DE，AC=AD，DB=AB-AD=2，EB=CB-CE 设CE=x,用勾股定理列方AC2+CE2=AE2,

x2+32=(4-x)2,解的x=7/8 A D C E B

设CE=x,用勾股定理列方程，DE+DB=BE x+2=(4-x),解的x=3/2 222,222

师：能不能用我们一起总结的方法

总结：解决折叠问题的一般方法：

1、

标（已知，标可知，明确目标在哪个直角三角形中）

2、找（利用折叠产生全等，相等的线段、角，将三角形三边用已知或ｘ或含ｘ的代数式表示出来）

3、设未知数，利用勾股定理列方程，并解之。

设计意图：让同学们从最简单的三角形折叠，体会方程思想在折叠问题中的作用，并且让同学们有一点解决此类问题的方法和步骤。

例题2如图：四边形ABCD是矩形，AB=3，BC=4，把矩形沿直线AC折叠，点B落在点F处，连接DF，CF与AD相交于点E，求DE的长

按照操作步骤：

（１）

标已知AB=CD＝3，BC=AD＝4，确定Rt⊿EDC

（２）

找全等由于全等，AB=AF=CD=3，BC=AD=CF，ED=AD-AE （３）

剩下EC无法表示？怎么办？同学们会用Rt⊿AEF全等于

Rt⊿CDE证得AE＝EC有没有其他方法？注意到折叠平行

产生等腰三角形直接得到AE＝EC＝AD－ED＝４－ｘ

FAEDBC矩形AB=CD=3，AD=BC=4，ADC=90?折叠ABCAFC，AFF=90?，　　　　AF=AB=CD在RtAEF和RtＣEＤ中，ADC=AFF＝90?，AＥＦ=ＣFＤ（对顶角）AF＝CD，AＥＦＣＥＤ（ＡＡＳ）矩形AB=CD=3，AD=BC=4，ADC=90?AD//BCEAC=ACB,折叠ACE=ACB,EAC=ACEAE=CE（等角对等边）

AE=CE（全等三角形对应边相等）

设ED=x,在RtECD中

ED=x，CE=4-x,CD=3，由勾股定理

ED2+CD2=CE2

x232(4x)2

7解得x

8

设计意图：此题要先证一证线段相等，一题多解，把课堂交给学生，此题教师书写板书！

变式（2）将边长为8cm的正方形ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，点A落在F处，折痕为MN，①求线段CN的长②求AM的长

A D

M （１）

F

N

C B E

标已知，标可知，设CN＝ｘ，用勾股定理列方

找：（利用全等）222,程，NC+EC=NE

EN＝DN＝CD-CN，

确定Rt⊿ENC，

222CD=BC=8，EC＝４，

x+４=(８-x),解的x=３

表示出EN＝

（２）思路分析：（１）要求ＡＭ，设AM=y，找出AM所在的

三角形，没有，就要构造，连接DＭ。Rt⊿AMD，

AD＝８，AM＝y，MD也没办法表示。通过解三角形AMD求

AM，不行。

B E C F

N A M D （2）利用折叠全等，MD＝ME，AM＝MF，问题转化（这里体现问题转化思想），首先考虑解三角形MFE，MF=y,由于折叠EF=AD=8，ME2=82+y2还是无法表示出。注意到ME还在三角形MBE中。三角形MBE中，MB=8-y,BE=4,ME2=ME2+BE2=(8-y)2,解得y=2 设计意图：此图再换正方形背景，由于没有目标三角形，需要做辅助线构造，教师可先让学生自行小组讨论，再设问引导！

小结：（1）折叠问题一般步骤（口述可能时间不够用，幻灯片打出来）

（2）折叠问题实质是一种全等变换，关注折叠过程，体现数学方程思想，转化思想。

课后反馈（1）如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，AD沿AE翻折后点D落在对角线AC上，求EC长度

（2）如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，翻折ABCD，使得点A与点C重合设折痕为EF，（1）求DF的长；（2）求折痕EF长度

Ｄ´

Ｂ

Ｃ

Ａ

Ｆ

Ｄ

B F A D E C Ｅ

(3)如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，翻折ABCD，使得点A与点C重合设折痕为EF，（1）求DF的长；（2）求折痕EF长度

E A D C F C