习题训练教学创新设计

朝阳区学习科学研究教学设计案例

教学基本信息

课题

学科

主要教学方式

教材

弗赖登塔尔指出教学者就是组织者：教育开发者、教科书作者、各种教师，甚至也指导思想可以是那些组织个人或小组学习过程的学生.本节课，教师与小组学生都是本节课教学的数学

勾股定理的证明数学习题活动课

学段

初中

年级

八年级

□

探究式

□ 合作式

义务教育教科书数学八年级下册

理论依据

组织者. 学生在活动中“做数学”，真正做到“广泛参与，深入思考”. 1. 阐释所用主要教学方式与选用案例的适切性. 无论教材、网络还是《挑战思维极限：勾股定理的365种证明》上，勾股定理的证明方法都不唯一，而且是学生非常感兴趣的.应用探究式教学鼓励学生通过浏览书籍和其他信息资源发现已知结论，可以有选择地再现当年的（部分）解法、想法；做出适合自己同伴的交流结果，在同伴质疑时能够有效答疑解惑. 案例选取理由及选用教学方式分析

不同的学生可以在不同的勾股定理证明方法中找出适合自己的，借助小组合作可以促进同伴之间相互学习借鉴.本次分组采取自由组合，适当调配.各小组选题在尊重自主的前提下促学生不同选择.本次活动以团体成绩为评价标准：小组分工是否明确、是否每名同学都有参与（30%）；小组同学讲解是否清晰、答疑是否到位（30%）；道具是否充分、好不好（30%）；是否有趣味（10%）. 2. 阐释所选用教学方式在提升学生素养和能力上解决的关键问题. 如何证明勾股定理？在以往我们班级的调查中，有13%学生喜欢自己探究，做不出来不愿意参与讨论，有87%的学生喜欢讨论，在七嘴八舌中有了自己的见解，因此本次活动在培养推理能力时采取探究式、合作式.

1.勾股定理的证明的人文价值

教学内容分析

不同文明国都发现了勾股定理.勾股定理曾经引起了第一次数学危机，欧洲数学研究重心转向几何，延续千年.勾股定理的证明方法至少有365种，可以说是智力的发动机.基于勾股数引发的费马猜想引发数学的极大发展.

2. 勾股定理的证明的探究可以培养学生的理性精神

有老师请学生度量直角三角形三边长，借助计算器计算三边的平方之间的数量关系，学生近似得出勾股定理结论，此时教师指出“证明是排除怀疑的利器”，师生开始寻找证明方法.

3.勾股定理的证明可以激发学生的数学学习兴趣

一个命题的证明居然有这么多的证明方法！投身其中，可以激发更多学生喜欢数学，感受数学的魅力. 众多证明方法中，不借助乘法公式的拼摆等积法、借助乘法公式的割补法、“欧几里得”等积法.学生在交流比较不同解法的异同过程中会更加深刻体会自己的解法. 课程标准要求“探索勾股定理”，并没有要求“会证明勾股定理”.因此本节课的定位并不在知识，而在借助知识去“探究”、“合作”上.基于上面的分析，本节课的重点是“探索勾股定理”. 前测中，学生会证明够勾股定理的占比13%.班内学生喜欢小组合作学习的占比87%，学生认为认为与好朋友一起完成任务能够增进彼此的感情，而且更有针对性. 课前，班内同学自由组合分成四组.第一组三人数学基础相对薄弱，但是探究意愿强，同伴之间有默契，能够承担一个子题；第二组探究能力强，喜欢挑战自己，挑战高难度；第三组全是男生，逻辑思维能力强；第四组，全是女生，绘画能力强，能够制作很好的PPT. 学情分析

初二学生具有较强的探究能力和合作能力，也希望借助活动证明自己.教师在提供足够的教学资源后，学生可以自发找到适合自己的探究、合作、展示的方法. 本节课学生在选择方案的过程中会面临以下挑战：第一，什么方案适合自己，怎么评判？第二，如何制作适合自己和同学思考的道具？第三，如何有针对性的讲解？第四，如何有针对性的辅导？第五，如何指导自己讲解的效果？

根据以上分析，教学难点是选择方案证明勾股定理. 教学资源

PPT；纸板；磁力贴；剪刀；几何画板

教学过程

教学流程

1.课前分组

教师活动

分为4组，每组自由组合

共同商量评分标准

学生活动

自己组合，确定组长

商量评分标准

设计意图

分组的目的是为了合作解决问题；学生都在自

己想在的小组里，关系融洽.商量小组评价标准利于学生有目的、有选择地开展研究活动. 2.任务认领

任务1.能否根据教科书30页“加菲尔德的证法”、教科书36页“数学活动2”摆出一个图形证明勾股定理？

任务2.能否不借助乘法公式，只凭借拼摆“证明”勾股定理？

任务3.能否借助教材63页的图形说明勾股定理？

任务4.解释“欧几里得的证明方法”

任务5.自己在《挑战思维极限：勾股定理的365种证明》选择一种不同于上面的证明进行研究

分发工具，观察、帮助学生协调

3.探究

追问（指导）、答疑（指导）、激励（引导），促学生更好理解数学与呈现自己的研究成果

追问1：你怎么知道拼成的图形是正方形？

追问2：“欧几里得证明方法”用到了两种证明面积相等的方法，分别是什么？你们小组将如何呈现？

追问3：XXX，你在小组中负责什么？在汇报答疑的时候，你猜同学可能在哪里质疑你们小组？

追问4：老师可以帮你们一起制作几何画板.问题是为什么要运用几何画自己分工

任务分工、探究、质疑答疑

促学生“广泛参与，深入思考”

小组选任务

围绕勾股定理的证明，给不同基础、不同特点的同学不同的选择，学生在选择中整体感知、辨析、明确任务的特点及所需要的方法

板？你认为最好的辅助讲解的方式是什么？

追问5（针对基本思想、基本活动经验）：回顾你们的证明过程，请问你们运用了什么知识？用到了什么方法？你能一眼看出方法吗？你能不能尝试说明你们小组这么做的优点是什么？

答疑1（针对基础知识）：倾听后回应——哦，你能够发现问题，真棒.（针对思考能力相对较强的学生鼓励自学）教科书怎么处理？（针对希望直接讲解的学生也不直接告诉答案）你能回到定义看问题吗？你已经得出什么了？

答疑2（针对基本技能）：你能用不同方式摆出同样的面积吗？你能用不同方式表示大正方形的面积吗？

激励1：（面向全班）XX小组每人都有角色分工，真好. 激励2：（面向小组）你提出的问题非常好，建议记录，并且是可以适当展开讨论. 4.汇报

请各组派学生代表抽签展示，教师拍照、鼓励学生追问

一人（抽签决定）汇报，展示是思维的输出，也其余同组同学答疑.其他组同学质疑

5.评价

组织各组同学评价

是思维输入的过程.质疑促学生深入思考

学生和教师同时按照关注落实

评分标准给分.评分标准：

小组分工是否明确、是否每名同学都有参与；

讲解是否清晰、答疑是否到位；

道具是否充分、好不好；

是否有趣味. 当场唱票

学生评价：学生和指导教师同时按照评分标准给分.评分标准：

小组分工是否明确、是否每名同学都有参与；

学习效果讲解是否清晰、答疑是否到位；

评价设计

道具是否充分、好不好；

是否有趣味. 当场唱票

四组同学都借助了纸片，但是从四个不同角度展开研究：第一组找到了两个正方形能够拼接成一个大正方形的方法，得出了与“赵爽弦图”类似的结论；第二组选择“欧几里得证法”；第三组借助四张全等的直角三角形纸片不断拼接，最终选择“加菲尔德证法”（“总统证法”）；第四组在世界上第一个发现勾股定理的证明方法的毕达哥拉斯法——借助八张全等的直角三角形纸片，用两种方式拼成两个全等的正方形，借助几何直观“证明了”勾股定理. 第一组展示

利杰小组候智程展示.学生从“平行四边形”的数学活动2展开，得出“赵爽弦图”：

P教学反思

AIHDEFAIHDEF

BMCGM

第二组展示

蔡松鑫小组董哲展示

现场生成

学生追问，如何证明两个四边形是正方形？答疑的同学没想好，提问的同学亲自讲解了出来——回到定义证明四边相等，四角相等不就可以了吗？大家笑在了一起. 第三组展示

王影小组马潇滢展示，所有同学都在帮忙解释.

本组同学都是女生，所选难度相对较大，但是借助自制道具，并且借助iPad展示，在讲解过程中板书了同底等高的两个三角形面积相等.解答也十分细致，促使每名同学明白.最终夺冠. 第四组展示

谭博翔小组杨乐展示了下图

讲解同学指出两个大正方形的面积相等，第一个图形中的小正方形的面积等于第二个图形中的两个小正方形的面积的和. 学生追问：为什么会想到这么摆？

学生看向我，我实话实说，我也不知道.我谈了自己的看法.仅仅借助一个直角三角形就证明勾股定理的情况是很难的，所以经历一定次数的失败以后数学家们与数学爱好者们就尝试借助全等三角形证明. 我指出了几何原本命题I.47：直角三角形中直角边上的正方形面积等于夹直角两边上正方形面积的和.在那个时代，乘法公式以及杨辉三角可能还不被熟知，所以人们基本没有用乘法公式这个方法的——我个人认为.

本节课属于“综合与实践”，我们本节课用了一个长课时，90分钟. 学生自由组合，减少了抱怨，增强了合作. 因为时间的限制，也因为学生探索处于发展阶段，教师在给出一定探索框架之外，给学生一些自选空间.

在探索的过程中，选题是很不容易的，学生花费不少时间.但是一旦选定，学生很快进入本教学设状态：积极分工，每人都动了起来.面对教师的质疑，也勇于思考，积极交流. 计的主要在展示环节，学生能够积极讲解，能够及时追问，能够冷静面对质疑. 特点

学生在评价时做到了公平公正. 本节课教师的作用主要在于设计活动内容，给学生一些选择，适当质疑、答疑、激励.教师是教学的组织者. 本教学设计得到备课组柳晴、侯德森、王立娟老师的指导.