二次根式的混合运算教案设计范例

第二十一章 二次根式

教材内容

1．本单元教学的主要内容：

二次根式的概念；二次根式的加减；二次根式的乘除；最简二次根式．

2．本单元在教材中的地位和作用：

二次根式是在学完了八年级下册第十七章《反比例正函数》、第十八章《勾股定理及其应用》等内容的基础之上继续学习的，它也是今后学习其他数学知识的基础．

教学目标

1．知识与技能

（1）理解二次根式的概念．

（2）理解a（a≥0）是一个非负数，（a）2=a（a≥0），a2=a（a≥0）．

（3）掌握a·b＝ab（a≥0，b≥0），ab=a·b；

aaaa=（a≥0，b>0），=（a≥0，b>0）．

bbbb （4）了解最简二次根式的概念并灵活运用它们对二次根式进行加减．

2．过程与方法

（1）先提出问题，让学生探讨、分析问题，师生共同归纳，得出概念．•再对概念的内涵进行分析，得出几个重要结论，并运用这些重要结论进行二次根式的计算和化简．

（2）用具体数据探究规律，用不完全归纳法得出二次根式的乘（除）法规定，•并运用规定进行计算．

（3）利用逆向思维，•得出二次根式的乘（除）法规定的逆向等式并运用它进行化简．

（4）通过分析前面的计算和化简结果，抓住它们的共同特点，•给出最简二次根式的概念．利用最简二次根式的概念，来对相同的二次根式进行合并，达到对二次根式进行计算和化简的目的．

3．情感、态度与价值观

通过本单元的学习培养学生：利用规定准确计算和化简的严谨的科学精神，经过探索二次根式的重要结论，二次根式的乘除规定，发展学生观察、分析、发现问题的能力．

教学重点

1．二次根式a（a≥0）的内涵．a（a≥0）是一个非负数；（a）＝a（a≥0）；2a2=a（a≥0）•及其运用．

2．二次根式乘除法的规定及其运用．

3．最简二次根式的概念．

4．二次根式的加减运算．

1

教学难点

1．对a（a≥0）是一个非负数的理解；对等式（a）＝a（a≥0）及a2=a（a2≥0）的理解及应用．

2．二次根式的乘法、除法的条件限制．

3．利用最简二次根式的概念把一个二次根式化成最简二次根式．

教学关键

1．潜移默化地培养学生从具体到一般的推理能力，突出重点，突破难点．

2．培养学生利用二次根式的规定和重要结论进行准确计算的能力，•培养学生一丝不苟的科学精神．

单元课时划分

本单元教学时间约需11课时，具体分配如下：

21．1 二次根式 3课时

21．2 二次根式的乘法 3课时

21．3 二次根式的加减 3课时

教学活动、习题课、小结 2课时

21．1 二次根式

第一课时

教学内容

二次根式的概念及其运用

教学目标

理解二次根式的概念，并利用a（a≥0）的意义解答具体题目．

提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题．

教学重难点关键

1．重点：形如a（a≥0）的式子叫做二次根式的概念；

2．难点与关键：利用“a（a≥0）”解决具体问题．

教学过程

一、复习引入

（学生活动）请同学们独立完成下列三个问题：

问题1：已知反比例函数y=3，那么它的图象在第一象限横、•纵坐标相等的点的坐x标是___________．

问题2：如图，在直角三角形ABC中，AC=3，BC=1，∠C=90°，那么AB边的长是

2

__________．

AB

问题3：甲射击6次，各次击中的环数如下：8、7、9、9、7、8，那么甲这次射击的方差是S2，那么S=_________．

老师点评：

问题1：横、纵坐标相等，即x=y，所以x2=3．因为点在第一象限，所以x=3，所以所求点的坐标（3，3）．

问题2：由勾股定理得AB=10

C 问题3：由方差的概念得S= 二、探索新知

很明显3、10、4. 64，都是一些正数的算术平方根．像这样一些正数的算术平方6根的式子，我们就把它称二次根式．因此，一般地，我们把形如a（a≥0）•的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．

（学生活动）议一议：

1．-1有算术平方根吗？

2．0的算术平方根是多少？

3．当a<0，a有意义吗？

老师点评:（略）

例1．下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：2、33、1、x（x>0）、x0、42、-2、1、xy（x≥0，y•≥0）．

xy3

分析：二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“或0．

解：二次根式有：2、x（x>0）、0、-2、次根式的有：33、”；第二，被开方数是正数；不是二xy（x≥0，y≥0）141、2、．

xxy

例2．当x是多少时，3x1在实数范围内有意义？

分析：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以3x-1≥0，•3x1才能有意义．

解：由3x-1≥0，得：x≥ 当x≥1

31时，3x1在实数范围内有意义．

3 三、巩固练习

教材P练习1、2、3．

四、应用拓展

例3．当x是多少时，2x3+

分析：要使2x3+1在实数范围内有意义？

x11在实数范围内有意义，必须同时满足2x3中的≥0和x11中的x+1≠0．

x12x30 解：依题意，得

x10 由①得：x≥-3

2 由②得：x≠-1 当x≥-31且x≠-1时，2x3+在实数范围内有意义．

2x1例4(1)已知y=2x+x2+5，求x的值．(答案:2) y2) 5(2)若a1+b1=0，求a2004+b2004的值．(答案: 五、归纳小结（学生活动，老师点评）

4

本节课要掌握：

1．形如a（a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．

2．要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数．

六、布置作业

1．教材P8复习巩固1、综合应用5．

2．选用课时作业设计．

第一课时作业设计

一、选择题

1．下列式子中，是二次根式的是（ ）

A．-7 B．37 C．x D．x 2．下列式子中，不是二次根式的是（ ）

A．4 B．16 C．8 D．1x

3．已知一个正方形的面积是5，那么它的边长是（ ）

A．5 B．5 C．15 D．以上皆不对

二、填空题

1．形如________的式子叫做二次根式．

2．面积为a的正方形的边长为________．

3．负数________平方根．

三、综合提高题

1．某工厂要制作一批体积为1m3的产品包装盒，其高为0.2m，按设计需要，做成正方形，试问底面边长应是多少？

2．当x是多少时，2x3x+x2在实数范围内有意义？

3．若3x+x3有意义，则x2=_______．

4.使式子(x5)2有意义的未知数x有（ ）个．

A．0 B．1 C．2 D．无数

5.已知a、b为实数，且a5+2102a=b+4，求a、b的值．

第一课时作业设计答案: 一、1．A 2．D 3．B

5 底面应•

二、1．a（a≥0） 2．a 3．没有

三、1．设底面边长为x，则0.2x=1，解答：x=5．

232x30x 2．依题意得：，2

x0x0∴当x>-32x3且x≠0时，＋x2在实数范围内没有意义．

2x3.1

3 4．B 5．a=5，b=-4

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