二次根式应用设计意图

16.3 二次根式的加减

第2课时

二次根式的混合运算

【知识与技能】

1.会进行二次根式的乘、除、加、减混合运算；

2.能用多项式的乘法公式进行二次根式的化简计算. 【过程与方法】

通过具体问题进一步体会有理数运算、二次根式的运算以及整式的运算之间的联系，掌握二次根式混合运算方法. 【情感态度】

通过多项式乘除法则及乘法公式在二次根式运算中的应用，体验迁移、化归思想，使学生进一步形成符号感，提高数学应用意识. 【教学重点】

二次根式的混合运算. 【教学难点】

多项式的乘除法则及乘法公式在二次根式运算中的应用方法.

一、情境导入,初步认识

问题

我们知道：（x+y）·xy=x·xy+y·xy=x2y+xy2，

（2x2y+3xy2）÷xy=2x2y÷xy+3xy2÷xy=2x+3y，

（x+y）（x-y）=x2-y2及（x+y）2=x2+2xy+y2，……

试问：如果上述各式中的x，y分别代表着一个二次根式，我们会有哪些新的收获呢？

【教学说明】引入上述关于多项式的乘除算式及乘法公式，进而提出新的问题的目的在于暗示二次根式的运算与多项式的运算之间的联系，激发学生的求知欲望和探究意识. 二、思考探究，获取新知

探究1

由（x+y）·z=x·z+y·z=xz+yz，你能求出的值吗？

你是怎样做的？

探究2

由，你能求出的值吗？由此你有何发现？类似地，请解决以下几个小题.

【教学说明】让全班同学共同参与探究，相互交流，在类比的过程中尝试给出问题的答案.教师巡视，予以点拨，肯定学生的成绩，并引导学生完善对二次根式混合运算的初步认识，最后师生共同给出问题的结果. 【归纳结论】

1.二次根式的混合运算与整式的运算方法完全相同，即先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号. 2.在二次根式的运算中，多项式的乘法法则和乘法公式仍然适用. 三、典例精析，掌握新知

例1 计算下列各题：

分析：对算式的结构进行观察分析，运用二次根式加、减、乘、除的法则进行运算，需注意乘法公式（a+b）（a-b）=a2-b2，（a±b）2=a2±2ab+b2的灵活运用. 解：

（1）原式=（46-22+62）÷22=（46+42）÷22=46÷22+42÷22=23+2；

例2

已知x=3+1，y=3-1，求下列代数式的值. （1）x2+2xy+y2；

（2）x2-y 2.分析：由条件易知x+y=23，x-y=2，而需求代数式中的

（1）可化为（x+y）2，

（2）可化为（x+y）（x-y），因而整体代入更简洁些，当然直接代入求值也是可行的，只不过要复杂多了. 解：∵x=3+1，y=3-1，∴x+y=23，x-y=2. （1）原式=（x+y）2=（23）2=12；

（2）原式=（x+y）·（x-y）=23×2=43. 【教学说明】

第1题可让学生自主完成，并选派三名代表上黑板进行演算.教师巡视，了解学生对二次根式混合运算的掌握情况，及时予以帮助，帮助学生更好地掌握新知识.最后全班同学分析三位代表的解答过程及结果，深化理解.第2题仍可让学生先自主探究，如果大部分学生选用直接代入求值时，教师仍应肯定他们的成绩，但需展示本例的最佳解题思路，达到融会贯通的目的.

四、运用新知，深化理解

3.（1）若a=3+22，b=3-22，求a2b-ab2的值；

（2）若x=2-1，求x2+2x+2011的值. 【教学说明】

第1、2两题可让学生自主完成，然后相互交流，教师根据反馈情况，及时查漏补缺，优化课堂教学. 第3题即可让学生尝试解决，也可由师生共同分析，形成解题思路后再由学生自主完善解题过程.

3.（1）由a-b=42，a·b=1得a2b-ab2=ab（a-b）=1×42=42；

（2）∵x=2-1，∴x+1=2，两边平方，得x2+2x+1=2. ∴x2+2x=1.故x2+2x+2011=1+2011=2012. 五、师生互动，课堂小结

通过这节课的学习，你有哪些收获？你还有哪些疑惑？谈谈你的看法，并与同伴交流. 【教学说明】教师以设问的形式和学生一道回顾本节主要知识及所涉及到的解题方法、技巧和数学思想方法，既是对知识的一次梳理，也是一次必要的提炼升华，完善认知.

1.布置作业：从教材“习题16.3”中选取. 2.完成练习册中本课时练习.

1.情境引入，复习整式运算的知识，旨在迁移到利用乘法公式进行含二次根式式子的运算，培养学生继续探究的兴趣. 2.例题的设计，旨在帮助学生理解乘法公式在二次根式运算中的应用.