测试优秀教案内容

2015-2016学年北京市西城区八年级（下）期末数学试卷

一、选择题

1、下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）

A、

B、

C、

D、

2、平行四边形ABCD中，若∠B=2∠A，则∠C的度数为（ ）

A、120°

B、60°

C、30°

D、15°

3、甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人测试10次，平均成绩均为9.2环，方差如表所示

选手 甲

乙

丙

丁

方差 0.56 0.60 0.50 0.45 则在这四个选手中，成绩最稳定的是（ ）

A、甲

B、乙

C、丙

D、丁

4、若A（1，y1），B（2，y2）两点都在反比例函数y= 的图象上，则y1与y2的大小关系是（ ）

A、y1＜y2

B、y1=y2

C、y1＞y2

D、无法确定

5、如图，菱形ABCD的两条对角线AC，BD相交于点O，若AC=4，BD=6，则菱形ABCD的周长为（ ）

A、16 B、24 C、4

D、8

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6、下列命题中，正确的是（ ）

A、有一组邻边相等的四边形是菱形

B、对角线互相平分且垂直的四边形是矩形

C、两组邻角相等的四边形是平行四边形

D、对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形

7、如图，正方形ABCD的两条对角线AC，BD相交于点O，点E在BD上，且BE=CD，则∠BEC的度数为（ ）

A、22.5°

B、60°

C、67.5°

D、75°

8、关于x的一元二次方程x2﹣2x+k=0有两个实数根，则实数k的取值范围是（ ）

A、k≤1

B、k＞1 C、k=1 D、k≥1

9、已知正比例函数y=kx的图象与反比例函数y= 的图象交于A，B两点，若点A的坐标为（﹣2，1），则关于x的方程

=kx的两个实数根分别为（ ）

A、x1=﹣1，x2=1 B、x1=﹣1，x2=2 C、x1=﹣2，x2=1 D、x1=﹣2，x2=2 10、中国数学史上最先完成勾股定理证明的数学家是公元3世纪三国时期的赵爽，他为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图1）．图2由弦图变化得到，它是用八个全等的直角三角形拼接而成．将图中正方形MNKT，正方形EFGH，正方形ABCD的面积分别记为S1

，

S2

，

S3

，

若S1+S2+S3=18，则正方形EFGH的面积为（ ）

A、9 B、6 C、5 D、

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二、填空题

11、关于x的一元二次方程x2﹣6x+m=0有一个根为2，则m的值为________．

12、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D，E，F分别为AB，AC，BC的中点．若CD=5，则EF的长为________．

________ m．

18、如图，在△ABC中，点P从点A出发向点C运动，在运动过程中，设x表示线段AP的长，y表示线段BP的长，y与x之间的关系如图2所示，则线段AB的长为________，线段BC的长为________．

13、某校开展了“书香校园”的活动，小腾班长统计了本学期全班40名同学课外图书的阅读数量（单位：本），绘制了折线统计图（如图所示），在这40名学生的图书阅读数量中，中位数是________．

三、解答题

14、将一元二次方程x+4x+1=0化成（x+a）=b的形式，其中a，b是常数，则a+b=________

15、反比例函数y= 在第一象限的图象如图，请写出一个满足条件的k值，k=________

2219、计算：

(1)(2)﹣

×

+（

÷

+1）（

．

﹣1）

20、解方程：

(1)x2﹣6x+5=0

(2)2x2﹣3x﹣1=0．

四、解答题

21、如图，在▱ABCD中，点E，M分别在边AB，CD上，且AE=CM，点F，N分别在边BC，AD上，且DN=BF．

16、如图，将矩形ABCD沿对角线BD所在直线折叠，点C落在同一平面内，落点记为C′，BC′与AD交于点E，若AB=3，BC=4，则DE的长为________．

(1)求证：△AEN≌△CMF；

(2)连接EM，FN，若EM⊥FN，求证：EFMN是菱形．

22、为了让同学们了解自己的体育水平，初二1班的体育康老师对全班45名学生进行了一次体育模拟测试（得分均为整数）成绩满分为10分，成绩达到9分以上（包含9分）为优秀，成绩达到6分以上（包含6分）为合格，1班17、如图，平安路与幸福路是两条平行的道路，且与新兴大街垂直，老街与小米胡同垂直，书店位于老街与小米胡同的交口处，如果小强同学站在平安路与新兴大街的交叉路口，准备去书店，按图中的街道行走，最近的路程为的体育委员根据这次测试成绩，制作了统计图和分析表如下：

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25、在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是矩形，点B的坐标为（4，3），反比例函数y= 的图象经过点B．

初二1班体育模拟测试成绩分析表

平均分 方差 中位数 众数 合格率 优秀率

2 8 7

95% 96% 40% 36% (1)求反比例函数的解析式；

(2)一次函数y=ax﹣1的图象与y轴交于点D，与反比例函数y= 次函数的解析式；

(3)在（2）的条件下，直线OE与双曲线y= 双曲线y= （x＞0）交于第一象限的点P，将直线OE向右平移

OP，求k的值．

个单位后，与的图象交于点E，且△ADE的面积等于6，求一

男生

女生 7.92 1.99 8 根据以上信息，解答下列问题：

(1)在这次测试中，该班女生得10分的人数为4人，则这个班共有女生________人；

(2)补全初二1班男生体育模拟测试成绩统计图，并把相应的数据标注在统计图上；

(3)补全初二1班体育模拟测试成绩分析表；

(4)你认为在这次体育测试中，1班的男生队、女生队哪个表现更突出一些？并写出一条支持你的看法的理由；

(5)体育康老师说，从整体看，1班的体育成绩在合格率方面基本达标，但在优秀率方面还不够理想，因此他希望全班同学继续加强体育锻炼，争取在期末考试中，全班的优秀率达到60%，若男生优秀人数再增加6人，则女生优秀人数再增加多少人才能完成康老师提出的目标？

23、已知：如图，在四边形ABCD中，∠B=90°，AB=BC=2，CD=3，AD=1，求∠DAB的度数．

（x＞0）交于点Q，与x轴交于点H，若QH= 五、填空题

26、如图，在数轴上点A表示的实数是________．

27、我们已经学习了反比例函数，在生活中，两个变量间具有反比例函数关系的实例有许多，例如：在路程s一定时，平均速度v是运行时间t的反比例函数，其函数关系式可以写为：v= （s为常数，s≠0）．

请你仿照上例，再举一个在日常生活、学习中，两个变量间具有反比例函数关系的实例：________；并写出这两个24、如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F，M，N分别为OA，OB，OC，OD的中点，连接EF，FM，MN，NE．

变量之间的函数解析式：________．

六、解答题

28、已知：关于x的一元二次方程mx2﹣3（m﹣1）x+2m﹣3=0（m＞3）．

(1)求证：方程总有两个不相等的实数根；

(2)设方程的两个实数根分别为x1

，

x2（用含m的代数式表示）；

①求方程的两个实数根x1

，

x2（用含m的代数式表示）；

②若mx1＜8﹣4x2

，

直接写出m的取值范围．

29、四边形ABCD是正方形，对角线AC，BD相交于点O．

(1)如图1，点P是正方形ABCD外一点，连接OP，以OP为一边，作正方形OPMN，且边ON与边BC相交，连接AP，BN．

①依题意补全图1；

(1)依题意，补全图形；

(2)求证：四边形EFMN是矩形；

(3)连接DM，若DM⊥AC于点M，ON=3，求矩形ABCD的面积．

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②判断AP与BN的数量关系及位置关系，写出结论并加以证明；

(2)点P在AB延长线上，且∠APO=30°，连接OP，以OP为一边，作正方形OPMN，且边ON与BC的延长线恰交于点N，连接CM，若AB=2，求CM的长（不必写出计算结果，简述求CM长的过程）

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答案解析部分

一、选择题

1、

【答案】A

【考点】最简二次根式

【解析】【解答】解：A、

B、

C、

D、

故选A 【分析】利用最简二次根式的定义判断即可．

2、

【答案】B

【考点】平行四边形的性质

【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠A+∠B=180°，∠A=∠C，

∵∠B=2∠A，

∴∠A+2∠A=180°，

∴∠A=∠C=60°．

故选B．

【分析】先根据平行四边形的性质得出∠A+∠B=180°，∠A=∠C，再由∠B=2∠A可求出∠A的度数，进而可求出∠C的度数．

3、

【答案】D

【考点】方差

【解析】【解答】解：∵0.60＞0.56＞0.50＞0.45，

∴丁的方差最小，

∴成绩最稳定的是丁，

故选：D．

【分析】先比较四个选手的方差的大小，根据方差的性质解答即可．

4、

【答案】C

【考点】反比例函数图象上点的坐标特征

【解析】【解答】解：∵A（1，y1），B（2，y2）两点都在反比例函数y= ∴1•y1=1，2•y2=1，

解得：y1=1，y2= ∵1＞

，

，

的图象上，

=2 = ，不合题意；

，不合题意；

为最简二次根式，符合题意；

【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征结合点A、B的横坐标，求出y1、y2的值，二者进行比较即可得出结论．

5、

【答案】C

【考点】菱形的性质

【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，

∴BO=OD= ∴AB= ∴菱形的周长为4 故选：C．

AC=2，AO=OC= = ．

，

BD=3，AC⊥BD，

=2，不合题意，

【分析】根据菱形对角线互相垂直平分的性质，可以求得BO=OD，AO=OC，在Rt△AOD中，根据勾股定理可以求得AB的长，即可求得菱形ABCD的周长．

6、

【答案】D

【考点】命题与定理

【解析】【解答】解：A、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，故本选项错误；

B、对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，故本选项错误；

C、两组对角相等的四边形是平行四边形，故本选项错误；

D、对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，故本选项正确．

故选D．

【分析】分别根据菱形、矩形、正方形及平行四边形的判定定理对各选项进行逐一分析即可．

7、

【答案】C

【考点】正方形的性质

【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，

∴BC=CD，∠DBC=45°，

∵BE=CD，

∴BE=BC，

∴∠BEC=∠BCE=（180°2=67.5°﹣45°）÷，

故选C．

【分析】由正方形的性质得到BC=CD，∠DBC=45°，证出BE=BC，根据三角形的内角和定理求出∠BEC=∠BCE=67.5°即可．

8、

【答案】A

【考点】根的判别式

【解析】【解答】解：∵a=1，b=﹣2，c=k，

而方程有两个实数根，

∴△=b2﹣4ac=4﹣4k≥0，

∴k≤1；

故选A．

22【分析】根据所给的方程找出a，b，c的值，再根据关于x的一元二次方程x﹣2x+k=0有两个实数根，得出△=b∴y1＞y2

．

故选C．

﹣4ac≥0，从而求出k的取值范围．

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9、

【答案】D

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题

【解析】【解答】解：∵正比例函数图象关于原点对称，反比例函数图象关于原点对称，

∴两函数的交点A、B关于原点对称，

∵点A的坐标为（﹣2，1），

∴点B的坐标为（2，﹣1）．

∴关于x的方程

故选D．

【分析】根据正、反比例函数图象的对称性可得出点A、B关于原点对称，由点A的坐标即可得出点B的坐标，结合A、B点的横坐标即可得出结论．

10、

【答案】B

【考点】勾股定理的证明

【解析】【解答】解：将四边形MTKN的面积设为x，将其余八个全等的三角形面积一个设为y，

∵正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1

，

S2

，

S3

，

S1+S2+S3=18，

∴得出S1=8y+x，S2=4y+x，S3=x，

∴S1+S2+S3=3x+12y=18，故3x+12y=18，

x+4y=6，

所以S2=x+4y=6，即正方形EFGH的面积为6．

故选：B．

【分析】据图形的特征得出四边形MNKT的面积设为x，将其余八个全等的三角形面积一个设为y，从而用x，y表示出S1

，

S2

，

S3

，

得出答案即可．

二、填空题

11、

【答案】8

【考点】一元二次方程的解

【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程x﹣6x+m=0有一个根为2，

∴2﹣6×2+m=0，

解得，m=8，

故答案为：8．

【分析】根据关于x的一元二次方程x﹣6x+m=0有一个根为2，可以求得m的值．

12、

【答案】5

【考点】直角三角形斜边上的中线，三角形中位线定理

【解析】【解答】解：∵△ABC是直角三角形，CD是斜边的中线，

∴CD= AB，

222故答案为：5．

【分析】已知CD是Rt△ABC斜边AB的中线，那么AB=2CD；EF是△ABC的中位线，则EF应等于AB的一半．

13、

【答案】23

【考点】折线统计图

【解析】【解答】解：由折线统计图可知，阅读20本的有4人，21本的有8人，23本的有20人，24本的有8人，共40人，

∴其中位数是第20、21个数据的平均数，即

故答案为：23．

【分析】根据中位数的定义求解即可．

14、

【答案】5

【考点】解一元二次方程-配方法

2【解析】【解答】解：方程x+4x+1=0，

2移项得：x+4x=﹣1，

22配方得：x+4x+4=3，即（x+2）=3，

=kx的两个实数根分别为﹣2、2．

=23，

∴a=2，b=3，

则a+b=5，

故答案为：5 【分析】方程配方得到结果，确定出a与b的值，即可求出a+b的值．

15、

【答案】3

【考点】反比例函数的性质

【解析】【解答】解：∵反比例函数y= ∴k＞0，

∴k=3，

故答案为：3．

【分析】根据反比例函数y= 增大而减小可得答案．

16、

【答案】

的性质：当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的的图象在第一象限，

【考点】勾股定理，矩形的性质，翻折变换（折叠问题）

【解析】【解答】解：由折叠得，∠CBD=∠EBD，

由AD∥BC得，∠CBD=∠EDB，

∴∠EBD=∠EDB，

∴DE=BE，

设DE=BE=x，则AE=4﹣x，

222222在直角三角形ABE中，AE+AB=BE

，

即（4﹣x）+3=x

，

又∵EF是△ABC的中位线，

∴AB=2CD=2×5=10cm，

∴EF= ×10=5cm．

解得x= ，

．

∴DE的长为

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故答案为：

故答案分别为2，2 ．

【分析】如图1中，作BE⊥AC于E，由图2可知，AB=2，AE=1，AC=4，EC=3，在Rt△ABE，Rt△BEC中利用勾股定理即可解决问题．

三、解答题

19、

【答案】

【分析】先根据等角对等边，得出DE=BE，再设DE=BE=x，在直角三角形ABE中，根据勾股定理列出关于x的方（1）解：原式=3 ﹣2 +3﹣1

程，求得x的值即可．

17、

【答案】500

【考点】勾股定理的应用

【解析】【解答】解：如右图所示，

∵BC∥AD，

∴∠DAE=∠ACB，

又∵BC⊥AB，DE⊥AC，

∴∠ABC=∠DEA=90°，

又∵AB=DE=400m，

∴△ABC≌△DEA，

∴EA=BC=300m，

在Rt△ABC中，AC= =500m，

∴CE=AC﹣AE=200m，

从B到E有两种走法：①BA+AE=700m；②BC+CE=500m，

∴最近的路程是500m．

故答案是：500．

【分析】由于BC∥AD，那么有∠DAE=∠ACB，由题意可知∠ABC=∠DEA=90°，BA=ED，利用AAS可证△ABC≌△DEA，于是AE=BC=300，再利用勾股定理可求AC，即可求CE，根据图可知从B到E的走法有两种，分别计算比较即可．

18、

【答案】2；2

【考点】勾股定理

【解析】【解答】解：如图1中，作BE⊥AC于E．

由图2可知，AB=2，AE=1，AC=4，EC=3，

在Rt△ABE中，∵∠AEB=90°，

∴BE= = = ，

在Rt△BEC中，BC= = =2 ．

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= +2 （2）解：原式=2 ×

×

=8

【考点】二次根式的混合运算

【解析】【分析】（1）先化简二次根式、根据平方差公式去括号，再合并同类二次根式可得；（2）先化简，再计算乘除法可得．

20、

【答案】

（1）解：x2﹣6x+5=0，

（x﹣5）（x﹣1）=0，

x﹣5=0，x﹣1=0，

x1=5，x2=1 （2）解：2x2﹣3x﹣1=0，

b2﹣4ac=（﹣3）2﹣4×2×（﹣1）=17，

x= ，

x1= ，x2=

【考点】解一元二次方程-公式法，解一元二次方程-因式分解法

【解析】【分析】（1）先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；（2）先求出b2﹣4ac的值，再代入公式求出即可．

四、解答题

21、

【答案】

（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD=BC，∠A=∠C，

∵ND=BF，

∴AD﹣ND=BC﹣BF，

即AN=CF，

在△AEN和△CMF中

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【解析】【解答】解：（1）∵在这次测试中，该班女生得10分的人数为4人，

，

∴这个班共有女生：4÷16%=25（人），

故答案为：25；

∴△AEN≌△CMF（SAS）

（2）证明：如图：由（1）△AEN≌△CMF，

故EN=FM，

同理可得：△EBF≌△MDN，

∴EF=MN，

∵EN=FM，EF=MN，

∴四边形EFMN是平行四边形，

∵EM⊥FN，

∴四边形EFMN是菱形．

【分析】（1）根据扇形统计图可以得到这个班的女生人数；（2）根据本班有45人和（1）中求得得女生人数可以得到男生人数，从而可以得到得7分的男生人数，进而将统计图补充完整；（3）根据表格中的数据可以求得男生得平均成绩和女生的众数；（4）答案不唯一，只要从某一方面能说明理由即可；（5）根据题意可以求得女生优秀人数再增加多少人才能完成康老师提出的目标．

23、

【答案】解：∵∠B=90°，AB=BC=2，

∴AC= 又∵CD=3，DA=1，

∴AC2+DA2=8+1=9，CD2=9，

∴AC2+DA2=CD2

，

∴△ACD是直角三角形，

∴∠CAD=90°，

∴∠DAB=45°+90°=135°．

故∠DAB的度数为135°．

【考点】全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质，菱形的判定

【解析】【分析】（1）直接利用平行四边形的性质得出AN=CF，再利用全等三角形的判定方法得出答案；（2）直接利用全等三角形的判定与性质得出EN=FM，EF=MN，再结合菱形的判定方法得出答案．

22、

【答案】

（1）25 （2）解：男生得7分的人数为：45﹣25﹣1﹣2﹣3﹣5﹣3=6，

故补全的统计图如右图所示

【考点】勾股定理，勾股定理的逆定理

【解析】【分析】由于∠B=90°，AB=BC=2，利用勾股定理可求AC，并可求∠BAC=45°，而CD=3，DA=1，易得AC2+DA2=CD2

，

可证△ACD是直角三角形，于是有∠CAD=90°，从而易求∠BAD．

24、

【答案】

（1）解：如图所示：

=2 ，∠BAC=45°，

（2）证明：∵点E，F分别为OA，OB的中点，

∴EF∥AB，EF= AB，

DC，

同理：NM∥CD，MN= ∵四边形ABCD是矩形，

（3）解：男生得平均分是：

女生的众数是：8，

故答案为：7.9，8 （4）解：女生队表现更突出一些，

理由：从众数看，女生好于男生

（5）解：由题意可得，

60%﹣（20×40%+6）﹣（25×36%）=4（人），

女生需增加的人数为：45×即女生优秀人数再增加4人才能完成康老师提出的目标

【考点】统计表，扇形统计图，条形统计图，方差

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=7.9（分），

∴AB∥DC，AB=DC，AC=BD，

∴EF∥NM，EF=MN，

∴四边形EFMN是平行四边形，

∵点E，F，M，N分别为OA，OB，OC，OD的中点，

∴EO= AO，MO= CO，

AC，BO=DO= BD，

在矩形ABCD中，AO=CO=

∴EM=EO+MO= 同理可证FN= ∴EM=FN，

AC，

BD，

∵△ADE的面积=6，

∴

•AD•|xE|=6，

∴xE=±3，

∵点E在反比例函数y= 图象上，

∴四边形EFMN是矩形

（3）解：∵DM⊥AC于点M，

由（2）MO= ∴DO=CD，

在矩形ABCD中，

AO=CO= AC，BO=DO= BD，AC=BD，

CO，

∴E（3，4），或（﹣3，﹣4），

当E（3，4）在一次函数y=ax﹣1上时，

4=3a﹣1，

∴a= ，

x﹣1，

∴一次函数解析式为y= ∴AO=BO=CO=DO，

∴△COD是等边三角形，

∴∠ODC=60°，

∵MN∥DC，

∴∠FNM=∠ODC=60°，

在矩形EFMN中，∠FMN=90°．

∴∠NFM=90°﹣∠FNM=30°，

∵NO=3，

∴FN=2NO=6，FM=3 ∴BC=2FM=6 ，

，MN=3，

∵点F，M分别为OB，OC的中点，

当点（﹣3，﹣4）在一次函数y=ax﹣1上时，

﹣4=﹣3a﹣1，

∴a=1，

∴一次函数解析式为y=x﹣1，

综上所述一次函数解析式为y=x﹣1或y= x﹣1 x，设点P（xP

，

yP），取OP中点M，则OM= OP，

（3）解：由（2）可知，直线OE解析式为y= ∴M（

∴Q（

∴H（

AB，NM∥CD，∵点P、Q在反比例函数y= xP=（

，

，

），

xP+ ）

图象上，

xP

，

xP

，

xP+ ，

xP），

xP），

∴矩形的面积为BC•CD=36 【考点】矩形的判定与性质

【解析】【分析】（1）根据题目要求画出图形即可；（2）根据三角形中位线定理可得EF∥AB，EF= MN= ，0），

DC，再由矩形的性质可得AB∥DC，AB=DC，AC=BD，进而可得四边形EFMN是矩形；（3）根据条件可得DM垂直平分OC，进而可得DO=CO，然后证明△COD是等边三角形，进而得出BC，CD的长，进而得出答案．

∴xP• 25、

【答案】

（1）解：∵反比例函数y= ∴

=3，

的图象经过点B（4，3），

∴xP= ∴P（

∴k= ．

∴m=12，

∴反比例函数解析式为y=

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题，矩形的性质，坐标与图形变化-平移

【解析】【分析】（1）利用待定系数法即可解决．（2）设点E（xE

，

yE），由△ADE的面积=6，得

列出方程即可解决．（3）设点P（xP

，

yP），取OP中点M，则OM= xP+ ，

xP），列出方程求出xP即可解决问题．

OP，则M（

xP

，

•AD•|xE|=6，xP），Q（

（2）解：∵四边形OABC是矩形，点B（4，3），

∴A（0，3），C（4，0），

∵一次函数y=ax﹣1的图象与y轴交于点D，

∴点D（0，﹣1），AD=4，设点E（xE

，

yE），

五、填空题

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◎

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26、

【答案】

∴x1=1，x2=2﹣

；

【考点】实数与数轴

【解析】【解答】解：OB= ∵OB=OA，

∴点A表示的实数是

故答案为：

．

，

= ，

②∵mx1＜8﹣4x2

，

∴m＜8﹣4（2﹣

解得：3＜m＜2 ），

．

2【考点】根的判别式，根与系数的关系

【解析】【分析】（1）由于m＞3，此方程为关于x的一元二次方程，再计算出判别式△=（m﹣3）

，

然后根据判别式的意义即可得到结论；（2）②由求根公式得到x=1，或x= 即可得到

结果．

29、

【答案】

【分析】首先利用勾股定理计算出BO的长，然后再根据AO=BO可得答案．

（1）解：①补全图形如图1所示，

27、

【答案】矩形的面积S一定时，矩形的长a是矩形的宽b的反比例函数；a= （S为常数，且S≠0）

【考点】反比例函数的应用

【解析】【解答】解：矩形的面积S一定时，矩形的长a是矩形的宽b的反比例函数，

这两个变量之间的函数解析式为：a= （S为常数，且S≠0）．

故答案为：矩形的面积S一定时，矩形的长a是矩形的宽b的反比例函数；a= （S为常数，且S≠0）．

【分析】根据矩形的面积公式S=ab，即可得知：当面积S固定时，矩形的长a是矩形的宽b的反比例函数，由此即可得出结论．

六、解答题

28、

②结论：AP=BN，AP⊥BN．

【答案】

理由：延长NB交AP于H，交OP于K．

（1）证明：∵mx2﹣3（m﹣1）x+2m﹣3=0（m＞3）是关于x的一元二次方程，

∵四边形ABCD是正方形，

∴△=[（﹣3（m﹣1）]2﹣4m（2m﹣3）=m2﹣6m+9=（m﹣3）2

，

∴OA=OB，AO⊥BO，

∵m＞3，

∴∠1+∠2=90°，

∴（m﹣3）2＞0，即△＞0，

∵四边形OPMN是正方形，

∴方程总有两个不相等的实数根

∴OP=ON，∠PON=90°，

∴∠2+∠3=90°，

（2）①由求根公式得x= ，

∴∠1=∠3，

在△APO和△BNO中，

∴x=1，或x= ，

，

∵m＞3，

∴

＞3，

∴△APO≌△BNO，

∴AP=BN，∴∠4=∠5，

当x1＜x2

，

在△OKN中，∠5+∠6=90°，

∴x∵∠7=∠6，

1=1，x2=2﹣

；

∴∠4+∠7=90°，

当x1＞x2

，

∴∠PHK=90°，

这种情况不存在；

∴AP⊥BN．

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◎

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，即可得到结论；②根据mx1＜8﹣4x2

，

（2）解：解题思路如下：

a．首先证明△APO≌△BNO，AP=BN，∠OPA=ONB．

b．作OT⊥AB于T，MS⊥BC于S，由题意可知AT=TB=1，

c．由∠APO=30°，可得PT= ，BN=AP= +1，可得∠POT=∠MNS=60°．

d．由∠POT=∠MNS=60°，OP=MN，

可证，△OTP≌△NSM，

∴PT=MS= ，

∴CN=BN﹣BC= ﹣1，

∴SC=SN﹣CN=2﹣

，

在RT△MSC中，CM2=MS2+SC2

，

∴MC的长可求．

【考点】正方形的性质

【解析】【分析】（1）①根据题意作出图形即可．②结论：AP=BN，AP⊥BN，只要证明△APO≌△BNO即可．（2）在RT△CMS中，求出SM，SC即可解决问题．

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◎

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