构建知识体系优质课教案整理

第十七章

勾股定理

宾川一中

周语

教学目标：

1.掌握勾股定理及其逆定理的具体内容。

2.综合运用勾股定理及其逆定理解决有关直角三角形的计算题。

3.构建直角三角形模型解决两点间最短路径问题和折叠问题。

教学重点：勾股定理及逆定理

教学难点：构建模型解决实际问题。

教学过程：

一、出示目标

1.掌握勾股定理及其逆定理的具体内容。

2.综合运用勾股定理及其逆定理解决有关直角三角形的计算题。

3.构建直角三角形模型解决两点间最短路径问题和折叠问题。

二、知识点回顾

1.勾股定理的应用

勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用有：（1）已知直角三角形的两边求第三边

（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系。求直角三角形的另两边

（3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题

（4）勾股定理的直接作用是知道直角三角形任意两边的长度，求第三边的长．这里一定要注意找准斜边、直角边；二要熟悉公式的变形：

a2c2b2,b2c2a2,ca2b2,ac2b2,bc2a2．

勾股定理的探索与验证，一般采用“构造法”．通过构造几何图形，并计算图形面积得出一个等式，从而得出或验证勾股定理．

2.如何判定一个三角形是直角三角形

（1）

先确定最大边（如c）

（2）

验证c2与a2b2是否具有相等关系

（3）

若c2=a2b2，则△ABC是以∠C为直角的直角三角形；若

c2≠a2b2，

则△ABC不是直角三角形。

2223、三角形的三边分别为a、b、c，其中c为最大边，若abc，则三角形22222是直角三角形；若abc，则三角形是锐角三角形；若abc，则三角形是钝角三角形．所以使用勾股定理的逆定理时首先要确定三角形的最大边

4、勾股数

满足a2b2=c2的三个正整数，称为勾股数

如（1）3，4，5；

（2）5，12，13；

（3）6，8，10；（4）8，15，17

（5）7，24，25

（6）9, 40, 41 四、考点讲练

考点一

勾股定理及其应用

例1

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AC=20，BC=15. （1）求AB的长；

（2）求BD的长．

解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°ABAC2BC220215225;

（2）方法一：∵S△ABC=

AC•BC=

AB•CD，

∴20×15=25CD，∴CD=12．

2222BDBCCD15129.

∴在Rt△BCD中，方法二：设BD=x,则AD=25-x. AC2AD2CD2,BC2BD2CD2,AC2AD2BC2BD2,2025x152x2,即50x=450，22

解得x=9.∴BD=9. 方法总结：对于本题类似的模型，若已知两直角边求斜边上的高常需结合面积的两种表示法起来考查，若是同本题(2)中两直角三角形共一边的情况，还可利用勾股定理列方程求解. 例2

如图所示，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A出发，沿长方体的表面爬到对角顶点C1处，问怎样走路线最短？最短路线长为多少？

解析：蚂蚁由A点沿长方体的表面爬行到C1点，有三种方式：

①沿ABB1A1和A1 B1C1D1面；②沿ABB1A1和BCC1B1面；③沿AA1D1D和A1B1C1D1面，把三种方式分别展成平面图形如下：

Rt△ABC1中

AC129.5＜29＜37，

22222ACABBC4325，AC5.111在Rt△ACC1中，在Rt△AB1C1中AC12AC2CC12621237，AC137.222AC12AB12BC，115229

5. 方法总结：化折为直：长方体中求两点之间的最短距离，展开方法有多种，一般沿最长棱展开，距离最短. 考点二

勾股定理的逆定理及其应用

abc例3

在△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b，

345

，

2c-b=12，求△ABC的面积．

解：由题意可设a=3k，则b=4k，c=5k，

∵2c-b=12，

∴10k-4k=12，∴k=2，

∴a=6，b=8，c=10，

∵62+82=102，∴a2+b2=c2，

∴△ABC为直角三角形，

∴△ABC的面积为

0.5 ×6×8=24．

例4

B港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东60°方向以每小时8 n mile的速度前进，乙船沿南偏东某个角度以每小时15 n mile的速度前进，2 h后，甲船到M岛，乙船到P岛，两岛相距34 n mile，你知道乙船是沿哪个方向航行的吗？

解：甲船航行的距离为BM= 16（n mile）, 乙船航行的距离为BP= 30（n mile）．

∵162+302=1156，342=1156, ∴BM2+BP2=MP2, ∴△MBP为直角三角形，∴∠MBP=90°

, ∴乙船是沿着南偏东30°方向航行的．

考点三

勾股定理与折叠问题

例5

如图，在长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，求△ABE的面积. 解：∵长方形折叠，使点B与点D重合，

∴ED=BE. 设AE=xcm，则ED=BE=(9-x)cm，

在Rt△ABE中，

AB2+AE2=BE2，

∴32+x2=(9-x)2，

解得x=4. ∴△ABE的面积为3×4×

0.5

=6(cm2). 考点四

本章解题思想方法

方程思想

例6

如图，在△ABC中，AB=17，BC=9，AC=10，AD⊥BC于D.试求△ABC的面积．

解：在Rt△ABD和Rt△ACD中，

AB2-BD2=AD2，AC2-CD2=AD2，

设DC=x，则BD=9+x，

故172-(9+x)2=102-x2，

解得x=6. ∴AD2= AC2−CD2 = 64，∴AD=8. ∴S△ABC=

0.5

×9×8=36．

分类讨论思想

例7 在△ABC中，AB＝20，AC＝15，AD为BC边上的高，且AD＝12，求△ABC的周长．

解：当高AD在△ABC内部时，如图①. 在Rt△ABD中，由勾股定理，

得BD2＝AB2－AD2＝202－122＝162，

∴BD＝16. 在Rt△ACD中，由勾股定理，

得CD2＝AC2－AD2＝152－122＝81，

∴CD＝9.∴BC＝BD＋CD＝25，

∴△ABC的周长为25＋20＋15＝60. 当高AD在△ABC外部时，如图②. 同理可得

BD＝16，CD＝9. ∴BC＝BD－CD＝7，

∴△ABC的周长为7＋20＋15＝42. 综上所述，△ABC的周长为42或60 方法总结：题中未给出图形，作高构造直角三角形时，易漏掉钝角三角形的情况．如在本例题中，易只考虑高AD在△ABC内的情形，忽视高AD在△ABC外的情形．

转化思想

例8

有一圆柱体高为8cm，底面圆的半径为2cm，如图.在AA1上的点Q处有一只蜘蛛，QA1=3cm，在BB1上的点P处有一只苍蝇，PB=2cm．求蜘蛛去吃苍蝇爬行的最短路径长(π取3). 解：如图,沿AA1剪开,过Q作QM⊥BB1于M,连接QP. 则PM=8-3-2=3(cm)，

QM=A1B1= 0.5 ×2×π×2=6(cm)，

在Rt△QMP中，由勾股定理得

PQQM2PM235cm.

答：蜘蛛爬行的最短路径长是35

cm．

针对练习

.1．已知Rt△ABC中，∠C=90°，若a +b=14cm，

c=10cm，求△ABC的面积. 2.在O处的某海防哨所发现在它的北偏东60°方向相距1000米的A处有一艘快艇正在向正南方向航行，经过若干小时后快艇到达哨所东南方向的B处. （1）此时快艇航行了多少米(即AB 的长)？

（2）距离哨所多少米（即OB的长）

？

3.已知下列图形中的三角形的顶点都在正方形的格点上，可以判定三角形是直角三角形的有________．

4.如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC＝6 cm，BC＝8 cm，将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕是DE，则CD的长为

．

5.如图，在四边形ABCD中，AB=20cm，BC=15cm，CD=7cm，AD=24cm，∠ABC=90°．猜想∠A与∠C关系并加以证明．