三角形的特性及三边关系优秀教案范文

动手操作，稳步构建模型的有效手段

——“三角形边的关系”教学实践与思考

河北省唐山市汉沽管理区皂甸小学武国芬

教学内容：小学数学四年级下册“三角形边的关系”。

教学目标：

1．通过观察、操作和实验探索等活动，经历三角形三边之间的关系的探究过程，理解三角形三边的关系，并能应用三角形三边的关系解决生活中的实际问题。

2．培养学生推理、抽象概括和动手操作的能力，增强运用数学知识解决实际问题的能力。

3．渗透数学模型思想，在数学探究活动中获得成功的体验，感受数学价值。

教学准备：多媒体课件、实验记录单及三组不同长度的小棒。

教学重点：理解三角形任意两边的和大于第三条边。

教学难点：三角形三边关系的探究和归纳，以及对“任意”的理解。

教学过程：

一、猜谜热身，情趣导入

师：同学们喜欢猜谜语吗？老师出一个谜语，同学们积极开动脑筋，好好想一想谜底是什么呢？（课件出示）

师：经过思考，同学们有答案了吗？谁愿意把自己的谜底说出来，和大家分享。

生：我知道，谜底是“三角形”。

师：为什么是三角形，而不是别的几何图形？请给出一个令人信服的理由。

生：我这样想，在我们认识的图形中只有三角形“形状似座山”，同时也只有三角形符合“三竿首尾连”中的“三”，所以我明确认定这个几何图形就是三角形。

师：说得真棒！谜底确实是三角形。“三竿首尾连，学问不简单”为什么不简单呢？具备什么条件的三条线段能围成三角形？三角形的三条边之间究竟藏着什么学问？这节课我们就一起来揭开这个秘密。

教师板书课题：三角形边的关系。

【

思考：借助猜谜语的形式激发学生的学习兴趣，唤起学生对三角形的知识储备，帮助

学生重现三角形的直观表象。在此基础上展开有效质疑,“具备什么条件的三条线段能围成三角形?三角形的三条边之间究竟藏着什么学问?”引发学生探究新知的欲望,对三角形三边关系的本质属性的思考,为构建三角形三边关系的数学模型奠定较为稳固的认知基础。】二、提出问题,引发猜想

师:三角形的知识,在我们生活中有着非常广泛的应用。请同学们先看一幅小明上学的示意图。

(课件出示例3)

师:观察上面的示意图,你能看出小明上学有几条路可以走?这三条路中,走哪条路最近呢?

生:我认为小明上学有三条路可以走。

生:我观察到中间的这条路是直的,中间这条线路最短,所以走中间的路最近。

师:同学们,如果把图中的这三段直直的路看作是三条线段,每相邻两条线段的端点相连,这样就围成了一个什么图形呢?

生:三角形。

师:走其中的这一段路比另一条两段路的和近,这说明了什么数学问题呢?

引发猜想:这是否说明了这个三角形中两边的和比第三条边大。那是不是所有的三角形都具备这样的关系呢?下面我们来验证一下。

【思考:模型准备环节问题设计的好坏对模型的假设起着决定作用。在数学建模的模型准备阶段,教师要注意找准学生的最近发展区,尽可能为学生提供完整、真实的问题背景,通过呈现问题引发学生的思考,产生学习的需要。受儿童年龄和思维的局限,由学生自主意识到“用任意两边之和同第三边比较”是一个难点。为突破这个难点,借助学生已有的生活经验和熟悉的生活情境,引导学生对三条路的远近进行比较,由生活经验过渡到数学思维,提出问题,引发猜想,学生对三角形边的关系的进一步思考,为数学模型的假设与验证提供有效铺垫。】

三、自主探究,构建模型

(一)测量比较,初步感知

师:测量是验证猜想正确与否的一种重要的方法。

提出测量要求:

1.任意画一个三角形,测量出每条边的长度,比较三角形“两边的和是否大于第三边?”

2.组内交流,你的猜想正确吗?

学生独立画三角形,测量、计算、比较,小组讨论后汇报交流。

生1:计算后发现三角形中两边相加起来比第三条边大。

生2:三角形中不管哪两边的和都比第三条边大。

生:我们测量、计算的结果和前面两组一样,三角形中两边的和大于第三条边。

师:是每两条边的和都大于第三边吗?

同学们通过测量和计算,都得出了相同的结论,初步验证了猜想是正确的。

师:老师用几何画板也画了三角形。看看你发现了什么?

教师操作演示,通过几何画板中三角形的形状和边长的不断变化,学生直观感受到“无论三角形的形状发生怎样的变化,三角形三边的关系永远不变,永远是两边之和大于第三边。

【思考:数学模型的验证环节,学生独立任意画三角形,通过测量、计算和比较任意两边之和与第三边之间的数值关系,初步感知提出的猜想是正确的。同时,几何画板的演示,渗透了变中不变的数学思想。此时教师不是就事论事,从而过早地对学生的验证过程和结果进行评判,而是引导学生在操作、交流、质疑中用事实验证自己的假设。这样做,加深了学生对三角形三边之间关系的数学模型的理解和把握。】

(二)操作验证,深入探究

师:除了测量和计算,数学家们还常常通过实验的方法来揭示数学规律、发现或验证数学结论。小朋友们,让我们也一起来做一回小小数学家吧。

1.明确实验要求和方法:小组合作,用准备好的小棒围三角形。一个同学动手操作,一个同学做好记录。课件出示:每组小棒都能围成三角形吗?交流不能围成的原因是什么?

通过实验你发现了什么,把得出的结论与大家分享。

2.学生分组实验,教师巡视指导与点拨。

【思考:数学实验是学生积累基本活动经验的基本方法之一,不仅有助于培养学生的创

新意识,也有助于数学思想方法和解决问题策略的学习。采用分组合作的学习形式,通过实验操作和观察、记录、分析等手段验证数学结论的真伪。这样做,可使新知识具体化,消减由于结论的抽象性和推理的复杂性而造成学生对新知识的接受上的心理障碍,促使新知识很好地、快速地内化到学生已有的知识结构中去,增进学生对新知识的认可和理解。动手操作,通过围一围、算一算、比一比的活动,学生再次感悟三角形三边之间的关系,从而深入理解三角形三边的关系,对数学模型的真实可靠性、普遍适用性有了更加清晰的认识。如此组织和开展教学,既让学生亲身经历知识的形成过程,数学模型的构建过程,也培养了学生严谨的学习数学态度,掌握较为科学的数学学习方法。】

3.交流共享,构建模型

(学生用小棒代替线段,汇报交流每组线段能不能围成三角形,并说明理由。)

生:我们发现,第一组不能围成三角形,两根合起来还不如第三根长,用算式表示:3+6 <10。所以:两条线段的和小于第三条线段,不能围成三角形。

师:对于这位同学的说法,大家有什么不同意见?

生(齐声):没有不同意见。

师:哪位同学还有新的发现?

生:第二组也不能围成三角形。算式:4+5=9。所以:两条线段的和等于第三条线段,也不能围成三角形。

师:同学有不同意见吗?

生:我觉得4cm、5 cm、9 cm的三根小棒也能围成三角形。

生:我用这三根小棒拼了拼,好像勉勉强强能围成三角形。

师:现在出现了两种不同的说法,到底谁的说法正确呢?同学们细心观察屏幕上的演示过程,相信你会做出自己的正确判断。

课件演示,学生观察。

师:现在,大家能做出判断了吗?

生:是我错了,原来4cm、5 cm、9 cm的三根小棒真的不能围成三角形。

生：两条线段的和等于第三条线段，两条边正好和第三条边重合，所以不能围成三角形。 师：完全正确，学习数学就需要“知其然”，更“知其所以然”的精神，只有这样，学的知识才能真正理解。那到底什么样的三条线段能围成三角形呢？请继续。

生：第三组和第四组能围成三角形。

师：那三条边之间又有怎样的关系呢？

生：6+7＞8、6+8＞7、7+8＞6；8+11＞11、8+11＞11、11+11＞8；所以：两条线段的和大于第三条线段，才能围成三角形。

师：说得真好！可是第一组和第二组中也有两边之和大于第三边啊？怎么就不能围成三角形呢？（指着算式6+10＞3、9+5＞4等）

生：因为这两组中有小于和等于的。（两条线段的和小于第三边，两条线段的和等于第三条线段。）

师：没错！也就是说有一组不大于的就不能围成。同学们现在能说一说三条线段围成三角形的必要条件是什么吗？

生（齐声）：要想围成三角形，两条线段的和必须都大于第三条线段。

师：“都”是什么意思？

生：“都”就是一个三角形中所有的、任意的两边之和大于第三条边。

得出结论（板书）：三角形的任意两边的和大于第三边。

【思考：学习是学习者以自身已有的知识和基本经验为基础的主动建构过程。数学建模的目的不仅仅是获得数学结论，更重要的是在建模的过程中促进知识的内化、思想的升华发展。教学过程中，教师引导学生交流、分享、分析、比较、质疑实验现象中各种情况（能围成三角形与不能围成三角形），促使学生思维碰撞，灵感迸发，增强对三角形三边关系的本质属性的深度思考，起到了画龙点睛的作用。】

4.小试身手

师：利用三角形三边的关系，能够帮助我们准确地判断一些线段能否围成三角形。（课件出示）

生:因为3+4>5、3+5>4、4+5>3,所以第(1)组的三根小棒能围成三角形。

师:有不同的方法吗?

生:3+4>5

为什么只比较3+4>5,就能得出结论呢?

生:我是这样想的,如果较小的两条线段相加的和都大于最长的线段了,那么用一条较短的线段与最长的一条线段相加,就一定大于另一条线段了。

师:说得太好了。看来啊,确定三条线段能否围成三角形,不需要把三条线段中每两条线段都相加后才能做出判断,只要用较小的两条线段的和与第三条线段比较即可。

【思考“小试身手”意在帮助学生应用三角形三边的关系进行合理判断,提出判断围成三角形的简便方法的具有思维含量的数学问题,在寻找更快捷方法的过程中达到对这一问题的深化认识,则更加促进学生深度思考,使不同层次的学生基本思想与活动经验得以提升,渗透优化的数学思想。】

5.解释应用

师:你能利用三角形三条边的关系来解释一下小明家到学校走中间的这条路最近的原因吗?

生:把小明家、邮局、学校看作三个点,它们正好可以围成三角形,小明家到邮局的路、邮局到学校的路、小明家到学校的路分别是三角形的边,根据三角形任意两边之和大于第三边,可以确定从小明家笔直到学校的路近一些。

【思考:首尾呼应,解决课前提出的问题,利用构建的数学模型解释生活现象,既让学生感受数学与生活的密切联系,又能让学生进一步感受到数学的学习与应用价值。】

6.揭示概念——“两点间的距离”

师:根据同学们的分析,我们现在可以确定“小明家到学校走中间的这条路最近”。

即两点间所有连线中线段最短,这条线段的长度叫做两点间的距离。

【思考:通过一系列的测量、操作后,让学生感知“两点之间,线段最短”,这样的设计更具严谨性。】

四、巩固应用拓展延伸

1.数学小游戏

迈大步游戏:同学们,生活中的小游戏也蕴含着数学知识,你能用今天学的知识解释——“她一步可能迈出2米吗?”(课件出示)生:我觉得这个同学一步不能迈2

米,因为

他的腿长0.8米,0.8 +0.8 =1.6米。根据三角形三边的关系,这个同学一步迈出的距离应该小于小于1.6米,所以我认为她一步不可能跨出两米。

2.挑战自我:

学校航模社团要做一个三角形木架,现有两根木条的长度分别是2厘米和5厘米,第三根木条的长度可能是多长呢?(取整厘米数)

生:因为三角形两边的和大于第三边,5+2=7,所以第三根小棒只要比7厘米短既可以了。

生:我有不同看法,如果5厘米的小棒是最长的,那么2厘米的小棒和第三根的和要大于5厘米,第三根小棒最短是4厘米。

生:我觉得他们的说法都有道理,但都不全面。我综合两人的想法,第三根小棒最短是4厘米,最长是6厘米,中间还有可能是5厘米。

师:看来,我们只考虑一个方面是不行的。解决数学问题时,同学们要学会全面思考,才能得出准确结果。

3.生活放大镜

师:利用三角形三边的关系,可以帮助我们解决生活中许多有意义的问题。(出示普通斑马线图片)

片)在红绿灯的正确指引下,人们就可以斜穿马路,

大大方便了行人。这种斑马线的设计者是杭州的一

位交警叔叔。在记者采访时,他说,这种斑马线的

设计灵感就来自于数学中三角形三边关系。希望大

家也能像这位交警叔叔一样,用数学的眼光去观察

生活,用数学知识去解决生活中更多的问题。

(2)请小朋友再来观察一幅公园中的图片,你看到了什么现象?这其中是不是有一定的数学道理呢?

如果你是园林设计师你会怎样做,你能给相关人员提一下合理化建议吗?

有一位世界著名的建筑大师他是怎样做的呢?想了解一下吗?我们一起来欣赏一个“最佳设计”的小故事:

在1971年伦敦国际园林建筑艺术研讨会上,迪斯尼乐园的路径设计获得了“世界最佳设计”奖。设计者世界著名建筑大师格罗培斯却说,“其实那不是我的设计”。这究竟是怎么回

事呢?就在迪斯尼乐园主体工程完工后,其中最微不足道的路径设计却让他大伤脑筋。正当

认真、负责的格罗培斯感到困惑时,他从法国南部一个卖葡萄的老太太那里受到启发,他在

空地上撒上草种,接下来宣布乐园提前试开放。半年后,乐园里绿草茵茵,草地上也被游客踏出了不少宽窄不一的小路,非常幽雅自然。格罗培斯根据这些行人踏出来的小路铺设了人行道,这就是被世界各地的园林设计大师们评为“简捷便利、个性突出、幽雅自然”的迪斯尼乐园小路。

“最佳路径”不光是指迪斯尼乐园的路径设计被评为最佳,也指这种创造性的方法是最佳的,不仅因为他有精湛的艺术、创新的思维,还因为作者的精益求精的精神,更表现在他尊重他人,为人着想的人本思想。小朋友,欣赏完了这个小故事,相信你一定能够从中受到启发,学习格罗培斯这种精神,每个人能找到属于自己的通往成功的最佳路径。

【思考:引导学生利用抽象出的数学模型解决生活、生产中的实际问题是数学建模的目的,也是学以致用在数学教学中的具体表现。通过数学模型解释与应用,既能巩固所学知识,又将所学知识应用于生活实际。本环节的练习安排基础性、层次性、思维性、开放性、拓展性兼备,既饱含生活情趣,又不失数学的严谨和严密,培养数学应用意识,提升学生解决问题的能力。很好地实现了数学学习的教学价值,同时借助“抄近路践踏草坪”促进学生社会公德意识的评判,“对角斑马线”不失数学本质的同时又培养了学生创新意识,“最佳路径”小故事则体现了数学教学的育人功能。】

五、反思回顾,全课总结。

师:今天你学会了什么?有什么收获?

师:同学们,生活中存在着很多值得我们去研究的数学现象,需要我们用心去发现,用脑去思考。在今后的学习中,我们将有机会获取更多的知识,解决更多生活中有意义的问题。

教后思考:

《数学课程标准》强调从学生已有的生活经验出发,让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程,使学生在理解数学的同时,在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到发展。数学建模作为一种研究性学习方式,能密切数学与现实生活的联系,让学生体会数学的应用价值,帮助学生学会数学地思考,激发学生主动学习的积极性。数学建模对学生问题意识、应用能力和创造能力的培养具有积极的意义。

本课教学按照模型准备(从生活情境中抽象出一个比较清晰的数学问题)→模型假设与验证(针对问题特点和建模目的作出假设,并予以验证) →模型确立(运用适当的数学工具,进行数学抽象,确定数学结构)→模型解释与应用(用数学模型解决实际问题,用数学语言刻画实际问题)→模型拓展(适度生成、派生新模型)的环节有序展开,学生较为完整且真

实地经历了“问题情境(提出问题)——自主探究——得出结论——应用提升”的学习过程,使得有效积累数学活动经验,感悟数学思想方法,增进对数学本质的理解。具体而言:一、创设情境,引发模型猜想

结合学生的生活经验,创设“走路线”的问题情境,引导学生在情境中发现问题,寻找教学切入点和生长点,从直观形象的角度抽象出数学问题,引发学生思考,从而提出猜想,经历从“境”到“型”的转化,凸显数学本质意义。

二、反复验证,稳步构建模型

第一次验证:教师提供素材(已围成的三角形),供学生验证,通过测量、计算、做比较等一系列活动,学生初步感悟提出的猜想是正确的。

第二次验证,用小棒摆三角形,体现动手操作的价值。第一,操作是探索图形性质的有效手段;第二:操作可以对通过观察等得到的猜想进行验证;第三:操作可以加深对图形性质的理解。有效的动手操作能给学生最直观、最直接的感知,能很好地搭建形象与抽象的平台。同时在操作中也体现了推理的价值,缺乏思考的盲目的操作会造成操作的无效性。比如在出现两边之和等于第三边时,学生拼出了三角形,此时最好的解决办法就是借助推理,合乎逻辑的推理能够帮助学生解决操作中的误差。(如4+5=9时,9与9平行、重合了,拼不成了)。学生正是通过四组小棒一系列的操作、推理、总结与归纳,有效构建数学模型,同时通过对比分析等手段,使数学模型结构化、简约化。

三、回归生活,感悟模型价值

训练是巩固新知、拓展认知、发展思维、运用知识和方法的有效手段。基于此,本节课根据教学目标,由浅入深、精心设计典型性、思考性的题目,有助于学生理解数学对象的本质特征以及建立新旧知识之间的内在联系。

总之,本节课以动手操作活动为载体,让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型的过程,获得连任学习数学必需的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验,再将模型演绎到各种生活现象和问题情境中,促进模型的进一步内化,使学生领悟数学建模的价值,学生的思维能力、数学素养等多方面得到进步和发展。