小结第二课时教案

第二章

平面向量

小结

【知识回顾】

1.向量的概念

（1）零向量模的大小为0，方向是任意的，它与任意非零向量都共线，记为0.

（2）长度等于1个单位长度的向量叫单位向量，a的单位向量为

.

（3）方向相同或相反的向量叫共线向量（平行向量)。

(4）向量的投影

：

叫做向量b在向量a方向上的投影。

2．掌握两个定理

(1)向量共线定理：向量a(a≠0)与b共线当且仅当存在唯一一个实数λ，使b＝λa.

(2)平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2，其中e1，e2是一组基底．

3．熟记平面向量的两个充要条件

若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则：

(1)a∥b⇔a＝λb(λ≠0)⇔x1y2－x2y1＝0. (2)a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.

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4．活用平面向量的三个性质

(1)若a＝(x，y)，则|a|＝a·a＝x2＋y2

(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则

AB＝(x2－x1)＋(y2－y1)

22(3)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为a与b的夹角，则

x1x2＋y1y2a·bcos θ＝|a||b|＝2222

x1＋y1x2＋y2【数学思想方法】

一、构建模型的思维方法

构建模型是中学数学中重要的思想方法之一，运用它可以迅速地将某些研究对象或实际问题抽象为数学问题，进而使问题得以解决．平面向量中的不少知识和问题中都蕴含着这一思想方法，如向量的加、减法可归结为平行四边形或三角形模型．

例1

在重300 N的物体上系两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为30°和60°，求重物平衡时，两根绳子拉力是多少？

解:

作▱OACB，使∠AOC＝30°，

∠BOC＝60°. 在△OAC中，∠ACO＝∠BOC＝60°，∠OAC＝90°，

2

OAOCcos30°＝1503 N，

ACOCsin30°＝150 N，

OBAC＝150 N. ∴与铅垂线成30°角的绳子的拉力是1503N，与铅垂线成60°角的绳子的拉力是150 N. 练习：某人在静水中游泳，速度为43千米/小时，如果他径直游向河对岸，水流的速度为4千米/小时，他实际沿什么方向前进？速度大小为多少？

解:

如图所示,设此人游泳的速度为，水流的速度为，以OA、OB为邻边作▱OACB.则此人的实际速度为OAOBOC.据勾股定理知OC＝8.且在Rt△AOC中，∠COA＝60°，故此人沿与河岸夹角60°顺着水流的方向前进，速度大小为8千米/小时．

方法总结：

用向量解答物理问题的模式：

①建模，把物理问题转化成数学问题．

②解模，解答得到的数学问题．

③回答，利用解得的数学答案解释物理现象．

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二、数形结合的思想方法

由于向量本身具有代数形式(用有序实数对表示)与几何形式(用有向线段表示)的双重特点，所以向量知识体现了数形结合的思想方法．

例2

向量a，b的夹角为60°，且|a|＝1，|b|＝2，则|2a－b|＝(

) A．1

C．3

B.2

D．2 解析

依题意作图，易知△OAB为等边三角形，所以|2a－b|＝|b|＝2. 练习：若向量a、b、ｃ两两所成的角相等，且a1,b1,c3,则abc等于（）

Ａ.２

Ｂ.５

Ｃ.２或５

Ｄ.2或5

三、转化与化归思想

转化与化归思想，就是在研究和解决有关数学问题时，通过变换，将问题转化为易解决的问题的一种方法．

例3

如图所示，点O是平行四边形ABCD的中心，E，F分别在CEAF1边CD，AB上，且ED＝FB＝2，求证：点E，O，F在同一直线上．

练习：已知直角三角形的两直角边长为4和6，求两直角边中线所成钝角的余弦值．

4

解析

以直角三角形的顶点为坐标原点，两直角边所在的直线为x轴、y轴，建立如图所示的直角坐标系，则A(4,0)，B(0,6)，设AF、BE为直角边OB、OA的中线，则E(2,0)，F(0,3)．

→→因为AF＝(－4,3)，BE＝(2，－6)，

→→→→AF·BE所以cos〈AF，BE〉＝→→

|AF||BE|13＝－5010. 13即两直角边中线所成钝角的余弦值为－5010. 方法总结：

用向量方法解决几何问题，一般分如下三步：

①建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；

②通过向量运算，研究几何元素之间的关系；

③把运算结果还原为几何关系.

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【课后练习】

→→→→→→→→ABACAC·BC1．已知非零向量AB、AC和BC满足(→＋→)·BC＝0，且→→＝|AB||AC||AC||BC|22，则△ABC为(

) A．等边三角形

B．等腰非直角三角形

C．非等腰三角形

D．等腰直角三角形

→→→→2.已知向量AB与AC的夹角为120°，且|AB|＝3, |AC|＝2.若→→→→→AP＝λAB＋AC，且AP⊥BC，则实数λ的值为________．

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