2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示优质课教案

平面向量的正交分解及坐标表示

【教学目标】

1.使学生理解平面向量坐标的概念，了解直角坐标系中平面向量代数化的过程，会写出直角坐标系内给定的向量坐标，会作出已知坐标表示的向量；

2.掌握平面向量的坐标运算，能正确表述向量的加法、减法和实数与向量积的坐标运算法则，并能运用它们进行向量的坐标运算。

3.通过具体问题的分析解决，渗透数形结合数学思想，提高学生从一般到特殊的归纳能力。

【教学重点】：平面向量的坐标表示及坐标运算

【教学难点】：对平面向量的坐标表示生成过程的理解

教学过程：

一．课题引入（采用多媒体）

1.

提问：是否存在相等的向量？存在，有哪些？

学生：长度相等且方向相同的向量即为相等的向量

教师：强调自由向量---仅由大小和方向确定，与起点位置无关.

2.引入直角坐标系---x轴、y轴、原点、单位长度

平面内每一个点都可以用一对实数(即它的坐标)来表示，那么平面直角坐标系内的每一个向量是否也可以用一对实数来表示？如果可以，会是如何？

二．新课讲解

1.平面向量的坐标表示

FG

F与x轴正方向相同的单位向量----i

与y轴正方向相同的单位向量---j

通过举例物理中的重力沿互相垂直的两个方向分解，正交让学生明白：如果取互相垂直的向量作为基底，会为我们研究问题带来方便。

43CDBE3i,FHIJi,ADTE2

LKi,FG4j.AB?,PQ?

FIHJCB1-55 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 PKML-1与x轴方向平行的向量可以用实数与i的积表示

与y轴方向平行的向量可以用实数与j的积表示

提问：对于既不与x轴方向平行也不与y轴方向平行的向量，如：AB,PQ还能用i、j表示吗？怎么表示？

学生：思考，并讲出自己的想法。平面向量的基底表示

单位向量

i、j是同一平面内两个不共线的向量，故可1015NSG-2QR-3-4-6y43作为基底，而且还具有不同于一般基底的特殊性--(i)单位A21向量|i||j|1；(2).互相垂直ij

由平面向量基本定理得

1015B5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 -1NABON2i2j

实数对1,2是唯一的。

-2-4

-6（2）平面向量的坐标表示

问：在这直角坐标系中，你能否找到分别表示这些向量的y43相应实数对？

-102A1FHBAB2i2j,MNij,PQij,

E55 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 KML-1P（-2 ，-2）

（-1 ，-1）

（1 ，-1）

1015N-2-3QBE3i0j,LKi0j,FG0i4j

（3 ，0）

（-1 ，0）

（0，-4）

因此，平面直角坐标系内的每一个向量都可以按上述方法G-4-6找到唯一的实数对与之对应.

相关练习

y4

例1.(1)写出向量BC的坐标，并与OA的坐标进行比较；3A(2,3)21(2) 写出向量OC,OB的坐标

C(5,1)10解：（1）由图知BC15OA

5-3 -2 -1 o 1 2 3 4 -1

BC2i3j,OA2i3j

B(3,-2)-2-3

BCOA(2,3)

-6（2）OC5ij,OB3i2j

OC(5,1),OB(3,2)

教师提问：（1）比较BC与OA的坐标，你能得出什么结论？

学生经历观察、归纳的过程后得到：以原点O为起点的向量OA的坐标与点A的坐标相同

y

4

A(2,3)

23

1

C(5,1)5-3 -2 -1 o 1 2 3 4 -1

已知a10(x1,y1),b(x2,15y2),求ab,ab

-2B(3,-2)-3学生观察后，思考，并得出

-4ab(x1iy1j)(x2iy2j)(x1x2)i(y1y2)jab(x1iy1j)(x2iy2j)(x1x2)i(y1y2)j

ab(x1x2,y1y2),ab(x1x2,y1y2)

-6并请学生总结向量坐标的加减运算方法：

两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差

学生通过类比得到a(xiyj)xiyj(x,y)并总结得出：

实数与向量的积的坐标表示：

实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标

②BCOCOB

4A(x1,y1)

(2, 3) = (5, 1) - (3, -1) 321B(x2,y2)5 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 1015

向量OC,OB的坐标与点B,C的坐标相同

教师给出：已知A(x1,y1),B(x2,y2),根据平面向量坐标加减法运算求AB的坐标

学生类比特殊得到一般结果：ABOBOA(x2,y2)(x1,y1)(x2x1,y2y1)

一个向量的坐标等于表示该向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标

三．课堂小结：回顾反思所学内容，你有那些体会和收获？

四.作业布置

作业本2.3.2