探究与发现 利用单位圆中的三角函数线研究正弦函数、余弦函数的性质教案设计范例

《三角函数线及其应用》教案

教学目标：使学生理解并掌握三角函数线的作法，并能利用三角函数线解决一些简单问题；培养学生分析、探索、发现并想办法解决问题的能力，以及归纳和类比的能力；培养学生数形结合思想

教学重点：三角函数线的作法

教学难点：三角函数线的作法和应用

教学过程设计：

一、

复习引入

1.

三角函数的定义：设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x,y)，那么：

（1）y叫做的正弦，记作sin，即siny；

（2）x叫做的余弦，记作cos，即cosx；

（3）yy叫做的正切，记作tan，即tan；

xx正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以角的终边上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，统称为三角函数。

2.

正弦、余弦、正切函数的值在各象限的符号：

正弦、余弦、正切函数的定义是用角的终边上点的坐标或坐标的比值来定义的，是从数的角度来认识三角函数的，今天这节课我们来探讨一下，能不能从图形的角度来认识一下三角函数呢？

二、

探索新知：

探

究1：如下图，角的终边与单位圆交于点P(x,y)，过点P作x轴的垂线，垂足为M，你能在图中找到恰当的几何量，来表示角的正弦和余弦吗？

MPysinOMxcos

MPysinOMxcos

MPysinOMxcos

MPysinOMxcos

综上：MPysin,OMxcos

探

究2：为了去掉上述等式中的绝对值符号，能否给线段OM、MP规定一个适当的方向，使它们的取值与点P的坐标一致？

学生讨论

数轴上点的坐标与数轴的方向有关，比如，上图中x轴上点M在点O的右侧时，点M的坐标为正值，点M在点O的左侧时，点M的坐标为负值，点M在点O的右侧也可以描述为以O为起点，M为终点的线段OM与x轴同向，点M在点O的左侧也可以描述为以O为起点，M为终点的线段OM与x轴反向。

这样，当角的终边不在坐标轴上时，以O为起点，M为终点，我们规定：当线段OM与x轴同向时，OM的方向为正向，且有正值x；当线段OM与x轴反向时，OM的方向为负向，且有负值x。其中x为M的坐标，即点P的横坐标。这样，无论哪一种情况都有

OMxcos

同理，当角的终边不在坐标轴上时，以M为起点，P为终点，规定：当线段MP与y轴同向时，MP的方向为正向，且有正值y；当线段MP与y轴反向时，MP的方向为负向，且有负值y。其中y为即点P的纵坐标。这样，无论哪一种情况都有

MPysin

有向线段：规定了起点与终点，带有方向的线段，叫做有向线段。

探

究3：你能类比上面的方法，选择恰当的有向线段来表示角的正切吗？

学生自己作图，找到的有向线段不一定能用统一形式表示，再调整，从而得到正切线AT综上，可得：

正弦线：MPysin；

余弦线：OMxcos；

正切线：ATytan

x

ytan；

x正弦线、余弦线、正切线统称为三角函数线。三角函数线是三角函数的几何表示，它与三角函数的定义结合起来，可以从数和形两方面认识三角函数的定义，使得对三角函数的定义域、函数值符号的变化规律、诱导公式等的理解更容易了。同时，单位圆中的三角函数线还是数形结合的有效工具，利用它可以解决很多问题。

三、

应用举例：

例1 分别求满足下列等式的角的集合：

（1）sin12； （2）cos； （3）tan3

22

解：（1）2k

4或2k3,kZ；

4 （2）2k22或2k,kZ；

33（3）k,kZ；

3例2 分别求满足下列不等式的角的取值范围：

（1）sin12； （2）cos； （3）tan3

22

解：（1）2k

42k3,kZ；

4 （2）2k222k,kZ；

33k2,kZ；

3（3）k2练 习：求函数y12cosxlg(2sinx2)定义域。

例3 比较下列各式的大小：

（1）sin70与sin80；（2）cos160与cos170；（3）tan130与tan140

oooo00

ooo

o0

0解：（1）sin70＜sin80；（2）cos160﹥cos170；（3）tan130﹤tan140

练习：

比较下列各式的大小： （1）sin70o与sin170o；（2）cos110o与cos230o；（3）tan4与tan4.5

（1）sin70o﹥sin170o；（2）cos110o﹥cos230o；（3）tan4﹤tan4.5

例4 已知,,比较

、 sin、

cos、

tan的大小。

42y P T 解：在单位圆中作出角的正弦线MP、余弦线OM、正切线AT，则

sinMP,cosOM,tanAT,易得cossintan，

由弧长公式可得弧AP的长为1MPsin，

又因为扇形OAP

的面积S扇形OAP=1=，而△OAT的面积SOAT=O M A x 

121211OAAT=AT，

22显然S扇形OAPSOAT，所以tan。综上，当四、

小结作业：

,时cossintan

42本节课学习了三角函数线的作法，以及三角函数线在解三角方程、解三角不等式和比较大小等方面的简单应用。三角函数线是研究三角函数的几何工具，它是数形结合思想在三角函数中的体现。要熟练掌握三角函数线的作法，并能运用它们解决一些有关三角函数的问题，注意在用字母表示有向线段时，要分清起点和终点，书写顺序要正确。

思考题：你能从单位圆中的三角函数线出发得出三角函数的哪些性质呢？请完成课本P17页练习题

华中师大一附中

王文莹

2015.11.25